x* u = — , et fx

2 p’ J ap

donc fu = — ; de manière que la série précédente deviendra

+ Uw) + etc- *

où il faudra faire u — — , après avoir pris les fonctions dé* 2 P

rivées désignées par les traits appliqués aux crochets.

Or

( (u-m)Vy=( — (m — 3) u ra+*,

( 0-m)'u6)" = (— m(jn— 5) (m — 4)

etc.

Ainsi la série deviendra m

u—m ZI u. m-*~l

zp

m(jn — 3)

m + etC.

Faisons maintenant u= — . et l’on aura la série 2 P

(ap)m— m(ap)m— + (ap)ffl'+

(2p)-« + etc.

laquelle étant continuée seulement, tant qu’il y aura des puissances négatives de , c’est-à-dire , des puissances positive# de a p , exprimera la valeur de

{p + v/(p*~ o}-" + {p -V(p* - O)--", et qui est la même chose que la valeur de

{p + Vip'— 0}" + {p- Vif — 0}m,

à cause de

{p fVif — 0}X [p—, V (p*— t)} = i.

Ainsi

«la.

Ainsi , dans cet état , la série dont il s’agit donnera la valfeur de a cos mx , ce qui s’accorde avec la formule de la table {A).

Mais si on continue la série à l’infini , alors elle ne donnera que la valeur de

{p— k'Cp*— o}-™,

puisque p ]/ (p* — 1) est la plus petite des deux racines ; ou , ce qui revient au même , elle donnera la valeur de

{p + V (pJ — O}™

Pour nous convaincre en effet que la série précédente prise dans toute son étendue , n est que le développement de cette quantité , nous allons chercher ce développement par une marche directe , ce qui servira d’exemple de la manière d'employer les fonctions dérivées dans ces sortes de recherches.

Supposons donc qu il s’agisse de^évelopper l'expression

{p + ^Cp1— 1)}"‘ dans une série descendante de la forme

Apm -f- Bp"-' -f Cpm~* + Dp’"-3 -f etc : si on divise de part et d’autre par pm , et qu’on fasse = a , on aura

{i+y (i — z*)}» = A+ Bx -f- Cz*+Dzs + etc.,

où l’on voit que la série ne peut avoir que des puissances paires de z,

«Ainsi j en faisant u, zz z% } on aura la fonction 0+1/ —

à développer suivant les puissances de u.

Donc, par la formule générale donnée à la fin de la leçon IX, si on fait

on aura

{i + V/ (I - »)}'B= f+ uf. + + etc- >

où/, f, f, sont les valeurs de fu, fu, fu, etc., lorsque u = o et forment ici les coefficiena A , C , etc.

Ainsi on trouvera d’abord /= am ; ensuite on aura

et de là ,

et ainsi de suite.

On peut de cette mdÊère avoir successivement tous les coefliciens de la série ; mais on n’en aura pas la loi , ce qui est le plus essentiel.

Pour la trouver d’une manière générale , je reprends la formule en p et je la suppose égale k y , ce qui me donna l’équation

Je remarque maintenant qu’un des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux. En effet , en prenant les fonctions dérivées par rapport à p et regardant y comme fonction de p , on a

y=m[p+W»}- {'+j75fc7)}=

f/HW-0

cette équation divisée par l’équation primitive , donne

multipliant en croix et quarrant , on aura (p1— i)=my.

Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à p , on obtiendra

2yy (p* — i) 4- a/’p = aroy/ ,

d’où , en divisant par 2y , résulte cette équation du second ordre en y et p ,

Tn‘y—p/—(.P—Oy*-<>,

laquelle étant , comme l’on voit , linéaire par rapport à y et dégagée de radicaux , est très-propre au développement de y en série.

En effet, il n’y a qu’à substituer pour y la série Apm -f- Bpm~l -f- Cpm~‘ -f- Dp"~3 -j- etc. ; et parconséquent pour y'

mApm~' -f-(m — i) Bpm~* -\-{m — a) Cpm~ 3 -f- etc.,' et pour y"

m ( m — 0 + (ni — i) (m — a) Bpm~3 etc.

Ordonnant les termes suivant les puissances de p, on aura

m?A — mA — ni (m — i ) A } pm -f- (m*/? — ‘(m — 1) B — (m — 1) (m — a) B j pm— 1 -f (m2C — (m — 2) C — (m — c) (m — 3) C)