LEÇON NEUVIÈME

De la manière d’avoir les limites du développe i ment d’ une fonction , lorsqu’on n’a égard qu’à un' nombre déterminé de termes. Cas dans lesquels les principes du calcul différentiel sont en défaut. Théorème fondamental. Limites de plusieurs séries. Manière rigoureuse d’ introduire les fonctions dérivées dans la théorie des Courbes et dans celle des mouvement variés.

Toute fonction y (jc -+■ i ) se développe, ainsi qu’on l’a vu,

dans la série fx -j- ifx -f- - f'x -f- fx + etc. » laquelle

va naturellement à l’infini , à moins que les fonctions dérivées de fx ne deviennent nulles , ce qui a lieu lorsque fx est une fonction rationnelle et entière de x.

Tant que ce développement ne sert qu’à la génération des fonctions dérivées, il est indifférent que la série aille à l’infini ou non ; il l’est aussi lorsqu’on ne considère le développement que comme une simple transformation analytique de la fonction ; mais si on veut l’employer pour avoir la valeur de la Fonction dans les cas particuliers , comme offrant une expression d’une forme plus simple à raison de la quantité i qui se trouve dégagée de dessous la fonction , alors ne pouvant tenir compte que d’un certain nombre plus ou moins grand de termes , il est important d’avoir un moyen d’évaluer le reste de la série qu’on néglige , ou du moins de trouver des limites de l’erreur qu’on commet en négligeant ce reste.

La détermination de ces limites est surtout d’une grande importance dans l’application de la théorie des fonctions à l’analyse des courbes et à la rtiécanique , pour pouvoir donner à cette application la rigueur de l'ancienne géométrie , comme on le voit dans la seconde partie de la Théorie des fonctions analytiques.

Dans la solution que j’ai donnée de ce problème dans l’ouvrage cité , j’ai commencé par chercher l’expression exacte du reste de la série, ensuite j’ai déterminé les limites de cette expression. Mais on peut trouver immédiatement ces limites d'une manière plus élémentaire , et également rigoureuse.

Nous allons, pour ceja , établir ce principe général qui peut être utile dans plusieurs occasions.

Une fonction qui est nulle lorsque la variable est nulle, aura nécessairement , pendant que la variable croîtra positivement, des valeurs finies et de même signe que celles de sa fonction dérivée, ou de signe opposé si la variable croit négatif vement, tant que les valeurs de la fonction dérivée conserveront le même signe , et ne deviendront pas infinies.

Ce principe est très-iïnportant dans la théorie des fonctions , parce qu’il établit une relation générale entre l’état des fonctions primitives et celui des fonctions dérivées , et qu’il sert à déterminer les limites des fonctions dont on ne connaît que les dérivées.

Nous allons le démontrer d’une manière rigoureuse.

Considérons la fonction f (x-f- i) dont le développement

ri . i *

général est f x -f- if x -f- — f x -f- etc.

Nous avons vu dans la leçon précédente , que la forme du développement peut être différente pour des valeurs particulières de x ; mais que , tant que/'x.ne sera pas infinie ,les deux premiers termes de ce développement seront exacts , et que les autres contiendront parconséquent des puissances de i , plus hautes que la première , de manière qu’on aura

CALCUL

f(x + i)=fx + i(,fx+r ),

pétant une fonction de x et i, telle qu'elle devienne nulle lorsque i=o.

Donc puisque V devient nul lorsque i devient nul, il est clair qu’en faisant croître i par degrés insensibles depuis zéro , la valeur de F croîtra aussi insensiblement depuis zéro , soit en plus ou en moins , jusqu’à un certain point, après quoi elle pourra diminuer; que parconséquent on pourra toujours donner à i une valeur telle que la valeur correspondante de Vt abstraction faite du signe, soit moindre qu’une quantité donnée, et que pour les valeurs moindres de i, la valeur de V soit aussi moindre.

