LEÇON SIXIÈME
Fonctions dérivées des quantités composées de différentes fonctions d’une même variable , ou dépendantes de ces fonctions par des équations ■données.
Xjes fonctions que nous venons de considérer dans les trois dernières leçons, sont comme les élémens dont se composent toutes les fonctions qu’on peut former par des opérations algébriques; c’est pourquoi nous avons cru devoir commencer par chercher les fonctions dérivées de ces fonctions simples; et nous allons voir maintenant comment on peut trouver les fonctions dérivées des fonctions composées de celles-ci d’une manière quelconque.
Nous supposerons en général que p, q, r, etc. soient des fonctions quelconques d’une même variable , dont les fonctions dérivées p' ,q' ,r , etc. soient connues , et que y soit une fonction composée de p,q,r, etc. , dont on demande la fonction dérivée y.
On considérera que x devenant x -f- i, y deviendra en général
y+ff + I-/+etc.:
or p, q,r, etc. deviennent en même temps
p-\-ip' + etc. , q + + etc. > r + «■' -f- etc. ;
il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de y , développer les termes suivant les puissances de i, et le coefficient de i sera la valeur cherchée de y'.
^8 CALCUL
Ainsi, si
y “ Ap -}- Bq -f- Cr -J- etc. ,
A , B , C, etc. étant des coefficiens quelconques, on aura sur-lechamp
y — Ap — f~ Bq ' -j- Cr •+• etc.
Si y — Apq , la quantité pq deviendra (p+ip+ etc.) X(? + iq + etc.) —pq + *(?/>' + />?') +etc. ;
y = A(.qp'+pq').
Si y — Apqr, on trouvera de la même manière ÿ =A( qrp' + prq' +pqi/ )•
Si y = A -, la quantité^ deviendra
p ip' -4- etc.
q+iq + etc.'
Développant le dénominateur en série, suivant les règles connues , on aura
donc
{p + ip' 4- etc. ) X Q — ^ + etc.) ,
Soit y — Apm qn, la quantité pm qn deviendra
(p -f- ip' + etc. )m ( q -f- iq' *f- etc. )*
= (pm 4- i nipm~‘p' ■+• etc. ) ( qn -+■ niqn~'q -f- etc. )
= pm qn
= Pm(T + * (mpm* ç"/}' -}* nqn~lpmq' ) 4" etc.;
y’ ~ A ( mqnpm~'pf -J- npmqn~lq' ).
On trouvera de la même manière , que si y = Apmq*rl, ou aura
yr = A ( mqnr’pm~'p f 4“ npmrlqn~'q' + lpmqntJ~'t/ ) , et ainsi de suite.
Soit en général = fp ; en regardant fp comme une fonc* tion de p , ses fonctions dérivées seront fp , f"p , etc. ; ensorte que p devenant p -f- a> , fp deviendra
fP + •fp + “/> + «te.
Or p étant une fonction de x , lorsque x devient x -f- t
p devient p 4- V 4* ~ P" 4* etc.
Donc faisant
a — ip’ 4 p° 4" etc. ,
la fonction /p deviendra, par la substitution de x 4- i à la place de x,
fP+ Vf P + ~ ( P'TP + P"f p) + etc.
Ainsi on aura d’abord y' =p'fp, d'où résulte ce principe : que la fonction dérivée d’une fonction qui est ellemême une fonction de x , est égale au produit des fonctions dérivées de ces deux fonctions.
Ce principe sert à généraliser les résultats précédens , relativement aux fonctions dérivées des puissances des exponentielles des logarithmes et des sinus et cosinus.
Ainsi, si y = pm, on aura y' xx mp”*~lp' \
CALCUL
si y = a?, on aura y' -=.a? p la\
ûy = log p, on aura/ = ;
si^ — sin p, on auray = p' cos p ; si y = cos p , on auray = — p' sin p ;
1,1 y = ans sm p > oa ^ray
« y =? Wg cos p, on auray ==: - - ({'^Ty
Supposons ensuite que ^ soit une fonction de p et q , que nous désignerons par f {p, q) ; il s’agira de substituer x -j- i à la place de x dans les deux fonctions p et q , et de trouver ensuite le coefficient de i dans le développement de la fonction composée /(p, q). Or il est visible qu'on aura le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à-la-fois , soit qu’on les fasse l’une après l’autre , puisque les quantités p et q sont regardées dans ces substitutions comme indépendantes.
En substituant d’abord a? -+-* à la place de x dans la fonction p, la fonction y (p, q), regardée seulement comme fonction de p , deviendra , par ce que nous venons de trouver ,
/(P, q) *f ip'f (p) + etc.
J’écris simplement f(p') jour désigner la fonction dérivée de f (p, q) prise relativement à pseul, q étant regardée comme constante.
