LEÇON HUITIÈME
Du développement des Fonctions lorsqu’on donne à la variable une valeur déterminée. Cas dans lesquels la règle générale est en défaut. A nalyse de ces cas. Des valeurs des fractions dont le numérateur et le dénominateur s’ évanouissent à-la-J'ois.
La théorie des fonctions dérivées est fondée sur le développement des fonctions lorsqu’on attribue à une variable un accroissement indéterminé. Nous avons démontré dans la leçon II que ce développement ne peut contenir que des puissances entières et positives de la quantité dont la variable est augmentée, tant que cette variable demeure indéterminée , et nous avons ensuite déduit de cette forme les lois de la dérivation des fonctions. Il est donc nécessaire , avant d’aller plus loin , d’examiner le* cas où elle pourrait se trouver en défaut, et les conséquences qui en résulteraient relativement aux fonctions dérivées.
Nous avons vu dans la même leçon , que la série du développement de/^x-f-i) ne peut contenir de puissances négatives de i , à moins que l’on ait fx — à l’infini , parcequ’en supposant *œ= o , les termes qui contiendraient de pareilles puissance* deviendraient infinis. On peut prouver de la même manière que la série ne pourra contenir aucun terme multiplié par log i ou par une puissance positive quelconque delog i , si la même condition c’a lieu , ces sortes de ternies devenant également infinis lorsqu»
7<5 CALCUL
i = o. Or cette condition exige que la variable x ait une valeur déterminée, qu’on trouvera par la résolution de l'équation
fx — - ou -î- = o.
J o jx
Soit donc a une racine de l’équation — o t de manière que l’on ait
1 (.t — a)ra
fi- Fx 1
Fx étant une fonction de x qui ne devienne ni nulle ni infinie , lorsque x—a, et m étant un nombre positif quelconque.
En mettant x-(- i à la place de x, et faisant x — a, on aura
où l’on voit que la série du développement de /( x + £ ) aura, dans ce cas des termes de la forme 4r , -f—r etc.
J,n W jH* *
Considérons maintenant les cas où ce développement pourrait contenir des puissances positives , mais fractionnaires de i. La démonstration que nous avons donnée pour prouver l’absence de ces sortes de termes , est fondée sur ce que ces termes augmenteraient le nombre des radicaux dans le développement de f(x+i), tandis qu’il est évident que cette fonction ne peut contenir que les mêmes radicaux que la fonction fx , tant que x est supposé une quantité quelconque indéterminée. Maiscette démonstration cesse d’avoir lieu lorsqu’on donne à x une valeur déterminée telle qu’elle fasse disparaître un radical dans/r ; car alors ce radical pourra être remplacé par un radical de i dans le développement dey ( x -j- i ). En effet , supposons que la fonction fx contienne un radical qui s’évanouisse lorsque x —« ,
tel que (a;— a)” ,met» étant des nombres entiers ; îafonction
+ contiendra le radical correspondant (x — a-f*0"
lequel en faisant x—a devient i" ; de sorte que le développement de cette fonction suivant les puissances de /, pourra con-
tenir le radical in et toutes ses puissances entières et positives.
Cette conclusion n’aurait pas lieu si la valeur particulière de x n’anéantissait pas le radical , mais le faisait seulement disparaître en rendant nulle une quantité par laquelle il serait multiplié. Car quoique le radical puisse disparaître de cette manière de la fonctionna;, il pourrait ne pas disparaître dans les fonctions dérivées y'* , j"x , etc. qui entrent dans le développement de f ( x -f- i ) , et alors la démonstration conserverait toute sa force. Ainsi , si un radical de la fonction fx se trouvait multiplié par ( x— g)”1 , m étant un nombre entier positif ; ce radical y disparaîtrait lorsque j r=c; mais dans la fonction f (x-|-i), il serait multiplié par ( x — a-\-i)m, et dans le cas de x = a, il le serait par im. Donc , dans le développement de cette fonction , H ne pourrait paraître alors avant le ternie qui contiendrait la puissance im ; parconséquent il disparaîtrait des fonctions dérivées f'x,f x, etc.; jusqu’à /Cm Ox, mais reparaîtrait dans les fonctions dérivées des ordres suivans ; de sorte que le développement de/(x-f- j) contiendrait toujours dans ce cas le même radical. Il n’y a donc que le cas où le radical est détruit dans la fonction fx par une valeur particulière de x, dans lequel le développement de J\x -f- i ) doive con*tenir des radicaux de i , et il reste maintenant à voir comment on pourra juger que cela doive avoir lieu.
