CX
etc.;
donc, si on fait ces substitutions dans le développement de f ( x -f- i ) , on aura la série
logx-f-
3 ex*
etc. ,
pour la valeur de log ( x + i ).
Ayant ainsi le logarithme d’un nombre quelconque x, on peut par cette série trouver celui d’un autre nombre plus grand x+ i, et la série sera d’autant plus convergente que la différence i des deux nombres aura un moindre rapport au nombre x.
Par la théorie des logarithmes , on a
log C x+ i ) — log x = log = l°g ( : 1 4-
donc, si on fait dans la formule précédente - —y , on aura
log ( 1 +y ) = ~ ( y—:- v- + j — «te.),
formule connue.
Soit
i on aura y=z — i ;
donc
Cette série n’est convergente et parconséquent ne peut servir à trouver le logarithme d’un nombre donné z, que lorsque ce nombre diffère peu de l’unité; mais on peut la rendre conver-
gente , dans tous les cas , par la substitution de \/z au lieu de a :
CALCUL
car puisque log y s est égal à — — , on aura en multipliant par rt log z~l{ V*— 1 — V*— 0'+ 3 ( Vz— 1 )3 — etc.} ,
où l’on peut prendre pour r un nombre quelconque positif ou négatif.
Or quel que soit le nombre z, on peut toujours en extraire
la racine d’un degré r , tel que soi1 un nombre aussi peu différent de l’unité qu’on voudra; ainsi la formule précédente donnera toujours la valeur de log z, avec toute l’exactitude qu’on pourra désirer.
Si on prend r négativement, alors y% devient”, et la série
qui exprime log z , devient , en changeant les signes,
où tous les termes sont positifs. Ainsi on peut avoir à volonté pour la valeur de log s, une série dont tous les termes soient positifs ou alternativement positifs ou négatifs. Car il est
évident que z étant un nombre plus grand que l’unité, y a
sera plus grand que l’unité, et z étant moindre que l’unité, y a sera aussi moindre que l’unité; mais les différences seront d’autant plus petites, que l’exposant r de la racine sera un plus
grand nombre ; donc \/z — i et i — seront positifs dans le
lA
premier cas, et négatifs dans le second.
' Si
Si a est la base des logarithmes, en sorte que loga = i,0n pourra par les mêmes formules déterminer aussi exactement qu’on voudra, la valeur du module c\ car en faisant loga= I)0n aura
:=r^y/a I—ï( Va — / a — i )s — etc.}
ou bien
Il est clair que les deux séries que nous venons de donner pour l’expression de log z, seront nécessairement convergentes
aussitôt qu’on aura extrait de z une racine r, telle que [/ z i
soit une fraction moindre que l’unité ; car alors i L
une fraction plus petite encore, puisque
Vz Vz
Ainsi , puisque dans la première série les fer mes sont alternatifs, le second et le troisième ,1e quatrième et le cinquième, etc.
formeront des sommes négatives ; de sorte que la première série donnera
logz<5(V/=— i).
Au contraire la seconde série ayant tous ses termes positifs donnera
iogs>I
CALCUL
Ainsi on a tout de suite deux limites pour la valeur de log z , qu’on peut resserrer autant que l’on veut , en prenaut r toujours plus grand.
On aura, par la même raison , si [/ a < 2 ,
Puisqu’on a
11 est visible que la différence entre les deux limites de log * sera
ainsi en prenant l’une ou l’autre des deux expressions précédentes de log a , on est assuré que l’erreur en excès ou en défaut est nécessairement moindre que cette même quantité.
Ainsi on sera sûr d’avoir , par ces expressions, les logarithmes
exacts jusqu’à s chiffres, en prenant la racine ^/a , de telle manière qu’il y ait après la virgule s zéro avant les chiffres significatifs.
En général , puisque l’erreur va en diminuant à mesure que l’on prend l’exposant r de la racine plus grand, on peut dire qu’elle deviendra nulle ou comme nulle , si on prend r infiniment grand ; de sorte qu’on pourra regarder alors l’une
et l’autre des deux formules - ( t/z — 1) et -
comme l’expression exacte de log a.
On peut conclure de là que les logarithmes rentrent dans
la classe des puissances , et forment le premier terme de la série des puissances dont les exposans croissent ou décroissent depuis zéro , ou le dernier terme des racines dont les degrés vont en augmentant à l’infini.
C’est aussi sous ce rapport qu’on peut dire qu’à un nombre donné répond toujours une infinité de logarithmes, puisque sa racine infinitième a nécessairement une infinité de valeurs différentes.