Substituons ensuite x~f- i au lieu de x dans la fonction q , la fonction f (.p, q) deviendra pareillement
/(p, q) ~h îq'f(q') -f etc.,
où f'(q) représente la fonction prime d e f (p, q) prise relativement à q seul, p étant regardée comme constante.
des Fonctions. 5i
Quant au terme ip'f ( p ) , il est visible qu’éfânt déjà multiplié par i , il se trouverait par cette nouvelle substitutution augmenté de termes mültipliés par i*, i3, etc.
Ainsi les deux premiers termes de là sérié provenant da développement de f(p, q) , après la substitution de x -f-i pour x dans p et q, seront simplement
de sorte qu’on aura
/ —p'f (p) + ff 0?) ~f(p. q)-
Si y était une fonction de p, q, r, représentée pâf/(p,q,r), on trouverait de la même manière
et ainsi de suite.
D’où l’on peut tirer cette conclusion générale , que la fonction dérivée d’une fonction composée de dijférentesfonc • tions particulières , sera la somme des fonctions dérivées relatives à chacune de ces mêmes fonctions considérées séparément et indépendamment tune de l’autre.
Ce principe, combiné avec le précédent, suffît pour trouver les premières fonctions dérivées de toutes sortes de fonctions , ainsi que les fonctions dérivées des ordres supérieurs.
Ainsi la fonction dérivée de pq étant qp‘ relativement à p , et pq' relativement à q, la fonction dérivée totale sera qp'-p-pq’, comme nous l’avons trouvé ci-dessus.
De même en regardant maintenant p' et q' comme de nouvelles fonctions, dont p" et q " sont lés fonctions dérivées, la fonction dérivée de qp' sera q’p' -f- qp" , et là fonction dérivée de pf sera p' q' -f- pq" ; de sorte que la seconde fonction dérivée de pq sera qp" -f- 2 p'q' -f- pq" ; et ainsi de suite.
CALCUL
Par les mêmes principes on a
' • ' mqnp",~'p' -f* npmq*~'q'
pour la fonction dérivée de pmqn , le premier terme étant la fonction dérivée relative à p , et le second étant la fonction dérivée relative à q ; et ainsi du reste.
Si p — sin x et q r= cos x , on a p' == cos x et q' = — sin x ; donc lorsque
y — sinm x cos" x ,
on aura
y' m sinm— ‘ x cos"4"1 x — n cos”-1 x sin'"4-1 x.
Ainsi, comme la tangente d’un angle est égale au sinus divisé par le cosinus, en la dénotant par les mots tang placés avant l’angle comme caractéristique , et faisant
on aura
y = tang x
sin x > cos x
sin* x cos1 x
cos* x‘
Et en général , si y = tang p , on trouvera
Mais la fonction y pourrait n’être donnée que par une équation entre x et y. Représentons en général cette équation par
y, x)=zo:
il est clair que si on regarde y comme une fonction de x déterminée par cette équation , et qu’on imagine cette fonction substituée au lieu de y dans F ( y , x ) , il en résultera une
desfonctFons. 53
fonction de x qui sera identiquement nulle , quelle que soit la valeur de x, et parconséquent aussi en mettant x -f- i à la place de x , quelle que soit la valeur de
Dénotons cette fonction par z, et comme x devenant
x -f- i, z devient * + zV -f~ - z." -f- etc. , on aura, quelle
que soit la valeur de » , l’équation
z -f- iz + - z" -f- etc. = o ;
d’où l'on tire les équations
z — o , z — o , z' — o , etc.
Maintenant z étant = F( y , x ) on aura par le* formules ci-dessus
en dénotant par F* ( y ) la fonction prime de F ( x ) prise relativement à y seul , et par F' ( x ) la fonction prime de F(y, x) prise relativement à x , et faisant a/ = i , puisque x devient simplement x -f- i.
Ainsi l’équation dérivée z' — o , sera
d’où l’on tire
y'F'(.y) + F'txy=o ,
On aura de cette manière la valeur de jr' en fonction de x et y ; de là , en regardant toujours y comme fonction de x , on pourra déduire la valeur de y" en fonction de x et y. Car en supposant pour abréger y' ( y , x ) , la fonction dérivée def ( y , x ) sera de la forme y'f' (y) -f- /' ( a? ) ; donc substituant pour y' sa valeur , on aura ^ .
CALCUL
f*=f(.y, *) xf(.y)+f O).
et ainsi de suite.
Ou trouverait le* mêmes valeurs de y* , y* > etc. par les équations z" = o , z" = o , etc.