Soit D une quantité donnée qu’on pourra prendre aussi petite qu’on voudra ; on pourra donc toujours donner à i une valeur assez petite pour que la valeur de V soit renfermée entre les limites D et — D\ donc puisqu’on a

/(*+*)-/*=* cr*+n.

U s’ensuit que la quantité f ( x -f- i ) — fx sefa renfermée entre ces deux-ci i (j fxdzD).

Comme cette conclusion a lieu quelle que soit la valeur de x , pourvu que fx ne soit pas infinie , elle subsistera aussi en mettant successivement x -f -i, x -f- 2 i , x -f-3 i , etc. , jusqu’à x + (n — i) i à la place de x; de sorte qu’on pourra toujours prendre i positif et assez petit pour que les valeurs des quantités

f(x + L) —fx,

/(x + ai) — /(x + i) ,

/(x-f 3t) — /(x+ si).

/(x-fni)— /(x-{- O— 1) i), soient renfermées respectivement entre les limites

i ( fx±D), *(/ (x+i) + D), i Cf (x+2i)±0),e te. ,

en prenant pour D la même quantité dans chacune de ces limites , ce qui est permis , pourvu qu’aucune des quantités fx,f(x+i),f(x-{-ai) , etc., jusqu’à/ (x + ( n — i) i), ne soit infinie.

Donc si toutes ces dernières quantités sont de même signe , c’est-à-dire, toutes positives ou toutes négatives, il est facile d'en conclure que la somme des quantités précédentes, laquelle se réduit à/(x+ni) — fx, aura pour limites la somme des limites , c’est-à-dire les quantités

ifx+if + (* + «’)+

■••• • + »f (*+(»— O i)±niD.

Si donc on prend la quantité arbitraire D moindre que la somme

fx +f (x 4- i ) +/ (x -f ai ) + etc. +/(x + (n—i ) i )

divisée par n , abstraction faite du signe de cette somme , la quantité f{x -f- n i) — / x sera nécessairement renfermée entre zéro et la somme

zi { fx -f /(x -f i) -f f (x -f ai) +. . . .+/(x + (n— i)i}.

Donc si P est la plus grande valeur positive ou négative des quantités /x, / (x -f— i) , etc. jusqu’à /(x + (» — 00, la quantité f (r -J- ni) —fx sera, à plus forte raison , renfermée entre zéro et a niP.

Or comme en prenant i aussi petit qu’on voudra , on peut «n même temps prendre n aussi grand qu’on voudra , on pourra supposer in égale à une quantité quelconque z, posj-

CALCUL

tive ou négative , puisque la quantité i peut être prise positivement ou négativement.

La quantité f(x -f ni ) — f x deviendra ainsi/- (x -f- z) — f x , et pourra représenter une fonction quelconque de z , qui s’évanouit lorsque z=o, la quantité x pouvant maintenant être regardée comme une constante arbitraire. De même la quantité y (x -f- ni) deviendra f (x-f-z) et représentera la fonction dérivée de la même fonction de z, puisquey (x -f- z) est également la fonction dérivée de y (x-f-z) , soit par rapport à x , soit par rapport à s.

On peut donc conclure en général que si y (x-f-z) a constamment des valeurs finies et de même signe, depuis z — o, et que P soit la plus grande de ces valeurs, abstraction faite du signe , la fonction primitive dont il s’agit sera renfermée entre o etzzP, parconséquent elle aura toujours aussi des valeurs finies et de même signe que la fonction dérivée , si z est positive , ou de signe différent, si z est négative.

Dans le calcul différentiel , la conclusion précédente est une suite immédiate et nécessaire de la manière dont ce calcul est envisagé, et elle se présente même sans aucune limitation relativement aux valeurs infinies ; mais nous allons Voir qu’elle est souvent en défaut à cet égard, ce qui servira à montrer la nécessité d’une analyse plus rigoureuse que celle qui sert de base au calcul différentiel.

En effet, si y est une fonction de z, sa fonction dérivée,

dy

suivant la notation de ce calcul , sera représentée par et

y , intégrale de dy , est regardée , par le* principes mêmes du calcul , comme la somme de tous les élémens infiniment petits dy, ou dz\ parconséquent si y=o, lorsque z~o,

y sera la somme de tous les élémens ^ dz qui répondent à tous

DES FONCTIONS. g3

les élémens de z. D’où l’on est en droit de conclure que

si ÿ- a toujours des valeurs positives , depuis z = o , jusqu’à

une valeur quelconque positive de z,tous les élémens ~ dz

étant positifs , la valeur de y répondant à cette valeur de s sera nécessairement positive.

Cependant , si l’on a , par exemple , y = — ^ , a

étant une constante quelconque positive , on aura y = o lors-

dy

que z = o , et la valeur de -g- sera , par les règles connues

de la différentiation ,

Cette valeur est constamment

(a— zy

positive , quelle que soit la valeur de z ; il faudrait donc que la valeur de y fût toujours positive, ce qui n’est pas; car en prenant z plus grande que a, y devient négative. Ainsi les principes du calcul différentiel sont en défaut dans ce cas.

Suivant le principe que nous venons d’établir, la valeur de y ne sera nécessairement positive qu 'autant que la foncdy , ,

tion dérivée —■ ne sera pas infinie dans l’étendue de la valeur dy 1

de z. Or étant égale à — , elle devient infinie lors-

dz (a — z)

que z = a. Donc les valeurs de y seront nécessairement positives depuis z=o jusqu’à zn=a; mais elles pourront ne

pas l’être lorsque z j> a , quoique les fonctions dérivées ■

soient toujours positives.

Yoici maintenant comment le principe dont il s’agit, s’applique à la détermination des limites du développement de

Soient d’abord p et q les valeurs de x-f-i qui rendent la fonction dérivée f (x-f-i) la plus petite et la plus grande, en regardant x comme donné, et faisant varier i depuis zéro

$4 CALCUL

jusqu’àune valeur quelconque donnée de i. Donc f'p sera la plus petite valeur de/'(x-f O, et f'q en sera la plus grande; par conséquent /'(x -f 1) —f'p , et /'q — /(x-f i) seront toujours des quantités positives.

Regardant ces deux quantités comme des fonctions dérivées , relatives à la variable t, leurs fonctions primitives, prises de manière quelles soient milles lorsque i = o seront, à cause de x, p et q supposées constantes,

f(x + i) —fx — ifp, et ifq-f(x+i ) -f/x.

Ainsi pourvu que f(x -fi) ne soit jamais infinie depuis i—o jusqu’à la valeur donnée de i , ce qui aura lieu si f p et f'q ne sont point des quantités infinies, on aura par le principe précédent, si i est positif,

/(x + i ) —fx — if'p > o , et/x — f(x-f i) -f / q > o ; d’où l’on tire

f(x-\-i)>fx + ifp, et /(x-f i) <fx + if q.

Supposons ensuite que p et q soient les valeurs de x -f i qui rendent la fonction dérivée du second ordre /' (x -f i) la plus petite et la plus grande , en faisant varier i depuis zéro jusqu’à une valeur donnée ; on aura f"p et f q pour la plus petite et la plus grande valeur de f" (x -f i ) ; parconséquent/" (x -f i) —f’p , et f"q —f(x -f O seront toujours des quantités positives.

