LEÇON CINQUIÈME

Fonctions dérivées des sinus et cosinus d’angles , et des angles par les sinus et cosinus. Développement de ces quantités en séries.

Ijes angles n’entrent dans l’analyse que par le moyen de leurs sinus et cosinus , qu’on dénote par les mots sin et cos placés comme carastéristiques avant les angles. On a ainsi les fonctions angulaires sin x et cos x, dont la propriété générale , tirée de la nature du cercle , est qu’en prenant deux, angles quelconques x et y , on a

sin ( x-\-y ) = sin x cos y -f- cos x sin y cos (x-J-^) — cosxcosy — sin x sin y.

Cela posé , pour avoir les fonctions dérivées de sin x et cos x,', il n’y aura qu’à mettre x -f- i à la place de x , et développer ensuite les fonctions

sin (x-f-i) et cos (x+ j)

suivant les puissances de i : les coefficiens de i dans ces développemcns, seront les dérivées cherchées. Or par les formules précédentes , on a

sin (c + i) =sin x cos i +cosxsinï f cos (x -f- i) = cos x cos i — sin x sin i.

Ainsi tout se réduit à sin i et cos /.

développer en séries les quantités

4o CALCUL

J’observe que quelle que puisse être la série du développement de sin i, elle ne saurait être que de la forme

Ai -|- Bi% -f- etc ;

car , premièrement , le sinus devant être nul lorsque l’angle est nul , et ne pouvant avoir , par sa nature , qu’une valeur unique pour chaque angle , il s’ensuit que son expression développée ne peut contenir que des termes multipliés par des puissances positives et entières de i. En second lieu , il est visible que les coefficiens»4 , B , etc. , ne peuvent être que numériques, puisque dans l’expression sin i , il n’entre que la seule quantité indéterminée i.

Faisant donc

sin i = Ai -f- Bi1 + etc. ,

on aura

cos i =l/(i — sin’i) = i sin* i -f- etc. = i i* -f- etc»

Donc substituant ces valeurs et ordonnant suivant les puissances de i , on aura

sin (x -f- i ) = sin x -f -iA cos x+i* {B cos. x — sin x ) -f- etc»

cos (x -f- i ) ~ cos x — iA siax — i* (J5 sinx -j cos x ) + etc»

Donc, en n’ayant égard qu’aux termes multipliés pari, on en conclura que la fonction dérivée de sin x est A cos x , et que la fonction dérivée de cos x est — A sin x.

Le coefficient A est une constante encore inconnue , mais que nous déterminerons ci-après par la nature du cercle.

Connaissant ces premières fonctions dérivées , on pourra de la même manière trouver toutes les suivantes. Ainsi la première dérivée de sin x étant A cos x , la dérivée de celle-

ci sera — A1 sin x, et la troisième dérivée sera — A2 3 cosx» et ainsi de suite.

Donc en général , si fx= sin x , on aura f' x = A cosx, f“ x= — A 4 sin x, f x = — A3 cos x, etc.

Et faisant ces substitutions dans la série du développement de/X x -f- i ) , on aura

sin ( x -f- i) = sin x -f- A i cos x sin x