Pour cela j’observe que les fonctions/' (x-f î) , /"(x-^-i), etc. sont également les fonctions dérivées def(x-j-i) soit qu’on les
7* CALCUL
prenne relativement à x , soit qu’on les prenne relativement à i , ce qui est évident , puisqu’en augmentant soit x, soit i d’une meme quantité quelconque , on a le meme accroissement de la quantité x-f-i. D’où il suit que l’on aura également les valeurs Aef'x,f'x, etc. quel que soitx, en prenant les fonctionsdérivées successives defÇx-f-i') relativement à i, et faisant ensuite i—o.
Or si on suppose que le développement de doive
contenir, lorsque x— a, un terme affecté de im, tel que Aim , A étant une fonction de a , et m n’étant pas un nombre entier positif; en prenant les fonctions dérivées relativement ài, il faudra que les dé yeloppemens des fonctions
/' (x + »),/"( x + f), etc.
contiennent les termes
m A t”-’ , m ( m — i ) A i"*~' , etc.
Donc faisant i=o, on en conclura que les fonctions fx ,f'x, f"x, etc. lorsque x— a , contiendront respectivement les termes
A o*, mAom~l, m (m — i ) Aom~*-, etc.
Si m est un nombre quelconque négatif, il est clair que tous ces termes seront infinis.
Si m est un nombre positif non entier, soit n le nombre entier immédiatement plus grand que m, il est visible que le terme m(rn — i ) ... (m — n-j- i ) A om— “ sera infini ainsi que tous les suivans, et que tous les précedens seront nuis. D’où il suit que les fonctions dérivées de l’ordre n et des ordres suivans deviendront infinies lorsque x=û.
Dans ce cas donc , si n est l’indice de l’ordre de la première fonction qui devient infinie , le développement de x -f- i ) devra contenir un terme de forme i’1, m étant un nombre compris entre n— -i et n.
Si n= o , c’est-à-dire, si la fonction fx devient elle-même infinie , ce développement contiendra alors des puissances négatives de i.
On doit appliquer aux logarithmes ce qu’on vient de démontrer sur les puissances fractionnaires de /. Car on a vu à la fin de la leçon IV , que les logarithmes répondent aux puissances fractionnaires dont l’exposant est infiniment petit , c’està-dire aux racines inünitièmes , et que c’est par cette raison qu’il y a toujours une infinité de logarithmes répondant à un meme nombre.
Aussi, par la même raison, lorsqu’on résout une fonction en série suivant les puissances d’une meme quantité , il peut se trouver quelquefois le logarithme de cette quantité entre les puissances positives et les puissances négatives de la même quantité , lorsque la fonction elle-même contient des logarithmes.
Ainsi , si la fonction^ contient des logarithmes , le développement dey (x-f-i) pourra contenir, dans le cas particulier de xz=.a , des termes de la forme im ( log i )" , et les fonctions dérivées/' (x-f-i), f (x -)- i ) , etc. , contiendront alors des termes de la forme
im~' ( log i )* et im~1 ( logi i"-* ,
de la forme
im a ( iog î )■ , j"— 1 ( log i J0- 1 et im* (logi)"-’;
et ainsi de suite. Or lorsque i~ o, logi est infini, et toute quantité de la forme i'" (log i )n est nulle ou infinie suivant que m est un nombre positif ou négatif, quelque soit n. Donc puisque dans les termes des fonctions dérivées
+ /"(■* + 0 etc.,
les exposans des puissances de t qui multiplient les puissances de log i vont nécessairement en diminuant , il s’ensuit que dès qu’une de ces fonctions deviendra infinie par la position de x=a, toutes les autres des ordres suivans deviendront infinies aussi.
On peut donc conclure en général que le développement fx + ifx -f- l- f"x 4- etc.
de la fonction y (x 4- i ) fie peut devenir fautif pour use valeur déterminée de x , qu’au tant qu’une des fonctions fx , f'x , f"x, etc. , deviendra infinie en donnant à x cette valeur; etque ce développement ne sera fautif qu’à commencer du terme qui deviendra infini.
Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant les puissances ascendantes de i , il faudra faire d’abord dans la fonction y (x4*0> x égal à la valeur donnée , et développer ensuite suivant les puissances croissantes de i par les règle* connues , en ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de i qui se trouveraient dans la fonction même.
Pour confirmer par quelques exemples ce que nous venons de démontrer , supposons d’abord que l’on ait
yr = 20 x — x* 4- « V (x* — a’ ) ,
et qu’on demande le développement f ( x4-* ) lorsque x—a.
En prenant les fonctions dérivées suivant les règles générales! en aura
/» f « . QJC
a au:1
2+V/Cxw7 (xW)è
et ainsi de suite.
desfonctions. 75
En faisant x=a,oaa
donc toutes les fonctions dérivées des ordres suivans seront aussi infinies, et le développement de f (a -}~0 contiendra nécessairement un terme de la forme A im , m étant entre o et î .
En effet on aura par la substitution de n — |— i dans 1 expression defx
f — i' + ay iX^(âû+0>
d’où l’on voit que le développement suivant les puissances de i contiendra des termes de la forme v-i,i V i* i* Vi> etc- Soit en second lieu
/x= y/x- f-(x — ayl(x — a),
on aura ces fonctions dérivées
f'x — — i f-a(x — a ) Kix x — a) + Æ““a
f’x = — 1- al(x-a) -f-3
ixù^/x x — a* ' etc.
Si on fait x—a, la fonction seconde f"x devient infinie, ainsi que toutes les suivantes.
Ainsi le développement def(x+ i) par la formule générale deviendra fautif dans le cas de xxza , et il contiendra nécessairement le terme ia l i.
Nous avons observé pins haut que lorsqu’une valeur parti-, culière de x fait disparaître dans fx un radical , en ne détruisant pas ce radical lui-même , mais en rendant seulement nul son
CALCUL
coefficient , alors ce même radical reparaîtra nécessairement dans les fonctions dérivées/' x,f"x, etc., et la formule générale du développement def(x-f-i) ne cessera pas d’être exacte dans ce cas.
Mais lorsque la fonction/r au lieu d’être donnée d'une manière explicite n’est déterminée que par une équation où le radical ne se trouve pas , la détermination de ses fonctions dérivées dans le cas dont il s’agit, pourra être sujette à des difficultés qu’il est bon de prévenir.
Soity—fx , et parconséquent, en prenant les fonctions dérivées, y' =fx,y"=f'x, etc. Supposons que pour une valeur donnée de x il disparaisse dans fx un radical , lequel ne disparaisse pas dans fx\ il est clair que pour cette valeur de x, la fonction fx aura un plus grand nombre de valeurs différentes que la fonction fx , à raison du radical qui se trouve dans fx, et qui a disparu de fx ; d’où il suit que la valeur de y ne pourra pas être donnée par une simple fonction de x et y qui ne contiendrait pas explicitement ce radical. Ce-' pendant, si dans l’équation y —fx on fait disparaître ce même radical par l’élévation aux puissances, et que l’équation résultante soit représentée par
l’équation dérivée de celle-ci donnera
comme on l’a vu dans la leçon YI ; donc cette expression sera en défaut , dans le cas où l’on donnerait à x la valeur en question , ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que les quantités F' (x) et F' ( y ) seront, l’une et l’autre, nulles à-la-fois. Ainsi, dans le cas dont il' s’agit , l’expression de^' deviendra égale à zéro divisé par zéro; et réciproquement , lorsque cela arrivera , ce sera une marque que la valeur cor-.
respondante de x aura détruit dans fx un radical, sans le détruire dans f x.
Peur avoir dans ce cas la valeur de y, il ne suffira donc pas de s’arrêter à la première équation dérivée de F (x,y') = o, laquelle étant
aura lieu d’elle -même , indépendamment de la valeur de y' \ niais il faudra passer aux secondes fonctions dérivées , et l’on aura une équation de la forme
y F' (yj+yip+yQ + x^o,
P, Q, R étant des fonctions de x et y qu’on trouvera par les règles générales de la dérivation des fonctions.
