a.3 -4-b a.3. ..fit

Et si on fait x ==.£>, on aura

etc. dt

pour les limites de sin i et cos i , où il faudra prendre pour /a

DES EOHCTIONS. ÏC&

le nombre immédiatement plus grand d’une unité que l’exposant de i, dans le terme auquel on voudra s’arrêter.

Nous avons donné, à la fin de la leçon VII, la sérié du développement de/ (y -f- i), en supposant.yrrrtang x elfy=x, et nous avons trouvé en général

ft*y ~ . . (/4 — i)cos“x X *m ou COS//X-*

Donc, on aura aussi

f^(y -f* t) = db a. 3. . . — 1) cos^z X sin ou cos

en faisant y -f- i — tang z , c’est-à-dire ,

tang . z == tang . x-{-i.

Or quels que soient y et i, il est visible que la plus petite

et la plus grande valeur de cos^z X sin ou cos y.z, sera — i et i ; , d’où on peut d’abord conclure que la série est vraie pour des valeurs quelconques de x et i ,, et que si on veut arrêter la série au terme le reste de la série serané-

cessairement renfermé entre les limites zt — .

Ainsi en faisant x = o , on aura ces limites

arc tang 1- -=■ 4- etc. rfc

où M est l’exposant du têrmè auquel on veut s’arrêter.

Nous finirons par remarquer que les mêmes formules peuvent servir à développer tme fonction quelconque , suivant les puissances de sa variable ; car: en faisant x = o , /(* + *) devient simplement fi et peut représenter une fonction quelconque d’une variable i.

Or il est visible que les valeurs de fx,fx, /"x, etc.,’ lorsque o, doivent coïncider avec celles Aè fi, fi, fi, etc. ^ lorsque i = o.

CALCUL

ÎO 4

Donc , si on dénote simplement par f, f, f, etc. les valeurs défi , fi,f“i, etc., lorsque i = o, on aura en général

fi=f+ ;/'+ + etc.

Et si on veut s'arrêter au terme alors comme le

terme suivant serait

il*

il n’y aura qua substituer à la place défi* la plus grande

et la plus petite valeur de fl*i , ou des valeurs plus grandes et plus petites que celles-ci , et l’on aura les limites du reste du développement.

Ainsi le développement sera exact tant que ces limites auront des valeurs finies. Si l’une d’elles devenait infinie, le reste de la série pourrait aussi devenir infini , et lé développement deviendrait fautif. Il faudra donc alors ou s’arrêter à un terme précédent , ou n’attribuer à i que des valeurs

telles, que ne devienne pas infinie depuis i~o jusqu’à cette valeur.

Puisque ces limites répondent à la plus grande et à la plus

petite valeur de fl*i, en prenant i depuis zéro jusqu’à la valeur donnée ; il est clair que la valeur exacte du reste du développement de la fonction fi répondra à une valeur intermédiaire de fl*i , qui pourra être représentée par fl*j , en prenant pour j une quantité entre zéro et i. 11 suit de là qu’on pourra toujours représenter d’une manière finie le développement d’une fonction quelconque fi , en y introduisant une quantité inconnue j moindre que i. Ainsi , on a ce théorème analytique, remarquable par sa simplicité.

ICO

fi=f+if+ir+±r+'tc.

a 3. . . jw. — 1

ïf4

a 3. . .fn

o ù etc., sont les valeurs à.tfi,f'i,fi, etc., en y faisant i = o , l’exposant /w étant quelconque.

On a par-là une démonstration rigoureuse de cette proportion qu’on s’était contenté de supposer jusqu ici; savoir, que dans le développement d’une fonction , on peut donner a la variable suivant laquelle est ordonné le développement , une valeur assez petite pour qu’un terme quelconque de la série soit plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent ; caï il est clair qu’il suffit pour cela de faire voir qu’on peut toujours prendre i assez petit pour que l’on ait

condition qui se réduit à celle-ci f'A 1 ]>- /'Z4/ , a laquelle il est visible qu’on peut toujours satisfaire en diminuant la valeur de i, pourvu qu’on n’ait pas f^ *.= o.

On peut démontrer de la même manière cette autre proposition, que si l’on a deux fonctions différentes fi et Fi , qui soient telles que les |W premiers termes du développementde/7 , soient respectivement égaux aux premiers termes du développement de Fi, on peut , en diminuant la quantité i, rapprocher assez près les valeurs de ces deux fonctions , pour que la valeur d’aucune autre fonction comme , ne puisse jamais tomber entre ces valeurs, si les fx. premiers termes du développement de %i ne coïncident pas aussi avec ceux du développement de f i et de Fi ; car la différence Fi — fi se réduira, par l’hypothèse, à

CALCUL

ic6

où la quantité j pourra être différente dans les deux fonctions, mais toujours ; <^i\ au lieu que la différence!;/ — fi 6era de la forme

( 9X~/X) + etc. + a- -g^— C V—fj) ,

A étant /z; d’où l’on voit qu’en diminuant la valeur de i , le rapport de cette différence à la première , deviendra toujours plus grand , à moins que l’on n’ait aussi etc.

C’est sur ces principes qu’est fondée l’application rigoureuse de la théorie des fonctions dérivées aux parties de lagéométrie et de la mécanique, pour lesquelles on emploie le calcul différentiel. Soit fx l’ordonnée d’une courbe dont x est l’abscisse ; prenons une nouvelle abscisse i , qui commence où finit l’abscisse x, que nous regarderons maintenant comme constante ; l’ordonnée corresportdante sera

f(x + 0 = fx + ifx -f- -- fx -f etc.

Arrêtons-nous aux premiers termes , et supposons l'équation

sr=/x+ ifx ,

entre l’abscisse i et l’ordonnée z;, cette équation sera à une ligne droite qui passe par le point de la courbe qui répond à l’abscisse x, et qui est inclinée à l’axe d'un angle dont fx est la tangente.

Comme les deux termes de l’ordonnée de cette droite coïncident avec les deux premiers' termes de celle de la courbe , i] sera impossible qu’aucune, autre droite passant

par le même point de la courbe , puisse passer aussi entre elle et la droite dont il s’agit; celle-ci sera donc la tangente de la courbe au même point, de manière qu’en appelant t la sous-tangente , on aura en général —f x, et

de là t r= -*£— — Z;

Prenons maintenant les trois premiers termes du même développement, et considérons la courbe dont l’équation entre l’ordonnée z et l'abscisse i serait . •

a —f* + *f*+- rx‘>

on aura une parabole dont l’axe est parallèle aux ordonnées ,

i fl

et dont le paramètre est

Cette parabole passera par le point de la courbe proposée qui répond à l’abscisse x , et aura la même tangente qu'elle, parceque les deux premiers termes de son équation coïncident avec ceux de l’équation de la courbe ; et comme les troisièmes termes coïncident aussi , il s’ensuit qu’aucune autre parabole ne pourra passer entre celle-ci et la même courbe : ce sera, parconséquent, la parabole qu’on nomme osculatrice,

et qui aura ou pour paramétré.

Comme c’est ordinairement au cercle qu’on rapporte la courbure des courbes, pour avoir le rayon de courbure , on supposera que la courbe proposée est un cercle dont l’équation générale est , comme l’on sait ,

ainsi on aura

y — i + V lr“— (x — ay 3 = fx;

d'où l’on déduit , em prenant les fonctions dérivées ,

CALCUL

jc8

y 1/ [ r* — (x — a)aJ '

y° = ~ r —fx

Si on détermine , par ces trois équations , les valeurs de a , b, r en x , fx, f x , fx , on aura non-seulement le rayon r du cercle osculateur , mais aussi la position du centre de ce cercle par les deux coordonnées a , b, qui seront en même temps celles de la développée ; car alors les trois premiers termes du développement de y dans le cercle , coïncideront avec les trois premiers termes du développement de y dans la courbe proposée.

On aura aussi , pour une courbe quelconque ,

c » +ya ) 5 ; ÿ »

On peut pousser plus 'loin cette théorie des osculations, comme nous l’avons fait dans les articles 117 et suivans de la Théorie des Fonctions analytiques .

Si on considère l’espace décrit par un mobile , comme fonction du temps employé à le parcourir , et qu’on nomme x le temps , et y l’espace , l’équation y — fx exprimera la nature du mouvement. Soit z l’espace décrit dans le tems i qui commence au bout du temps x, on aura z z=f(x-j~ i) — fx et par le développement

z—f'x + ~f'x+ /** + etc. :

ne prenons dans cette expression de z que le premier terme .

DES FONCTIONS. 10g

et considérons un autre mobile dont le mouvement serait représenté par l’équation

u=if'x

entre l’espace u et le même temps i \ ce mouvement sera uniforme avec la vitesse fx. Comme la valeur de u est exprimée par un terme qui est le même que le premier terme de la valeur de z, il suit de ce que nous avons démontré en général , que , dans les premiers instans du temps i , ce mouvement uniforme approchera plus du mouvement dont il s’agit, qu’aucun autre mouvement uniforme ; car on pourra toujours prendre le temps i assez court pour qu’entre les espaces parcourus en vertu de ces deux mouvemens, il ne puisse être parcouru uniformément, dans le même temps, aucun espace moyen avec une autre vitesse que fx. Donc on pourra regarder f'x comme l’expression de la vitesse de tout mouvement représenté par l’équation y =fx>, au bout du temps x.

Si on prend les deux premiers termes de l’expression de z pour l’espace décrit par un autre mobile dans le même temps i , la formule

u = ifx+l-fx,

représentera un mouvement composé d’un mouvement uniforme avec la vitesse fx, et d’un mouvement uniformément accéléré produit par, une pression ou force accélératrice constante fx , comme l’expérience le prouve dans le mouvement des graves.

Les termes de la valeur de u étant les mêmes que les deux premiers termes de l’expression générale de z, on conclura des mêmes principes établis ci* dessus , et par un raisonnement semblable au précédent , que , dans les premiers instans du temps i , ce nouveau mouvement approchera du mouvement représenté par l’équation z —f ( x -f- i ) — fx , ou y =fx, •plus qu’aucun autre mouvement semblable , de manière qu’on pourra prendre f x pour la vitesse , et fx pour

CALCUL

la force accélératrice au commencement du temps i , c’est-àdire , au bout du temps x. Donc , en général , y étant l’espace décrit et exprimé en fonction du temps, y sera la vitesse, et y" la force accélératrice nécessaire pour ce mouvement.

Ceci a lieu naturellement dans les mouvemens rectilignes : mais en considérant les mouvemens curvilignes comme composés de rectilignes , on en déduit les lois des vitesses et des forces dans toutes sortes de mouvemens.

Nous nous contenterons ici d’avoir fait voir, en deux mots, l’usage de notre théorème sur les limites du développement des fonctions, dans l’application des fonctions dérivées à la géométrie ét à la mécanique ; et nous renverrons ceux qui désireront un plus grand détail , à la seconde partie de notre Théorie des Fonctions analytiques .