Regardant ces quantités comme des fonctions dérivées relatives à la variable i, leurs fonctions primitives prises de manière quelles soient nuiles, lorsque i= o, seront

f (x + ï)— /x— ifp,

f'q —f(x + i ) +fx-

Donc , pourvu que f (x-f i ) ne soit jamais infinie dans toute

DES FONCTIONS. g5

l’étendue de i , ce qui revient à ce que f'p et fq ne soient point infinies , ces deux quantités seront , par le même principe, toujours positives et finies, i étant supposé positif; et en les regardant comme des fonctions dérivées relatives à i , leurs fonctions primitives, prises de manière qu’elles soient nulles lorsque i=o, seront, à cause de x, p et q supposées •onstantes ,

f(* + 0 —fs — fx ~ fq —/O + » ) +fx + if x-

Ces nouvelles quantités seront donc aussi, par le même principe , toujours positives ; on aura ainsi

/(x -f i) — fx— if'x — ~ fp > o ,

+ * ) + if* + l-fq > o ,

d’où r on tire

f (.* + *)> fx + if x+ - f'p,

fx+i)<fx+fx+ ~fq.

Si on suppose , en troisième lieu , que p et q soient les valeurs de x -f- i qui rendent la fonction tierce f (x + i) la plus petite et la plus grande, depuis i=o jusqu’à une valeur donnée de i, on aura les deux quantités f (x -f- i) — fp et fq — f (x -}- i ) , qui seront nécessairement positives dans toute l’étendue de i. Donc en les regardant comme des fondons dérivées relatives à la variable i , leurs fonctions primitives, prises ds manière qu’elles soient uulles lorsque i=o, seront

96 CALCUL

et

ifq-f’‘(x + i) +fx.

Et ces quantités seront, par le même principe, toujour* positives et finies, pourvu quef“(x-}-i) ne soit jamais infinie dans toute l’étendue de t, c’est-à-dire, pourvu que/1'/» et f'q ne soient point infinies.

Donc, en regardant de nouveau ces dernières quantités comme des fonctions dérivées relatives à i, leurs fonctions primitives, prises de manière qu’elles soient nuiles lorsque i=o, seront

' et

~ fq —f O + O +fx + if"x,

lesquelles seront parconséquent aussi toujours positives et finies , en vertu du même principe.

Enfin, regardant encore ces nouvelles quantités comme des fonctions dérivées relatives à i, leurs fonctions primitives, prises de manière qu’elles soient nuiles lorsque i = o , seront

•f (X 4- i ) —fx — ifx — ^3 fP>

et

^3 rq —/(* 4- *)■+/* + ifx + '-f**-

Ces quantités seront donc encore positives par le même principe ; ainsi on aura

/(*+ 0 —fx fx—

fx — f(x + i') + ïffx+ Lfx+^f*q> o;

d’où

d’où l’on tire

/(x+i)>fx+ifx+ ~f°x+ ~fP,

f(x + i) </x + ifx+~ f'x + ~fq, et ainsi de suite.

Nous avons ‘supposé dans ces développemens i positif; si i était négatif, ou bien si on changeait i en — i, alors on trouverait pour premières limites de f(x—i)}

/(x— i) </x — if p

f (x — 0 >/x — fq.

On trouverait ensuite pour secondes limites

A*— O <fx — ifx + ~ fp ,

f(x—i)>fx — ifx+ -fq,

et ainsi des autres.

Donc , en général, la quantité soit que i soit po-

sitif ou négatif, sera toujours renfermée entre ces deux-ci :

fx + fx + i- f'x + f’x + etc. + ~ .. ^ f'p,

fx + fx + -- r* + + etc- + /**?»

en prenant pour p et q les valeurs de x -f- i , qui répondent à la plus petite et à la plus grande des valeurs de

A(x- f 1) , dans toute l’étendue de i , depuis i = o ; pourvu

que les deux quantités fPp etf 'q ne soient pas infinies.

3$ CALCUL

Au reste , il est facile de voir , par l’analyse précédente ; qu’on n’estpas astreint à prendre pour ft*p et f^q la plus petite

et la plus grande valeur de (x + r) , mais qu’on peut prendre à leur place des valeurs quelconques plus petite» que la plus petite , et plus grandes que la plus grande ; ce qui peut servir, dans nombre de cas, à faciliter beaucoup la détermination des limites.

