f- tang* x i+y

En général , puisque

rf

y = tang p donne y' = —

*' cos* p *

on aura réciproquement

/>'=/ cos*p,

p étant une fonction quelconque de x.’

Si maintenant on veut regarder p comme fonction de y et rapporter la fonction dérivée p' à la variable y, on feiay'~i et l’on aura

cos *p ~

l-fy*

comme ci-dessus.

La formule a/ = cos* x est très-propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de x des ordres supérieurs. En effet, on aura d’abord

x" = — aa/ sin x cos x = — x' sin a x

= — sin a x cos* x,

en substituant la valeur précédente de x'. Prenant de nouveau

G8 CALCUL

le* fonctions dérivées , on aura

x" = — a x' ( cos a x cos* x — sin a x sin x cos x )

— — a x' cos 3 x cos x = — a cos 3 x cos3x,

et continuant de la même manière, on aura

x” = a . 3 x' ( sin 3 x co*3 x + cos 3 x sin x côs* x )

= a . 3 x' sin 4 x cos* x = a . 3 sin 4 x cos4 x,

Xt = 2 . 3 . 4x'(cos4xcos*x — sin 4 x sin x cos3 x)

= a . 3 .43/ cos5xcossx=a . 3 . 4cos5xcos8x,

et ainsi de suite.

Ayant ainsi toutes les fonctions dérivées de x relativement à y , c’est-à-dire , en supposant x—fy, si on les substitue dans la formule

x -f- ix' -+■ — x" -f- etc, ,

on aura la valeur de x répondant ky + i.

Ainsi on aura la valeur de l’arc dont la tangente sera tang x-}- i , exprimé par la série

. . rcos*x . rcos-’x

x + rcosx. cosx- tinax = — cos3x

, i4 cos4x . ,

H 7 — sm 4 x +

cos8 x— -etc. ,

formule remarquable par sa simplicité et sa généralité. Si on fait x = o, on trouvera

arc. tang 1 = 1 — -g- + — -f- etc.,

formule connue et due à Leibnitz; mais il n’est permis de faire x = 0 qu’autant qu’on est assuré d’avance de la forme de la série..