Cette équation donnera, généralement parlant, la valeur fle y" ; mais dans le cas proposé, la quantité F' (y) devenant ‘ nulle , le terme qui contient y" disparaîtra , et l’équation restante •era une équation du second degré en y' par laquelle on déterminera la valeur de y' qui sera parconséquent double.
Soit , par exemple ,
on aura
Faisant x-=a, on a
fx=a, etf'x = 1 -f |/(a— b) ,
où l’on voit que le radical disparait dans la valeur d efx, mais non pas dans celle de/'x, ensorte que la première est simple et la seconde double.
Maintenant si on fait fx = y , et qu’on élève l’équation au quarré pour faire disparaître le radical , on aura
7? CALCUL
En prenant les fonctions primes , on aura celle-ci a(.y— (/— i)=a(x— a)(x — i) + (x— a)*; d’où l’on tire
Faisant x — a , on a aussi y = a ; ce qui donne
On passera donc aux fonctions secondes , et l’on aura cette « équation du second ordre,
Ici la supposition de x = a, ety=a, donne
d’où l’on tire
comme plus haut.
Il peut arriver que la même valeur de x, qui détruit les termes de la première équation dérivée , détruise aussi ceux de la seconde ; il faudra alors passer à l'équation tierce , laquelle par la destruction des termes qui contiendront y" et y*, deviendra une simple équation eny' , mais du troisième degré, et ainsi de suite; cela dépend de la nature du radical qui aura été détruit dans y, et qui doit être remplacépar le degré de l’équation d’où dépend la valeur dey'.
Supposons en second lieu que la même valeur de xqui fait
disparaître un radical dans fx , le fasse disparaître aussi dans fx , sans le faire disparaître néanmoins dans/'x : alors les valeurs correspondantes d efx, et f'x seront en même nombre, mais celles d ef"x seront en nombre plus grand. Si donc on fait évanouir ce radical dans l’équation y =fx , la valeur de /
qu’on en déduira , se trouvera = -, et il faudra passer aux
équations dérivées d’un ordre supérieur pour avoir la valeur de/.
Soit, pour en donner un exemple.
y=x+(kx—ayy(x—b),
en aura
Faisant x~a, on a
y=a , Ÿ — i et/ = aj/(a — b).
Mais si on réduit l’équation proposée à cette forme rationnelle
(y— *)* = (x — a)* (x— b), on en tirera l’équation dérivée
dans laquelle , en faisant x=a et y — a, tout se détruit.
On passera donc à l’équation dérivée du second ordre, laquelle sera
(y—x)y" -f (/—i)*= 6 (x — a y (x— b) + 4(x—ay. Faisan tx = a , et^ = a , on aura
Digilize
3oogle
(y' — 1 )* = o , et parconséquenty = 1 ;
niais pour avoir la valeur de y" , il faudra avoir recours à l'équation tierce , et même à l’équation quarte.
On aura ainsi
où tout se détruit encore en faisant x = a,y — a,y'= i. L’équation dérivée de l’ordre suivant sera donc
Faisant ici a, y=a,y' = î , on aura
d’où l’on tire
comme plus haut.
Nous ne pousserons pas plus loin cette analyse , qui d’ailleurs n’a plus de difficultés d’après les principes établis. Mais nous allons donner à cette occasion la théorie de la méthode pour trouver la valeur d’une fraction dans les cas où le numérateur et le dénominateur deviennent nuis à-la-fois.
fr
Soit J-pr une pareille fraction , fx et Fx étant des fonctions
de x , telles que la supposition de x= a les rendent toutes deux nulles à-la-fois, et que l’on demande la valeur de cette fraction lorsque x = a.
