AH

Donc, puisque la valeur de A ne peut être ni moindre, ni plus grande que l’unité, il s’ensuit qu’on aura nécessairement A — x.

Donc la fonction dérivée de sin x est simplement cos x, et la fonction dérivée de cos x est — sin x , x désignant un angle quelconque, c’est-à-dire, un arc dans le cercle dont le rayon est l’unité.

Ainsi on aura, en général, pour un angle quelconque i,

sin i = i 5 -f-

— etc.

cos 1 = 1 —

fO“4 2.34.5.6 +etc’’

formules connues , et dont la découverte est due à Newton.

Nous venons de considérer les sinus et les cosinus comme fonctions des angles. On peut réciproquement considérer les angles comme fonctions de leurs sinus ou cosinus, et en chercher les fonctions dérivées. On désigne communément cette fonction par les mots ang sin ou ait g cos, placés avant le sinus ou cosinus, comme caractéristiques.

Soit

f x = ang sin x, on aura sin ( fx ) — x-, mettant x -f- i pour x, et supposant

if'x + f"x 4- etc. = • ,

on aura

sin (/x + «) = ï+ i = sin (/x) cos a + cos (/x) sin * ;

or

sin(/x) = xjcos(/jr)= V/ { i — sin* ( fx ) } = y/ de plus

<w‘ et1

sin u = a 5 4- etc. ; et cos * =a i f- etc. ,

par les formules trouvées plus haut; donc faisant ces substitutions, et restituant la valeur de a , on aura, en ordonnant les termes par rapport à i, l’équation identique

x + » = x-fil/(i — x*) fx + \ { !/(*—*•) /'* — *( /'*)•} +etc.

laquelle donne , par la comparaison des premiers termes affectés de i,

1 = V ( i — x 1 ) fx, d’où résulte fx —

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de

f x , f-x, etc.; mais il est plus simple «le les déduire immé- !' diatement de celle de f'x.

Soit maintenant

fx = ang cos x , on aura x = cos ( f x ) ; mettant x + i pour x, et fx + * pour fx, on aura x -f* i = cos ( fx + » ) = cos {fx) cos a — sin ( fx ) sin « ; or

cos[fx)=xe t sin (/*) = l/( i — cos‘(/*)= {/ (i — *•’); faisant ces substitutions, et mettant pour sin » et cos » leurs ■valeurs en séries, « 5 «etc., et i -f* etc. , on aura ,

après avoir restitué la valeur de #, et ordonné les termes suivant les puissances de i, cette équation identique

x -{- i = x — i V (i — xa) f'x

— '-{ V ( 1 — **) /"x + x(/'x)*)4-etc.}

et la comparaison des deux premiers termes affectés de i donnera

i =— 1/ ( i — x*) fx,

d’où résulte

Donc, puisque x étant le sinus d’un angle, \/ ( i — xa ) en est le cosinus, et x étant le cosinus, ( i — x3) en est le sinus; il résulte de ce que nous venons de trouver, que la fonction dérivée d’un angle, exprimé par son sinus , est égale à l’unité divisée par le cosinus , et que la fonction dérivée d’un angle exprimé par son cosinus, est égale à l’unité divisé* par le sinus, et prise avec le signe moins.