LEÇON DIXIÈME
Des Equations dérivées , et de leur usage pour la transformation des Fonctions. Analyse des Sections angulaires.
J usQu’a présent nous n’avons considéré les fonctions dérivées que comme servant à la formation des séries d’où elles tirent leur origine ; mais ces fonctions , considérées en ellesmêmes, offrent un nouveau système d’opérations algébriques, et sont , pour ainsi dire , la clef de la transformation des fonctions.
Lorsqu’une fonction d’une variable est présentée sous deux formes différentes , en égalant ces expressions , on a ce qu’on appelle une équation identique, à cause de l’identité de la valeur, laquelle doit parconséquent avoir lieu indépendamment de la variable , c’est-à-dire , quelle que soit cette variable ; ainsi elle aura lieu aussi en attribuant à la variable un accroissement quelconque i.
Soit fx — o une pareille équation identique , on aura donc aussi f{x -f- i ) = o , savoir , en développant
fx + if x -f --fx -J- etc. = o,
quel que soit i\ donc on aura séparément
fx—o , fx — o , fx = o , etc. ;
d’où il suit que l’on aura la même équation en prenant le* fonctions dérivées d’un ordre quelconque.
CALCUL
Supposons maintenant une équation comme
entre deux variables x et y , par laquelle l’une y doive être fonction de x. Il est évident qu’en regardant y comme une fonction de x, déterminée par cette équation , l’équation
sera identique , et aura lieu indépendamment de x ; donc l’équation subsistera aussi entre les fonctions dérivées d’un ordre quelconque.
En prenant donc les fonctions dérivées premières , secondes, etc. de chaque terme , on aura autant de nouvelles équations qui auront lieu en même temps que l’équation primitive ; parconséquent toute combinaison de ces équations aura lieu aussi à-la-fois.
Nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre, du second ordre , etc. ou simplement équations primes , secondes , etc. , non-seulement les équations dérivées qu’ou obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc. de tous les termes d’une équation regardée comme primitive , mais encore les équations qu’on pourra former par une combinaison quelconque de l’équation primitive , et de son équation prime , ou de ces deux-ci et de l’équation seconde.
Ainsi l’équation primitive contenant x et y , l’équation dérivée du premier ordre ou équation prime , contiendra x , y et y \ l’équation dérivée du second ordre ou équation seconde, contiendra, x , y , y' et y" -, et ainsi de suite.
Si au lieu de regarder y comme fonction de x , on regardait au contraire x comme fonction de y , l’équation prime serait entre y , x et x/ , l’équation seconde serait entre y , x , x' et x", et ainsi de suite ; et par le principe exposé dans la leçon VII , on pourra toujours transformer un de ces systèmes d’équations dérivées dans l’autre.
Pour
DES FONCTIONS. Il3
Pour montrer d’abord par quelques exemples l’usage des équations dérivées dans la transformation des fonctions , je considérerai les fonctions sin x et cos x , dont nous avons donné les fonctions dérivées dans la leçon V, et faisant
y ~ sin x , z — cos x ,
j’aurai d’abord
y = cos x et z' — — sin x ,
parconséquent
si on multiplie la première de ces équations par — i , et qu’on l’ajoute à la seconde , on aura
d’où l’on tire l’équation
Or nous avons vu d’ans la leçon VI, que si p est une fonc-
tion quelconque de x , est la fonction dérivée de Ip ; ainsi
sera l’équation primitive d’où la précédente peut être censée dérivée ; la quantité k est la constante arbitraire que nous avons vu à la lin de la même leçon, pouvoir toujours s’ajouter à la fonction primitive d’une fonction dérivée donnée , et qui sert à lui donner toute la généralité dont elle est susceptible. Il serait inutile d'ajouter de même une constante au premier membre de l’équation , parcequ’elle se fonderait dans l'autre par la simple transposition dans le second membre.
Mais cette constante étant jusqu’ici arbitraire , il faut la déterminer conformément à lit QiUare des fonctions^/ et z.
*+yV— 1
ll4 CALCUL
Four cela, j’observe qu’en faisant rao, on a
sin x — o, et cos x = x ; donc y — o , z = 1
11 faudra donc que l’équation que nous venons de trouver , satisfasse à ces suppositions ; or elle devient dans ce cas / 1 = k ; et comme li est = o, on aura k — o.
