etc

Cette série est plus propre que la précédente à donner la valeur de c, lorsque a est un nombre plus grand que l’unité.

En faisant a — i o , on a

.K9):+(MÏ+etc.;

et on trouvera par le calcul ,

On peut exprimer toute quantité variable par une constante élevée à une puissance variable ; alors l’exposant de cette puis-

DES FONCTIONS. 2g

sance devient une fonction de la même quantité , et cette fonction est dans le sens le plus général le logarithme de la quantité proposée. D’où l’on voit que les fonctions logarithmiques ne sont proprement que les réciproques des fonctions exponentielles.

Nous dénotons, en général, les logarithmes d’une quantité par les mots log, mis avant de cette quantité en forme de caractéristique. Ainsi log x exprimera le logarithme ou la fonction logarithmique de x , et cette fonction sera donnée par l’équation x=al°cx, où a, base de l’exponentielle, sera en même temps la base du système logarithmique.

Pour trouver maintenant la fonction dérivée de log x , on fera , en général ,

fx — logx,

ce qui' donnera x= afx, et mettant x-f -i à la place de x,on aura x-i -i = aKx+i>,

équation qui doit être identique , et avoir lieu , parconséquent , quelle que soit la valeur de i. Or , par le développement , on a

f (•* + *)— fx + if * + ^/"x-J-etc. = /x-f-«, en posant

»—>fx + l-f"x+e te.;

•vi •<•••• • * ‘

donc faisant cette substitution , on aura

. . fx+et fx a t> x-\-i=aJ =aJ X a ~xa ,

et divisant par x ,

Or , par la formule trouvée ci-dessus , on a', en général ,

a = i -f- c u -j j- etc :

donc on aura

l C* et'1

i -f — = i -f -cét-f f- etc.

Donc remettant pour » sa valeur , et ordonnant les ternies suivant les puissances de i, on aura cette équation identique,

i- "T * + 7 [«* f/' + «T *3 +etc.;

et la comparaison des termes donnera d’abord

d’ofi l’on tire • . r

CXt

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de f x , f" x te. -, mais il est plus simple de les déduire successivement de celle de f x.

La constante c dépend de la base a du système logarithmique , par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut ;• relativement aux logarithmes , elle s’appelle le module. du système logarithmique.

De là résulte cette règle générale : que la fonction dérivée du logarithme d’une variable , est égale à f unité divisée par cette variable multipliée par le module du système logarithmique.

Puisque

fx = log x donne f'x=

en prenant successivement les fonctions dérivées, d’après la règle générale des puissances, on aura

Si