On fera
fx , -
y — — , et parconsequent y Fx —fx ;
en supposant x—a, cette équation se vérifie d’elle-même, et
ns
des fonctions. gj-
ae peut pas servir à déterminer la valeur de y. Mais en prenant 1 équation dérivée , on aura
y'Fx+yF'x=fx-,
la supposition de x— a quation donne
détruit le terme/Fx, et le reste de l’é*
S’il arrivait que les fonctions primes/'x et F'x devinssent aussi nulles parla même supposition , on trouverait alors par le meme principe , en substituant dans l’équation ci-dessus , fx F x au lieu de/x , Fx , cette nouvelle expression de y ,
fx
On pourrait aussi déduire la même expression de l'équation dérivée trouvée ci-dessus, en considérant que comme elle se vérifie d’elle-même lorsque x—a, elle ne peut servir à la détermination de^y; que. parconséquent il sera nécessaire de passer à la seconde équation dérivée , laquelle sera • saoMtq - x» *. /•-
y”Fx + 2 y' F'x +yF"x — fx.
La supposition de x=a rendant nulles les fonctions Fx et F'x les termesqui contiennent / et/ s’en iront d’eux-mêmes, et . les termes restans donneront - ...p-r:.:
comme plus haut.
Si la même supposition de x=o donnait encore r '.ht ; : 7 zO fx = o et ,F"x = o,
®n trouverait de la même manière -
CALCUL
et ainsi de suite.
D’où résulte cette règle générale que lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fonction de x deviennent nuis à-la-fois pour une valeur donnée de x, il faut prendre à leur place les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, jusqu’à ce qu’on arrive à une fraction qui ait une valeur déterminée pour la même supposition de x.
On sait que la formule donne la somme de la pro-
gression géométrique x -f- x* -f- xJ-f- etc. + *"•
Lorsque x = 1 , cette formule devient ^ ; on prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur , et
on aura la nouvelle fraction ^-^■1 — dont la valeur,
lorsque x = 1 , est n.
Si on prend la fonction dérivée de la formule ,
1 — (ra-J- i)x"-f.nr,+l .... ,
on a - — - — — , et celle-ci exprime parconse-
Vi— x J
quent la somme de la série 1 -}~2x-f-3x*-}-etc. -f- «r"'1 qui est la fonction dérivée de la série x-f-x*-f-x3-f-etc. -f-x*.
Lorsque x= î , la formule précédente devient = ^ : on prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur , et l’on aura la nouvelle fraction
— n(n-f- î ) xB~‘-f- n(n- f- px"
qui , en faisant x = i , devient de nouveau 2. On prendra derechef les fonctions dérivées du numérateur et du dénomina-
DES FONCTIONS, teur de cette dernière fraction , et l’on aura celle-ci
laquelle, lorsque x=r, devient
somme de la série 1 -f- 2 -f- 3 -f- etc. -h».
On pourrait craindre qu’en prenant ainsi les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, on n’eût toujours des fonctions qui devinssent égales à zéro divisé par zéro pour la même valeur de x ; mais il est aisé de se convaincre qua cela ne saurait avoir lieu. Car si x=a faisait évanouir les fonctions fx jf'x, f'x , etc. à l’infini , puisqu’on a en général
fÇx + i)=fx + ifx + - f "x + etc. ,
on aurait, lorsque x = a ,
quel que soit i, ce qui est impossible. Il en serait de même de F (x + i).
Il peut néanmoins arnver que ces fonctions deviennent-à-la fois infinies parla même supposition de x = a, ce qui rendrait
fx f'x
également indéterminées les valeurs des fractions-^- , --r , etc ;
mais ce cas rentre alors dans le cas général que nous avons examiné plus haut , et il en faudra conclure que le développe ment des fonctions / ( x -f- i ) et F ( x -f- i ) contiendra alors des puissances de i fractionnaires ou négatives.
On substituera donc a -f- i à la place de x , tant dans la fonction du numérateur que dans celle du dénominateur, et
l'on résoudra l’une et l’autre en série suivant les puissance» ascendantes de i ; on fera ensuite i — o , après avoir divisé le haut et le bas de la fraction par la plus haute puissance de i ; ou , ce qui revient au meme , on n’aura d’abord égard qu’au premier terme de chacune des deux séries.