L’équation sera donc simplement
K*+yV— 1 ;
•t passant de là aux exponentielles ,
e étant , comme nous le supposons toujours , le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Remettant pour y et s leurs valeurs sin x et cos x, on aura cette formule remar-
cos x -f- sin x J/ — 1 = 1 ;
laquelle , à cause de l’ambiguité du radical |/ — 1 , donne également celle-ci ,
cos x — sin x — i= e— xv'—
et ces deux combinées ensemble suffisent pour déterminer le» valeurs de sin x et cos x. On aura , en effet , après les avoir ajoutées ou retranchées ,
cos x —
giV'-i J
sin x =
exV-' — a y — 1
Ainsi les sinus et cosinus se trouvent exprimés par des exponentielles imaginaires , ce qu’on peut regarder comme l’une des plus belles découvertes analytiques qu’on ait faites datif ce siècle.
Ces formules peuvent aussi se déduire immédiatement de la comparaison des séries qui expriment les fonctions sin x»
cos x et e*, et que nous avons trouvées plus haut (leçons IV et VI.) C’est de cette manière qa’ Euler les a données dans le tome VII des Miscellanea Beralinensia : mais, dans son Jntrodnctio , il les déduit des expressions algébriques des sinus et cosinus des angles multiples , par une réduction ingénieuse , mais dépendante de la considération des quantités infinies et infiniment petites, et que nous avons tâché de rendre rigoureuse dans la Théorie des Fonctions , n°‘ sa et a5.
Comme ces mêmes séries avaient été données par Newton dans son Commerce avec Oldemburg , et étaient ainsi connues avant la Gn du si'cle dernier, on aurait pu dès-lors parvenir aux formules dont nous parlons, et donner par-là à la théorie des sections angulaires , la perfection quelle n’a acquise que cinquante ans après par les ouvrages à' Euler.
L’expression des arcs en logarithmes imaginaires remonte , à la vérité , au commencement de ce siècle , et c’est une des plus belles découvertes de Jean Bernoulli , qui l’a donnée en peu de mots dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1702. Il y était parvenu en intégrant par logarithmes l’élément de l’arc exprimé par la tangente , comme Leibnitz avait trouvé la série qui exprime l’arc par la tangente , en intégrant la même élément par série.
Cette découverte conduisait aussi naturellement aux mêmes formules exponentielles ; mais elle est restée long-temps stérile, et ce n’est que lorsque ces formules ont été connues par d’autres voies, qu’on a vu qu’on pouvait les tirer immédiatement de l’intégration.
L’équation
cos x -f- sin x |/ — 1 ~ eïV~ : 1
où le radical t/ — 1 peut avoir également le signe — (- et — , donne toute la théorie du calcul des angles. Car en multipliant cette équation par l’équation semblable
cos y -f- sin y J/ — 1 = e’r*C~', ’ -
on a , .•
CALCUL
ll6
(cos x + sinx|/ — 1) (coi^ + sin y l/ — 1)
Mais en mettant dans la même équation x 4- .y à la place de x , on a aussi
cos (x-j-y) 4- sin (•» -h y) — i =e^*+^K~1.
Donc, comparant et développant le produit, on a
cos x cos y — sin x siri^ 4* ( cos x sinyr -j- cos y sin x) X Ÿ — 1 = cos (x 4- .y) 4- sin •’f-.y) V — 1 ;
et comme cette équation doit avoir lieu pour les deux signe» de — 1 , il s’ensuit qu’on aura séparément
cos x cos y — sin x sin y = cos (x 4-^ ) > cosx sin^ 4* sin x cos y = sin ( x -f-y) ,
formules qu’on démontre par la géométrie , et qui sont le fondement de toute la théorie des angles.
La même équation , en élevant les deux membres à une puissance quelconque m , donne
( cos x 4- sin x 1/ — 1 )m = emzvr~
Donc aussi, en mettant dans l’équation primitive mx à la place de x et comparant , on a
( cos x 4~ sin x 1/ — 1 )"‘ = cos mx 4- sin mx — 1 ,
formule remarquable autant par sa simplicité et son élégance que par sa généralité et sa fécondité.
Il paraît que Moivre est le premier qui ait trouvé cette belle formule ; on voit , par les Miscellanea analytica , qu’il y a été conduit par la considération des sections hyperboliques comparées aux sections circulaires. Maintenant elle est devenue une vérité élémentaire, qu’on démontre par le moyen de».
