m — î) (ni — 2) B y
-f- etc =o.
Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment de p , il faudra égaler à zéro le coefficient de chaque terme.
Le coefficient de pm disparaissant de lui-même , c’est une marque que le coefficient A demeure indéterminé.
Le coeffident de pm~ 1 se réduit à m'B — (m — i)*ô , qui ne peut devenir nul à moins de faire B = o. Or B étant nul , il est facile de voir que les coefficiens de pm~s, pm~s, etc. ne pourront aussi devenir nuis qu’en faisant D= o , F—o , etc.
Maintenant le coefficient de p'n— * se réduit à rrfC — (m — a)* C -f- m (m — 1) A ; celui de pm~ * se réduit de même à
m'E — (m — £)'E -j- (m — a) (m — 3) C , et ainsi des autres.
On aura donc, en réduisant, les équations
4 (m — 1 ) C f- m ( m — i) A — o, 8 (m — a) E -f- (m — a) (m — 3) C = o , ia ( m — 3) G -f- (m — 4) C771 — 5) E — o,
etc. ,
lesquelles donnent la loi suivant laquelle les coefficiens A , C , E , G, etc. dépendent les uns des autres.
On tire de ces équations
mA
p (/» — 3 )C m(jn — 3) A
(m — 4) (m — 5) E m (m — 4) (,m — 5)yi
etc.
DES fonctions:
Or nous avons vu que le premier coefficient A est égal à a"; ainsi on aura ce développement
(H* V (/>*— i) },n=(ap)’"— m(m— >)
(ap)1"- 6 -f- etc..
qui s’accorde avec la série trouvée ci-dessus.
Cherchons de même le développement de ( p — ^ (p* — 1)]“. Comme cette expression ne diffère de celle que nous venous de traiter que par le signe du radical , lequel ne se trouve plus dans l’équation dérivée en y dont nous avons fait usage , il s’ensuit que la même formule que nous venons d'obtenir , pourra encore s’appliquer à ce développement. Il faut seulement remarquer que comme les premiers termes du radical ]/ (pa — î) sont p — — — |- etc. , le premier terme du développement dont il s’agit , sera 8orte <lu 'c* ^au
dra prendre m négativement ; et comme l’équation dérivée en y ne contient que m*, on aura nécessairement la meme série en y changeant seulement m en — m, ce qui suit d’ailleurs aussi de ce que
on aura donc
{p— j/ (p1— î ) } m— (2p)—"-fm(3p)— "■— *+-■ )(ap)~ "»— <
+ (ap)— « -f été.
Si maintenant on réunit ces deux séries , on aura la valeur de a cos mx ; donc
1 34 CALCUL
9 cos mx = (ap)* — m (ap)m* -f- m — — (ap)m~*
1 JT (2/>) + etc-
-f.(3p)-m+m(ap)-m-!‘-j- -S™'*'”) (a p)-”1-*
H ~g~ — • ~ — ~ (ap)— — 6 + etc.
C’est le développement complet dr a cos ma: en puissances de cos x , pour une valeur quelconque de m.
Si maintenant on fait ici m = i , on a
c'05 x = p ~ Jp~ W~' W “ etc- + Tp+W + 'â?+etc'f
o il l’on voit que les deux séries se réduisent au premier terme p.
En donnant à m d’autres valeurs entières et positives quelconques , on trouvera toujours que la seconde série qui contient les puissances négatives de p , servira à détruire dans la première série tous les termes qui contiendront ces mêmes puissances -, c’est ce qu’on peut démontrer en général par la loi meme des deux séries ; de sorte que le résultat se réduira aux seuls termes de la première qui contiennent des puissances positives de p ce qui revient à ne conserver dans cette séries que les termes où p est élevée à une puissance positive , ou nulle , comme nous l’avons trouvé plus haut à priori.
Mais lorsqu’on donne à m une valeur fractionnaire quelconque , ies deux séries ne se détruisent plus , et leur réunioa est nécessaire pour avoir la valeur complète de a cos mx.
DES jonctions; i35
En prenant la différence des deux séries au lieu de leur somme, on aurait la valeur de sin mx [A — it; maissin mx serait exprimé de cette manière par des sériés infinies et imaginaires. Pour avoir une expression réelle , il suffit de considérer que la fonction dérivée de cos mx est — m sin mx , et que celle de p est — q , puisque
p '= cos x , et q — sin x;
de manière qu’en prenant les fonctions derivees des sérié» trouvées pour cos mx, on aura sur— le— champ , en changeant les signes et divisant par am,
siumx — {(2 p)m~' — (m— a) (s p>m-3
(m 5) (m 4) s — etc.) q > , 1 a J
— {(apT'"— + (m + a) (ap)-™-1
+ (^+5)^+4) (2p)—s + etc.| qm
Cette expression se réduit aussi à une forme finie , lorsque m est un nombre entier, parla destruction mutuelle des terme» qui contiendraient des puissances négatives de p\ de sorte que m étant un nombre positif entier, il suffira de prendre dans la première série les termes qui contiendront des puissances positives de p ) çe qui s'accorde avec la formule de la table (il). . %
Lorsque m est un nombre fractionnaire , les deux séries vont à l'infini, et jointes ensemble, elles donnent la vraie valeur de sin mx, développée suivant le» puissances descendantes de cosx, comme cela a- lieu pour la valeur de cos mx.