Si Fou avait plus généralement l’équation F(y> P,Ç---) — o,
on trouverait de la même manière l’équation dérivée ,
y F' (y ) + p'F' ( p ) + q'F' < q ) + etc. = o;
d’où l’on tire
p' F' (r) + q'F' (Q + etc.
r~^Friy)-
Et regardant de, nouveau la valeur de y comme une fonction de y yp, q , etc. , p' , q'y etc. . sa fonction. dérivée sera la valeur de y") et ainsi de suite.
Enfin si l’on avait deu» fonctions- y et u données par les équations
on pourrait par les mêmeç opératkmsi trouver immédiatement les valeurs dej»' et u' en fonctions de y , u , p , q , etc. ;
Car on aurait d’abord, las- équations dérivées
y'F'(y)+u'F'(uy + p'F'(p) + q'F' (q) +etc. = 0
yf (y ) -ï ( » ) + p'f ( p) + <ff‘ ( ?) + ***• =* °»
d,’o^ l’on tirerait y et u' ; et ainsi du reste.
Les règles que nous venons d’établir suffisent pour trouver les fonctions dérivées d’un ordre quelconque de toute fonction d’une variable , de quelque manière quelle soit donnée , soit
explicitement par des expressions déterminées, soit implicitement par des équations quelconques.
A l’égard de la notation que nous avons employée pour représenter séparément chaque partie d’une fonction dérivée , relative à chacune des fonctions particulières qui entrent dan# la fonction primitive , on voit qu’elle est très-simple et trèscommode , et nous nous en servirons aussi dans la suite.
On peut même , par cette notation , ne séparer du reste de la fonction dérivée que la partie relative à une variable donnée. Ainsi les fonctions primes de fonctions de p et q , ou de p, q et r, ou etc., peuvent développer de cette manière
et ainsi des antres.
Il faut toujours observer de ne renfermer éntre les parenthèses qui suivent la caractéristique f* des fonctions dérivées, que les variables par rapport auxquelles on veut prendre la fonction dérivée.
Lorsqu’il n’y a qu’une seule variable entre les parenthèses comme f ( p ) , cette expression indique que la fonction dérivée doit être prise relativement à cette variable , comme si elle était seule et unique ; c’est-à-dire que f ( p ) sera le coefficient de i dans le développement de la fonction donnée , en y substituant simplement p -j~ i au lieu de p , quelque fonction d’ailleurs que p puisse être de x.
Quoiqu’il soit plus simple de déduire les fonctions dérivées des différens ordres les unés des autres , parceqHe de cette manière les mêmes règles et les mêmes opérations font trouver toutes les dérivées , et que ce soit même dans cette dérivation successive des fonctions que consistent l’essence et l’algorithme
56 CALCUL
fondamental du calcul des fonctions denrées , il y a néanmoins des cas où la considération immédiate des termes successifs de la série peut donner les fonctions dérivées successives d’une même fonction d’une manière plus directe et plus générale ; c’est ce qui a lieu lorsque le développement de la fonction en série peut s’exécuter facilement par les formules connues.
En effet, si l’on a en général
p, q etc., étant des fonctions de x , et qu’on substitue x -f- i à la place de x , cette équation deviendra
ja
y + *y+ -/+ctc-
=/(P + I>'+ l- p" + etc. , q + Uf + q" -f etc. . . . ).
Et elle devra avoir lieu indépendamment de la quantité indéterminée i \ de sorte que si l’on peut développer directement la fonction qui forme le second membre en une série de la forme
/( P> <7- • •) + & 4" i‘Q 4- + etc. ;
on aura sur-le-champ
y = P,^ = Ç, JL=fl,etc.
Soit, par exemple, y = pq: on aura à réduire en série l’expression
( P + ¥ + Z P" + etc- ) (q+‘Y+ q “ + etc. ) ,
et il est facile de voir qtt’on aura
y = pq' + p'q
lL = PJL+pW+ EJ
/L = ü£l + pV . pV + j*SL.
Et en général
yCm) pq(m)
PVn 3)
~f- — 5 s ~ -f* etc.
l’exposant placé entre deux crochets désignant l’ordre de la fonction dérivée , de sorte qu’en multipliant par a.3.. m, ou aura la formule générale
y(m) zrr pqCm) mp'q(m~‘) 7~- ^ pllq(m~ O -J- etc.
En général si on fait y = pqr , on trouvera de la même
manière que la valeur de tant de termes de la forme
sera composée d'au-
(a) (fO CO
qu’on pourra donner de valeurs différentes aux nombres h, p , v etc. , de manière que l’on ait
a -f- p -f- v etc. == m.