DESFONC’TIONS. I17
valeurs de sin ( x -hy) et cos (x+^) que donne la géométrie, en considérant le produit des formules semblables
cosx -f- sin x y' — 1 et cos y -f- sin^' \/— 1 , lequel se réduit à cette formule semblable ,
cos (x-f^) -f-sin (r-f-.y) V — i J
et c’est à Euler qu’on doit d’avoir transporté ainsi dans les Elémens une formule d’une si grande utilité.
Il est vrai que de cette manière on ne peut la démontrer que pour des valeurs rationnelles de m ; mais il en est ici comme dans la formule du développement du binôme , et en général dans toutes les formules qui contiennent une indéterminée qui peut être un nombre quelconque rationnel •, ce n’est que par la considération des fonctions dérivées qu’on en peut prouver la généralité pour une valeur quelconque de la même quantité.
En prenant, dans la formule que nous venons de trouver, le radical |/— 1 en plus ou en moins , on à ces deiix-ci ,
cos mx -f- sin mx\/ — 1 = (cos x -f- sin x^/ — i )m , cos mx — sin mx\/ — 1 = (cos x — sin x^/ — 1 )m ; d’où l’on tire aisément
(cosx-}-sinx|/ — i),n-f-(cosx — sinx^/ — î)”1
COSBtvL^ 1 * *'■**— " " '* 1 ■■■■■'■■ ■■ « >■ ■ ■■ ■ '■ ,
(cQSx-j-sûix j/ — ! )»> — (cosx — sin ri/ — 1
sin mx= - ■ ■ — - 1 ■■ - ■■ .■ ■ ■ - ■ .
Si on développe les puissances la formule du binôme,'
les imaginaires disparaissent, et l’on a.ces expressions en série ,
cos mx = cos x ■
cos'
‘ x sim x
. m (m — 1) (m — 2) (ni— 3) , . ,
-i i ^ — - — - cos™ * x sin* x — etc. ,
siamxxx.m cosm“‘ x smx V- cos"1-3 x sm3x
-}- etc. 3
I iR
Ces deux formules avaient été données dès 1701 , par Jean Bernoulli , dans les Actes de Léipsic , mais sans démonstration ; et on voit par la lettre 1 aq du Commercium epistolicum, et par le Traité des Sections coniques de Y Hôpital, qu’il les avait trouvées en cherchant successivement , par les théorèmes connus , les valeurs des sinus et cosinus des angles doubles, triples , etc. , et en observant l’analogie des termes de ces valeurs avec ceux du développement du binôme. En effet, si on fait successivement y=zx, ax, 3x, etc., dans les formules données ci-dessus pour sin (x-j-y) et cos (x -f- y) , et qu’on substitue à mesure les valeurs précédentes, on trouve
cos 2X = cos* x — ■ sin* x, sin 2x = 2 cos x sin x, cos 3x— cos3x — 3 cos x sin* x, sin 3x — 3 cos* x sin x— sin3x, etc. ,
. dont l’analogie avec les termes des puissances correspondantes du binôme , est manifeste .
D’après cela , il est étonnant que Jean Bernoulli n’ait pas trouvé les expressions finies de sin mx et cos mx , et qu’il ait fallu encore vingt ans pour qu'on, parvînt, à Ja formule donnée par Moivre. Ainsi Jean Bernoulli a touché deux fois à la même découverte, et il en a laissé la gloire à ses successeurs. . ■ , ...
Les formules précédentes renferment les puissances de
sin x et cosx mêlées ensemble; comme on a toujours
cos*x sin*x=i ,
1 est possible de faire disparaître toutes les puissances paires de sinx ou de cosx, et d’avoir des formules qui procèdent suivant les puissances de cosx ou sinx.
DES FONCTIONS. Iiq
H serait difficile de parvenir à des séries régulières par la •impie substitution; mais les formules connues
a cosx cos ma: = cos (m -f- 1) x -f-cos ( m — 1) x, a cos a; sin mx= sin (m-f- 1) x -f- sin (jn — 1) x,
font voir que les cosinus et sinus des multiples de x forment deux séries récurrentes dont l’échelle de relation est 2 cos x, 1 .