Euler a le premier reconnu cette espèce d'imperfection des formules connues des tables {A) et (Zi) ; il a fait voir , par une analyse à-peu-près semblable à celle que nous venons de donner, que ces formules, pour être générales et applicables
l56 CALCUL
a des valeurs quelconques de doivent être complétées par des formules semblables où l'exposant m est négatif.
J’ai cru devoir entrer dans ce détail pour l'instruction des jeunes analystes , et surtout pour montrer que si l'analyse parait quelquefois en défaut , c’est toujours faute de l’envisager d’une manière assez étendue et de la traiter avec toute la généralité dont elle est susceptible. (Voyez le tome IX des t\Jova Acta de l’académie de Pétersbourg.)
Nous venons de développer les expressions {p±V (p*—
suivant les puissances descendantes de p \ on peut de même et par le moyen de la même équation dérivée en y, les développer suivant les puissances ascendantes de p , ce qui nous donnera les formules des tables (C), (£>), (£), (F), et pourra même servir à les compléter pour toutes les valeurs de m.
Supposons donc en général
y-= A -h Bp -f- Cp * -J- Dp * -J- etc.
Substituant dans la même équation, et ordonnant suivant les puissances de p, on aura
m*A -h aC
-f- (m*fi — îB -f- a. 3 D) p 4- (m*C— aC -f- 3.4£— a C ) p*
+ (m*D— 5D + 4.5F — a.3D) ps -f ( m*E — 4£ + 5.6G— 3-4£) p< etc.
Egalant donc à zéro chacun des coefliciens des puissances de p, on aura, en réduisant,
DES FONCTIONS. . l3 7
(nr* —16) E -f- 5. SG o, etc. ;
d’où l’on tire, en substituant successivement les valeur* précédentes ,
ÏX4 •
âX^lT ’
m* (ma — 4) (m* — 16) A a. 3. 4-5. 6
etc.
Les coeflflciens A et B étant restés indéterminés , il faudra les déterminer par la nature de la fonction y. Or il est visible qu’on a
A— y et 1 ?==/,
en faisant p— o. Ainsi, puisque la fonction est égale à
on aura d’abord, en faisant p= o,
CALCUL
Ensuite en faisant p — o dans la fonction dérivée y trouvé» ci-dessus, on aura
Substituant donc ces valeurs de A et D , on aura le développement de l’expression
{p + y'ip*^ »)}"•
Pour avoir celui de l’expression . •
{p-l/(pa-0}m,
il n’y aura qu’à prendre le radical V (p* — O en moins; mais comme ce radical n’entre plus dans l’équation dérivée en y par laquelle nous avons déterminé les coelliciens de la série , *1 s’ensuit qu’on aura la même série pour cette dernière expression que pour la première ,' aux coefliciens A et B près , qui pourront être dilFerens; et on trouvera ici par le même procédé ,
A — { — i)"> et B ~m{ — y/ — i )m—
Donc, puisque krsomme de ces deux expressions donne la valeur de a cos mx , comme on l’a vu plus haut , on aura cette valeur en substituant dans la série A + Bp-\- Cp% - f-etc. , à la place de A et P , la somme des deux valeurs qu’on viept de trouver, c’est-à-dire , en faisant
d’où il est facile de voir que lorsque m est uu nombre entier impair , on aura A = o , B — 2m , et lorsque m sera pair , on aura A~z ta, B = o.
Mais pour avoir les valeurs de A et B dégagées d’imagi-. naires pour toutes les valeurs de m , il n’y a qu’à employer la formule générale
et
cia
DES FONCTIONS. »3g
(cos x -f- sin x t/— i)m = cos mx + sin mx V — 1 ,
it y supposer x égal à l’angle droit, car alors cos æ = o et lia x — 1 ; ainsi en adoptant l’angle droit pour 1 unité des angles , et prenant le radical y'— r en -f- et en , on aura
( zh. — i)m r= co s m±sinm[/ — 1,
et les valeurs de A et D deviendraient
A — o, cos m , B~ amcos (m. — 1).
On aura donc en' général, pour un nombre quelconque m ^
cos mx
= ^gp»4 p*
m 1 ( m a — 4 ) (ma — 1 6 )
p6 -j- etc. > cos m
f mfm1 — 1) , . 7n(m* — i)(m* — 0) . ^ »
+{'“P‘ -^TJP’+ a .3.4-5 p I c“C”~
Tel est le développement complet de cos mx en série ascendante de p ou cos x. On voit que lorsque m est un nombre entier, il y a touiours une des deux séries partielles qui se termine, et que l’autre qui irait à l’infini, disparait parcequ’elle se trouve toute multipliée par un coefficient cos m ou cos ( m — 1), qui devient nul. On a alors l’une ou 1 autre des tables (C) et (£). Mais lorsque m est une fraction quelconque , les deux séries vont à l’infini, et leur réunion est nécessaire pour avoir la valeur complète de cos mx , ce que personne , ce me semble , n’avait encore observé.
En prenant les fonctions dérivées, comme on a fait plus haut , pour déduire la valeur de sin rnx de celle de cos mx t on aura aussi , à cause de p1— — ,
calcul
*in mx
+ 1^5 P “ etc‘ / <7