La meilleure manière d’employer la formule précédente,' est de prendre pour r une puissance de 2, puisqu’on n’aura alors que des extractions de racines quarrées à faire. C’est ainsi que Briggs a calculé les premiers logarithmes : il avait remarqué qu’en faisant des extractions successives de racines quarrées d’un nombre quelconque , si on s’arrête dans une de ces extractions, à deux fois autant de décimales qu’il y aura de zéro à la suite de l’unité, lorsqu’il n’y a plus que l’unité avant la virgule, la partie décimale de cette racine se trouve exactement la moitié de celle de la racine précédente, en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes ; c’est ce qui résulte évidemment de la formule précédente.
Ainsi , en prenant r = 260 , on trouve pour a — 10
De sorte que l’on aura
iSa—i
C’est de ce nombre qu’on a tiré celui qu’on a donné cidessus pour la valeur de c.
gg CALCUL
Si maintenant on veut avoir, par exemple > le logarithme de 3, on fera z = 3, et employant de même 60 extractions de racines quarrées, on trouvera les nombres suivans:
|/z= 1,00000 ooooo ooooo 00095 28942 64074 58932... et de là
log z = — , ^2o8i 255o527 . . .
>=o, 477 ia 12547 19662
Cette méthode est , comme l’on voit , très laborieuse par le grand nombre d’extractions de racines qu’elle demande pour avoir un résultat en plusieurs décimales ; mais les séries que nous avons données ci-dessus , servent à la simplifier et à la compléter ; car, quel que soit le nombre z , il suffira d’en extraire quelques racines quarrées , jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre {/* qui n’ait que l’unité avant la vir-
gule ; alors les puissances de [/z—i seront des fractions d’autant plus petites qu’elles seront plus hautes ; parconséquent il suffira toujours de prendre un certain nombre de termes de la série, pour avoir des logarithmes exacts jusqu’à tel ordre de décimales qu’on voudra.
Les logarithmes qui ont l’unité pour module , sont ceux qui se nomment logarithmes naturels , ou hyperboliques , parce qu’ils représentent l’aire de l’hyperbole équilatère , rapportée aux abscisses prises sur l’une des asymptotes, et que Neper a le premier calculés. Leur base est le nombre e, et pour les distinguer des autres , nous les dénoterons simplement par la caractéristique l-
Ainsi lx aura pour fonction dérivée - , et la formule géné-
raie x = alog 1 deviendra pour ces logarithmes , x = e,x ; de sorte qu’on aura en général al°s x = elx ; et comme on a trouvé plus haut a = ec , on aura ec l°e x = elx ; et parconséquent lx=c log x. D’ou l’on voit que les logarithmes d’un même nombre, dans difTérens systèmes, sont en raison inverse de leurs modules.
Au reste l’équation a — ec donne c=/.a; d’ou il suit que le module c du système logarithmique dont la base est a > 11’est autre chose que le logarithme naturel de la même base. Ainsi on pourra par la suite substituer l’expression l.a à la place de c , dans les fonctions dérivées de ax et de log x.
De cette manière, on aura axl.a pour la dérivée de ax , et pour la dérivée de log x.
Dans le système des logarithmes des tables usuelles , la base a est supposée égale à 10 ; ainsi le module de ce système sera 1. 10, dont la valeur est 2,3o2585og2gg4. . .
Avant de terminer cette Leçon, je ne puis m’empccber d’indiquer un usage très-simple de la formule ,
ei=1+I+ L +i + i+etc.
pour trouver le développement d’une puissance quelconque d’une quantité composée d’autant de termes que l’on voudra.
En effet, si à la place de i on met *(p+ï+r+, etc.) , on aura
e‘0 = + + j etc j
+ ^(p + $r+'-+ etc.)* + (p + q -f r+ etc.)3 -f etc.
Ainsi le terme multiplié par im sera
(P + g + r+etc. ) "*
CALCUL
d’un autre côté , on a
eKr+i +» ttc.-)=etp x^X *h
.‘9 «3 *3 tj3
= (»+‘P + -Y-+^+etc;)
X(»+*g+-^-+ ^j-MtPi)
X (i + *r+— +~ §+etci)
Donc le coefficient de £*, dans le développement de ces différens produits, multiplié par i .a. 3. . .m, sera la valeur de {p-\-q + r-|-etc., ) m-
Or il est visible que ce coefficient se trouvera composé dW tant de termes de la forme
qu’on peut donner do valeurs différentes à a, ft, », etc., desorte que l’on ait
A "j- ft -}■ » -f etc. — m ,
en prenant pour A, f*, », un des nombres entiers positifs.
Ainsi la puissance (/>+?+'• + etc. )■ sera composée d’autant de termes de la forme