J’observerai ici, quoique cela ne soit presque pas nécessaire , que j’entends toujours par quantités plus grandes ou plus petites absolument, celles qui sont plus avancées ver» l’inGni positif, ou ver* l'intlni négatif; ainsi, si a>b, on aura — a< ' — b , etc.

L’analyse précédente redonne, comme l’on voit, successi- . vement les termes du développement àef(x -f- i); mais elle a l’avantage de ne développer cette fonction qu’autant que l’on veut, et d’offrir des limites du reste.

En effet, si dans le développement de on veut

s’arrêter au terme y.'1"’, pour avoir les limites du reste du développement, il n’y a qu’à considérer le terme suivant, qui serait de la forme

et y mettre à la place de f*x la plus grande et la plus petite valeur de /‘‘‘(x-f-t), en faisant varier i depuis zéro, ou bien des quantités quelconques plus grandes ou plus petites que la plus grande et la plus petite valeur d ef (x-f- i). Si ces deux valeurs, ou l’une d’entr’ elles était infinie , il n’y aurait point alors de limites; c’est aussi le cas où le développement deviendrait fautif, parceque la valeur de /*w (x-f-i) serait infinie dans quelque point.

DES FONCTIONS. y 9

En général, on peut avoir de la même manière les limites ries valeurs de toute fonction dont on ne connaîtra que la, fonction dérivée d’un ordre quelconque. On examinera la marche de la fonction dérivée depuis l’origine de la variable et si elle ne devient jamais infinie, on y appliquera immedia’ tement les formules précédentes , où £ est la variable, et x peut être une constante quelconque. Si au contraire la fonction dérivée devient infinie pour certaines valeurs de la Variable , on partagera cette variable en autant de parties séparées par les ternies auxquels répondent les valeurs infinies rie la fonction, et on appliquera séparément les mêmes formules à chacune de ces parties.

Supposons,pour donner quelques exemples, /(x-f £)— Cx+i'S” on aura/x= xm, et de là J '

f x — f"x=m(m— i)xm— %

f"x=m (m — i) O— s) i"-3, etc. ; et en général ,

f^x: =Mxm P, où M=am(m — i)(m — 2). . .(ni- — /u-f- 1), comme on 1 a vu dans la leçon ÏI. On aura donc

fy- (x + i) = M(x + i M,

où 1 on voit que cette fonction ne peut jamais devenir infinie tant que x-\~i n est pas=o, et que y n’est pas^>m. On voit aussi que la plus petite et la plus grande valeur de

M(x+i)m répondent, l’une à i=o, et l’autre à i ; da sorte que les valeurs p et <7 seront retx+ i, ou x+i èt x.

Donc, en général, le développement de sera com-

pris entre ces deux limites,

-f- mix"-' ~ 0 Px^ + etc. 4. xm—y.

toc

CALCUL

cc* 4- -f-

MJ*

i*x*-*4>etc.’

Par le moyen de ces limites , on est à couvert des difficultés qui peuvent résulter de la non-convergence de la série ; car comme un terme quelconque n,mt est au suivant dans le rap-

port de i a 1 — X - , pour que la sene soit conver-

gente, il faut que la quantité — — — X abstraction faite du signe qu’elle doit avoir, soit moindre que l’unité.

Si - < i , il est clair que la série finira toujours par être

convergente , puisque la dernière valeur de — — n~ ^ 1 est

— i . Mais elle sera toujours divergente à son extrémité , si ^ > i , quoiqu’elle puisse être convergente dans ses premiers termes. Ainsi elle ne pourra alors être employée avec sûreté , quelque loin qu’elle soit portée , qu’en ayant égard aux limites que nous venons de donner.

Supposons, en second lieu.

on aura

f(x + i) =zaz+‘.

fx—a x, et de là f'x=o* la , fx=ax(layt fmx=a?Çla)3, etc. Donc, en général,

/^(x+i) = ax+‘ ( la )**,

où l’on voit que la plus petite et la plus grande valeur répondent aussi à i o et à i. Ainsi on aura , en faisant