LEÇON ONZIÈME

Suite de l'Analyse des Sections angulaires , où l’on démontre les Formules générales des Tables données dans la leçon précédente.

R.EPRENONS les expressions générales de cos mx et sin mx données dans la leçon précédente ; faisant

cos x — p, et parconséquent sin x= J/- (i — p*) ,

on aura

2 cosmx = (p -f- l/(p“— 1) }m -f- {p— V C/5*— O}™ asinmx i/ — i= {p+ (p*— i)}m— (p— l/(pa— i)}"/

Nous observerons d’abord que ces formules sont toujours vraies , quel que soit le nombre m, parcequ’ elles ont été déduites de l'équation générale

cos r± sin xJ/ — 1 = es XŸ~ *

élevée à la puissance m. Ainsi les doutes qui pourraient rester à.cet égard disparaissent ici entièrement.

Tout se réduit donc à développer , suivant les puissances de p, l’expression

{p— J/ (pa — 0}m-

Comme les quantités p -f- {/ (p* — i) et p— y1 (p*— 0 son* les deux racines de l’éauation

DES rOWCTlONS. 137

a*-— flpz-f- i=o,

je ferai usage du théorème que j’ai démontré dans la note XI de la Résolution des équations numériques , sur la somme des puissances des racines des équations.

Suivant ce théorème, si on a une équation quelconque de la forme

u — x-f-/x = o, où x est l’inconnue , la formule

u-+OT*yfi + (Szpÿ+

n’étant continuée que tant qu’il y aura des puissances négatives de u , donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance — m\ mais étant continuée à l’infini, elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités f*u , f*u, etc. sont le quarré, le cube, etc. de fx\ et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de u renfermées entre ces parenthèses.

Ainsi, dans notre cas, ti on change z eux et qu’on divise l’équation par 2 p, coefficient de x , elle deviendra

laquelle étant comparée à

donne

:+fx=o.