Soit par exemple la fraction
' . Vx — {/ a + y/ ( x — a)
1/ Oa — a')
dont on demande la valeur , lorsque x = a. On voit d’abord que cette supposition rend le numérateur et le dénominateur nuis. Leurs fonctions dérivées sont
— -4 et
qui deviennent l’une et l’autre infinies par la même supposition: On fera donc x = a-f-t , et la fonction du numérateur deviendra
l^(a + 0 — V/a + yi = ffi+ L -J- etc. la fonction du dénominateur deviendra
V i ( 2a 4- O = i/aai ~l f- etc. „
«n ordonnant les termes suivant les puissances croissantes de i. En ne prenant que les deux premiers , on aura la fraction
yuai |/aa’
pour la valeur cherchée.
En général, une fonction de x ne peut devenir nulle lorsque x — a, à moins qu’elle ne contienne un facteur (x — o)”1, m
étant un nombre positif quelconque. Donc si deux fonctions de x deviennent milles par la meme supposition , il faudra qu’elles contiennent chacune un pareil facteur ; et pour trouver alors la valeur de la fraction formée de ces deux fonctions, il ne s’agira que de la réduire à sa plus simple expression , en la dégageant du facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Si donc on fait x = a -f- i , ce qui donne x — a —i , le facteur commun sera une puissance de i qui s’évanouira par la division , et alors il n’y aura plus qu’à faire i = o pour avoir x = a.
• fcc
Ainsi ayant la fraction j-,— , la substitution de a-f-i au lieu de x , donnera d’abord en général
fa -f if a + ‘-fa + etc.
Fa -f- i F' a + - F” a -I- etc.
Si fa = o , et Fa = o , le haut et le bas de la fraction seront divisibles par i, et elle deviendra
f a -h ~f"a + etc.
F' a -f- - F" a 4- etc.
Faisant ensuite i = o pour avoir x = a , on aura la valeur de la fraction proposée , lorsque x = a.
fa
F~a P°Ul
Si f a — o et F' a — o , la fraction se réduira encore , et deviendra par une nouvelle division par i
CUCDL
lf"a + h>f"a + etc-
- F" a -j F” a -f- etc.
laquelle en faisant t == o se réduit à \ et ainsi de suite.'
On voit par-là la raison de la règle générale donnée plus haut, et on voit en même tems que cette rè^e n’est bonne que pour les fractions dont le numérateur et le dénominateur contiennent à-la-fois un facteur de la forme ( x — a)”', m étant un nombre entier positif. Aussi peut-on toujours résoudre ces cas en faisant disparaître ce facteur par les règles connues, pour réduire la fraction à sa plus simple expression.
Dans les autres cas où m serait un nombre fractionnaire ou négatif , la règle sera en défaut , et il faudra alors réduire les deux fonctions /(o+0 et F(a-j-i) dans les séries ascendantes
etim -f- £ im+n -f- etc. ; et Aim -f- Bi 'n+p -|- etc. ,
de sorte que l’on aura
f(a-j-i') te-j-/Sin-f-etc.
F ( a -j- i) A -f- etc? *
et faisant i=o, on a
fa a. ‘
Fa A‘
Si les premiers termes des deux séries contenaient des puissances différentes de i , par exemple , si la série du numérateur étant la même que ci - dessus , celle du dénominateur était
Air -(- Bir+i -f- etc. ,
m et p étant des nombres quelconques , mais n , q , etc.
DES FONCTIONS. Sj
étant positifs pour que les deux séries soient toujours ascendantes, alors faisant i = o après avoir dirigé le haut et le bas de la fraction par la plus petite des deux puissances im et - fa
tf , on aura — o ou = oo suivant que m > on ,
en regardant les nombres négatifs comme moindres que les positifs. Mais par ce que nous avons démontré plus haut, on est assuré que ces cas n’auront lieu que lorsque les valeurs des fonctions dérivées de fx et de Fx deviendront infinies en même tems, par la supposition de xx=a.
L’analyse que nous venons de donner est nécessaire pour ne rien laisser à desirer sur la nature des fonctions dérivées ; mais comme elle ne regarde que la valeur de ces fonctions dans des cas particuliers , elle n'influe point sur la théorie générale des fonctions, en tant qu’on n’y considère que la forme et la dérivation des fonctions , laquelle est parconséquent indépendante des exceptions que nous avons trouvées.