Supposons
p = e", q =zelx , r ~ e,z etc. , la quantité e étant toujours telle que i.e = 1 , on aura
y — e(4+»+C+flC.)V
58 CALCUL
«t la fonction dérivée de l’ordre m fera
yW = etc. )w y ;
on aura de même
p " o p y cj - ■ » u ^ j t — .. c t ^ etc •
Donc , puisque y = pqr... il s’ensuit que la quantité
( a -f- ft -f- c -f- etc. )"* i .2.3. . . m
pourra se développer en autant de termes de la forme
aK f v
qu’il y aura de manières différentes de satisfaire à l’équation A + H- + r + etc. , = m ,
ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé d’une autre manière à la fin de la Leçon IV'.
Faisons maintenant
on aura
p~x“ , q = x* , r = X*, etc.
en faisant
^ = a + etc-
Donc prenant les fonctions dérivées dès ordres m, A, /a, r , etc. , on aura
p(*'’)=a(a — i ) ( a — - 2 ) . . . ( a — A -f- i ) xa * qW=zk(b— !>(* — »>... (& — /*-+• i )**■“**
DÉS FONCTIONS. 5g
Donc puisque
A— m=sa — A. + 6 — /* + c — y -f- etc. , la quantité
se trouvera composée d’autant de quantités de la forme
v, b(b — i) (£ — a)...(fc— m+O
X c.iri.^c"aV”(c-|.tl X etc.
qu’il y a de manières différentes de satisfaire à l’équation m = a -f— fi — f- v — f— etc. ,
ce qui indique une analogie singulière entre le développement de la puissance d'un multinome , et celui du produit continuel du même degré.
En effet, ayant développé une puissance comme ( a -f- b -f- c -J- etc. ) m
en ses différens termes, on aura tout de suite 4e développement du produit continuel
A {A— i)(^ — a),.. {A— ou
A = a-t-b~l-c-f- etc. -
en substituant dans chaque terme à la place des puissances aK , b^ , cv etc., les produits continuels
60 CALCUL
a ( a — 1) (a — a). ..(a — a -f- 1 ) ; £ (6 — 1 ) (6 — a)... (b — l». + i )i(c — i)(c — a) (c — »+i), etc.
On trouve une démonstration directe de ce théorème , pour le binôme , dans l’ouvrage de Kramp qui vient de paraître sous le titre d’ Analyse des Réfractions.
Nous terminerons cette leçon par une observation importante sur la nature des fonctions dérivées.
II est facile de se convaincre , par la manière dont les fonctions dérivées dépendent de la fonction primitive , que ce» fonctions sont absolument déterminées , de sorte qu’une fonction donnée ne peut avoir que des fonctions dérivées données aussi et uniques pour chaque ordre.
Il n’en est pas de même des fonctions primitives à l’égard de leurs dérivées ; car puisque la fonction dérivée de toute quantité constante est nulle , il s’ensuit que si une fonction donnée est primitive à l’égard d’une autre fonction donnée „ elle le sera encore , étant augmentée ou diminuée d’une constante quelconque. Ainsi une fonction donnée peut avoir une infinité de fonctions primitives à raison de la constante qu’on y peut ajouter. Mais il ne s’ensuit pas que toutes les fonctions primitives dont elle est susceptible, ne puissent différer que par une constante ; c’est ce que nous allons démontrer.
Soit une fonction donnée fx , dont Fx et q>x soient également fonctions primitives : on aura donc, par l’hypothèse,
F'x z=zfx, et fx — fx ;
donc prenant les fonctions dérivées successives , on aura aussi F’x =fx.Fmx —fx etc. ,
et de même
fx — f'x . <fx —fx etc.
Considérons maintenant les fonctions
F (* + 0 et ç (x + i), en a par le développement
F (x + O — fx -f- ii^x + ^ f"x -f- etc. ;
donc substituant les valeurs de F'x , F"x etc., on aura
f (* + 0 = Fx+ifx-j- l~fx+ + e te.
Et de même
<f,(x+i) = <fx + ifx + -f'x -f —f’x + e te.;
donc retranchant l’une de l’autre ces deux équations , on aura
F (x+i) — ç (x -f- i) = Fx — çx.
Comme cette équation doit avoir lieu quels que soient x et i , et que le premier membre est une fonction de x + i , et le second une pareille fonction de x, il est visible que cette fonction ne peut être qu’une constante indépendante de x et i.
On aura donc nécessairement
Fx — çx = K
K étant une constante , et parconséquent Fx = çx -f- À' :
d’où l’on voit que si çx est une fonction primitive d efx, toute autre fonction primitive Fx de la même fonction fx ne pourra différer de çx que par une constante.
Il suit de là que lorsqu’on aura trouvé d’une manière quelconque une fonction primitive d’une fonction donnée , en y ajoutant une constante arbitraire , on aura l’expression generale de la fonction primitive de la fonction donnée.
CALCUL