Ainsi en partant des premières valeurs de cosmx et sinmx, lorsque m=o et m=i,et mettant, pour plus de simplicité, p et q à la place de cosx et sinx, on trouvera successivement
cos ox = 1
eos ix ~p
cos 2X — 2 p cos x — cos ox = 2 p1 — 1 cos 3x = u p COS 2X — cos x = 4p3 — 3 p etc.;
d’où résulte la table suivante :
cos ix = p
cos 3x = 4p3 — 3 p cos 4* = 8 p* — 8p* -f* 1 cos 5x = 1 6p5 — 20 p3 -f- 5p
tt, en général,
2 cos mx = (2p)m — m (2 p)m* -j- (ap)1"- <
(ap)n-6-f-etc.
On trouvera de même
) so
CALCUL
sin ix — q sin 2x — 2 pq sin 3x = ( 4p' — 1 ) q sin 4 r = ( 8 p' — 4 p) <7 sin 5x= (i6p* — i2jt?*-f-i) q etc.
et, en général ,
sin mx— ( (2 p)m~' — (m — 2) (2 p)m~3
-f (a/0m *— etc.} q.
Ces séries procèdent suivant les puissances descendantes de p ; on peut en avoir aussi qui procèdent -suivant les puissances ascendantes de p ou de q ; mais il faut alors distinguer les cas de m impair ou pair.
Soit i*. m impair : on aura
cos \x—p
cos 3x = — ( 3p — 4p3 ) cos5x=5 p — 20 p* -J- 16 p5 etc.
le signe supérieur étant pour le cas où m est de la forme 4n- f-i, et l’inférieur pour celui où m est de la forme 4n -f- 3.
On aura de même, lorsque m est impair.
iai
sin i x — q
sin 3 x — — q (i — 4/0 sin 5x = <7(1— ia/)44-iSp*) etc.
et , en général ,
où l’on observera, à l’égard des signes ambigus, la même règle que ci-dessus.
Soit 2° m pair : on aura
cos 2X = — (1 — 2 pJ) cos 4x — 1— 8p“+8p* t
cos Gx = — (1 — i8pa + 48p*— ■ -3ap6) |
et , en général ,
cos mxr=± |^i — — p + 2 ÿ f*
m*( ni*' — À') ( m*— 1 fi’i . 1
4) (m»~ iG) , .
IX4X6 P + etCJ
Ensuite ,
sin ax — apq ■ r 1
sin4x-= — q(4p~-8ps) )r, f
siu Sx == q (6p— 32/r,,4"3bp5) " l ^
etc.
et, en général.
r! 'tv
sin mx — ± <mp = — p
4) (m*— 16) S etc\
IÔ3 C A t C U L
A l’égard des signes ambigus, on prendra les signes supérieurs lorsque m est de la forme 4n ~h 2 > et les inférieurs , lorsque m est de la forme 4n-
Enfin on aura aussi, à cause de p*=i — q*
i* Pour le cas de m impair,
cos ix — p cos3x = p (i — 4*7*) cos 5x — p (i — îaq4 + i6q*) etc.
et, en général,
cos mx—p ^ 1 — <7* + S ; g-:-4— «74
(m4— 9) fm4— s5) fi ^ .
à". T . 4 • 5 . 6 " ? +etC’J'
Ensuite ,
sin ix — q
gin 3x—5q — 4q3
gin 5x= 5q — 2oq3+i6q5
etc.
et , en général ,
m (m* — 1) , sin mx = mq — ^ — g — qs
+ 3 . 3 . 4 . 5 9 tC‘
2° Pour le cas de m pair,
cos 2x == 1 — zq* cos 4x,= 1 — 8q* 4- 89* cos 6x= t —18 q1 +48^—33 g6 v ^ ^ etc. - ...
et, en général, cos mx
Ensuite
m* m* (ma — 4) l
— „ -.- -V ■ a - ■ fl6 + etc.
sin ar= apq
sin 4-c = p ( 4<7 — )
sin 6 x = p (6q — 3uq3-{- 32 q5)
etc.
ta3
et, en général.
sin mx=p 1 mq
7n(ma-4) , , m(ma— 4)(ma— 16) 5 >
J’ai rapporté ici ces différentes formules , parceque je ne connais aucun ouvrage où elles se trouvent réunies , et surtout parcequ’elles nous fourniront l’occasion de faire plusieurs remarques qui pourront intéresser les lecteurs.
