LEÇON SEPTIÈME

Sur la manière de rapporter les fonctions dérivées à différentes variables.

N O U S avons yu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu’on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.

’ Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à nne variable , et une fonction qui contient plusieurs quantités, peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu’on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres , il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y 6ont relatives , par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres ; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette leçon.

En regardant y comme une simple fonction de x , on sait

que y devient y + if -f- *- y“ + etc. , x devenant x + i. Si

on suppose que x soit elle-même une fonction d’une autre variable quelconque t , et qu’on veuille regarder y comme fonction de t, alors t devenant t-f », ou bien (pour ne pas confondre les accroissemens de je et de t ) , t devenant t -f- o , y deviendra aussi de la forme

y + oy' -+• 1/-+- etc.

Mais pour distinguer les fonctions dérivées y' y' etc. , qui dans la première formule se rapportent à x , de celles de la se-

eonde qui se rapportent à t , nous désignerons pour un moment les premières par {y' ) , (y" ) etc. , de maniéré que x devenant x -f- i, y deviendra

y + ity) + \ (/) +etc.

Or x étant regardé comme fonction de t, lorsque t devient t-j-o, x devient

x-f- o x'-f- — x" -f- etc. ;

donc si , dans la formule précédente , on met à la place de t l’ac-

croissement de x , qui est o x'-f- — x" -f- etc. , on aura également ce que y devient lorsque t devient t-\-o. Ainsi on aura l’équation identique ,

j-f(ox/+^-x" -f etc.) (y') + 1 (ox'-f- -^-x'-f etc. )* (y")

+ etc., —y +oÿ + ~f+ etc.

Dîoù l’on tire par la comparaison des termes affectés des différentes puissances de o

*' (/)=/>*"(/) +*'»(/)=/ , etc.

La première équation donne

la seconde donnera

et substituant la valeur précédente de ( y' ) , oa aura

Calcul

JL.

La troisième^quation donnerait la valeur de (y* ) , et ainsi de suite. Mais j’observe qu’on peut déduire immédiatement la valeur de (y" ) de celle de ( y ' ) , et successivement celle de ( y *) de celle de (y* ) etc. , par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives.

En effet, puisque (y') fonction dérivée de^ par rapport àx est égale à -L- f c’est-à-dire , à la fonction dérivée de y par rapport à t, divisée par celle de X) de même {y” ) fonction dérivée de (y* ) par rapport àx, sera égale à la fonction dérivée de

par rapport à î, divisée par x , et ainsi de suite. Or la foncv' y" v' x"

tion dérivée de~V est donc on aura

comme on l’a trouvé par la seconde équation. Et ainsi de suite.

Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière qu’elles peuvent se rapporter également à toute autre , variable.

Or ce qui déterminait les fonctions dérivées de y à se rapporter à la variable x , c’était qu’elles résultaient de l’accroissement i attribué à cette variable ; a# lieu qu’en rapportant ces fonctions à une autre variable dont x est censée fonction , l’ac-

croisement de x devient alors oxf -j x* + etc., o étant l’ac-

croissement

croissement de la nouvelle variable. Ainsi comme le cas particulier où l’accroissement de x est simplement!, résulte de l’expression générale de l’accroissement de x , en y faisant 2/ = r , il s’ensuit que x' = 1 est la condition qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable x , et qu’en général pour les rapporter à toute autre variable, il n’y aura qu’a supposer égale à l’unité la fonction prime de cette variable.

Il résulte de là cette conclusion générale que si une formule contient les fonctions dérivées y' , y" , etc. relatives à une

variable x, et qu’on veuille les rapportera une autre variable

quelconque, il faudra changer y en^y.

et ainsi de suite. Si t est la nouvelle variable à laquelle on veut rapporter les fonctions dérivées , cette variable étant une fonction quelconque de x et y , il n’y aura qu’à faire f = 1 , et parconséquent t" = o , t"=o , etc. ; équations par lesquelles on déterminera les valeurs de a/, x" , etc. , ou dey' , y" , etc.

Ce principe est général et doit s’appliquer à toutes les fonctions dérivées qui se rapportent à une meme variable. Il est d’un grand usage dans le calcul des fonctions et constitue ua des principes fondamentaux de l’algorithme de ce calcul.

Le cas le plus simple est celui où y étant supposée fonction de x, et ses fonction» dérivées^' , y" , etc., étant rapportée* à

x, on veut au contraire regarder x comme fonction de y , et rapporter à. y tes fonctions dérivées x' , x", etc. On fera dan» ce cas les substitutions indiquées ci-dessus et on supposera

y = * ,/ = o> etc-

xw

On substituera donc ~ à la place de / , — pj à la place de y, et ainsi des autres.

Ainsi , ayant trouvé dans la Leçon IV , que y = ax donne, relativement à x

y — (fia— y la T

on pourra avoir immédiatement la valeur de a/ relativement à y f en substituant simplement p- à la place dey, ce qui don-

nera

~yia

Comme x est le logarithme de y pour la base a , on a par-la la fonction dérivée du logarithme.

De même en supposant^ = sin x, on a vu dans la leçon V que l’on a , relativement à x ,

y = cos x;

donc , pour avoir réciproquement la fonction dérivée x' de l'angle par le sinus y, il n’y aura qu’à substituer -pàla place de y , ce qui donnera

cosx i/f1 — y)

Si op fait

y — cosx, on a y1— — sin X', donc on obtiendra de la même manière

* sin x ( j —

Ces résultats s’accordent avec ceux qu’on a trouvés dans les endroits çités d’une manière directe mais plus longue.

Enfin ayant vu, dans la leçon VI, que

y = tang x donney' = — - , *

J cos* x *

si on veut avoir la fonction dérivée de lare par la tangente oa aura sur-le-champ

X = CO S X = rr: