cos x-H 7-sin x -4-etc

On aura de même

fx— cosx, f'x — — A sinx, f" x— — A* cosx-, fm x — A3 sin x ,Jlyx=Ai cosx, etc.

Et ces substitutions donneront

cos ( x+t ) = cos x — Ai sinx — - cosx

sinx+ ,--7 cosx — etc.

' 2.3 Faisons pour abréger

P=Ai-

-etc.,

on aura

sin (x-{-i) = Q sin x-f-Pcosx cos ( x+ i ) — Q cosx — P sinx,

d’où l’on tire , par les théorèmes connus ,

-f-etc.j

CALCUL

sin i — P et cos i — Q.

Ainsi on aura , quel que soit l’angle i , les séries

PA* . i* A 5

sin iz=iA

eos t = i •

?A* . HA* r6 A?

etc»

-f- etc.

Il semble qu’on aurait pu déduire immédiatement ces séries de celles qu’on a trouvées ci-dessus pour sin ( x -J- i ) et cos ( x i ) en y faisant x = o ; mais nous avons voulu éviter ici, comme nous l’avons déjà fait plus haut , les difficultés qui pourraient naître de ce que le développement dey n’est généralement vrai que tant qu’on ne donne pas à x des valeurs particulières.

Maintenant il est visible que ces séries seront nécessaire-* ment convergentes , en prenant l’angle i tel que A i soit égal ou moindre que l’unité , et tl est visible en même temps qu’on aura alors

sin i <^A i et ]> A i -*• — -r-;

car les termes ayant les signes alternatifs , et allant en diminuant , les sommes du second et du troisième, du quatrième et du cinquième, etc., seront toutes négatives, et au contraire les sommes du troisième et du quatrième , du cinquième et du sixième, etc., seront toutes positives.

D’un autre côté, il est démontré rigoureusement par les théorèmes à! Archimède , que le sinus est toujours moindre que l’arc, et que la tangente est plus grande que l’arc, du moins dans le premier quart de cercle; ainsi on aura

• • • » sin * ^ •

sin 1 <T i, et : > j;

co s, t , . ' .

Digi

mais

cos i — l/ ( i — sin*i ) ,

sm 1

V/ (1 — sin’i) d’où l’on tire

: "tt > j; sin’i > i* ( 1 — sinai ),.

sin »>

Vt'+ïV

ainsi on aura par la nature du cercle»

sin i < i et >

Si donc on prend l’angle i moindre qu’un droit, et assez petit pour que Ai soit moindre que l’unité, on aura nécessairement

10 Sini<^et>.^(i + >.)>

parconséquent»

Ai>

;et A>

vii+n ' «w

20 Sin i^> Ai et <[ *,

parconséquent,

< l'et TT < 1 ’ ou 1 + TT

Comme ces conditions doivent avoir lieu, quelque petit que soit i, il résulte de la première, que A ne peut pas être

moindre que 1 } car si A < 1 , ou aura > 1 j or la con-

dition

A > toVtt donnei < ^ ( 1 +i,) ;

44 CALCU

donc quelque peu que surpassât l’unité, il serait toujours» possible de prendre i tel que

»/ (. + £*) fût <i,

tandis que cette quantité doit toujours êt

11 résulte ensuite de la seconde condition , que A ne peut pas être plus grand que l’unité; car quelque peu que A surpassât l’unité, il serait toujours possible de prendre i assez petit pourque l’on eût

tandis qu’on doit avoir toujours