Nous observerons d’abord que les formules des tables (y/), ( B) , (/f) et (/) ont été trouvées par p'iete , et répondent à celles que l’on voit aux pages 2g5 , 297 et 299 de ses Œuvres imprimées à Leyde en 1646- Il faut seulement observer que JPÏete a considéré les cordes plutôt que les sinus ou cosinus; or 2 cos a: étant la corde du complément à deux droits , de l'angle sx, les quantités a cos ax, 2 cos 3 x etc. , seront les cordes des complémens des angles doubles, triples, etc.; e’t la table {A) deviendra celle de la page 295 de J^icte , en multipliant tous les termes par 2 , et faisant 2 p = Ar, (2 p)a=^, (2 p)3=C, etc. , suivant sa notation.
A l’égard de la table de la page 297 de Viete , elle donne le rapport des cordes des arcs doubles, triples, quadruples, etc. , à la corde de l’arc simple ; et le premier de ces rapports y est désigné par N , dont le quarré est Q , le cube C, etc. Ainsi en
I î?4 CALCUL
prenant 2 sin x pour la corde de l’arc simple , ces rapports se-
, , sinax sin 3x , , , ,
ront représentes par — : , — etc. ; et la table dont il
sin x sm x
s’agit , s’accordera avec la table (B) en faisant — —zp=N,
sin x r
et divisant chaque équation par la première.
La table de la page 29g de Viete renferme les deux tables ( H) et ( /) , en multipliant tous les termes de ces tables par a, et faisant zq = N , (2 q)2= Q-
Il m’a paru intéressant de montrer ce que Viete avait fait sur l’objet dont il s’agit , et surtout d’indiquer lesquelles de* formules connues pour la multiplication des angles , lui sont dues , ce qu*on n’avait pas encore fait , que je sache , d’une manière tout-à-fait exacte.
Au reste Viete n’a pas donné les formules générales de ces tables; il a donné simplement le moyen de les continuer aussi loin qn'on voudra , en indiquant la loi des termes et de leurs coefficiens.
Dans les mêmes actes de Léipsic , pour 1701 , déjà cités plus haut, Jean Bernoulli avait aussi donné, sans démonstration, une formule générale pour les cordes des arcs multiples, laquelle revient à celle de la table (j5) , en observant que 2 q est la corde de son complément à la demi-circonférence.
Ensuite Jacques Bernoulli a donné , dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1702, deux formules pour les cordes des arcs" multiples , qui répondent aux formules générales des tables (//) et (/) , en observant que 29 étant la corde de Tare 21, et 2 p la corde de son complément, 2 sin mx sera la corde de l’arc et 2 cos.mx la corde de son com-
plément. Mais la première de ces deux formules avait déjà été donnée par Newton dans sa première lettre à Oldembürs , imprimée dans les œuvres de TVallis.
Enfin nous remarquerons qu’il n’y a que les formules géné—
raies des tables (^), (/?)> (#)i (X) qu> se trouvent dans l’introduction d 'Euler (chap. XIV).
Mais toutes ces formules n’ont été données jusqu’ici que par induction , ou bien en supposant que le nombre m est un des nombres de la série 1 , a , 3 , etc. , de sorte qu’on peut douter si elles s’appliquent à d’autres valeurs de m.
De plus, si on considère les formules des tables (y/) et ( B ), on voit qu’à la rigueur elles vont à l’infini , même lorsque m est un nombre entier positif ; car en faisant m = 1 , la première donne
cos x = p — — — — g^-s — etc- ,
et la seconde donne
^ + ^7* + etc*
valeurs qui sont évidemment fausses. Il en sera de même en donnant à m. d’autres valeurs quelconques entières et positives, et tenant compte de tous les termes qui ne sont pas nuis.
Il est vrai que par la nature des tables (y/) et (B') dont ces formules ne sont que le terme général , on ne doit y employer que les termes qui contiennent des puissances positives de p; mais comme les termes qui suivent ne sont pas nuis, on ne voit pas, à priori, pourquoi on doit les rejeter , et on voit moins encore ce que la formule exprimerait en ne les rejetant pas. Nous réserverons le dénouement de ces difficultés pour la leçon suivante.
CALCUL
iaS
