COS

+ —p<— etc.f q cos (m — i)

pom le de>eloppement complet de sin mx , quel que soitm; où 1 on voit que lorsque m est un nombre entier, on a les formules des tables (D) et (F).

Il nous reste à considérer encore les développemens de cos mx et sin mx , suivant les puissances ascendantes de q , conformément aux tables (G), (//), (/), (A).

Pour cela nous remarquerons d’abord qu’en faisant sin x—q, on a cos x= p (i — q *), et les expressions générales de cos mx et sin mx deviennent

a cos mx = {V(i— q3)-f i }”

-Hp'O— </*)— <n/— 1}".

2 sin mx j/»— î ={V ( î — q3) +q [/— i }"•

-{KO— 9a)— qV— i}m- {

Il ne s’agit donc que de développer les formules { V (i — q')±q V/— i j'en puissances ascendantes de q.

Faisons

{ VO—q^+qŸ— »}’"=*,

on aura , en prenant les fonctions dérivées par rapport à q ,

Ht [î/Q—g1) -4- 9 V- Q— 1 r ^0-9°) X !/-»-<?]

ml/— 1 x [V(t— 9») + g y/— i]*

Divisant cette équation par l’équation primitive, on a 1 z' m j/ — 1

multipliant en croix et quarrant , on aura a'* (î — q*) = — mV.

Prenant de nouveau les fonctions dérivées et divisant par a z', on obtiendra cette équation du second ordre en z,

m*z — qz' ■ — (q*— î) z" —a,

qui est , comme l’on voit , entièrement semblable à l'équation en y et p trouvée plus haut.

Ainsi, en supposant

* = A +Bq -f- Cq * -f> Dq 5 -f- etc ,]

en trouvera les mêmes valeurs des coefficiens; mais comme les deux premiers A et B demeurent indéterminés, ils pourront être dilFérens à raison de la diversité des fonctions^ et * en p et en q.

Pour trouver ici ces deux coefliciens , ce qu’il y a de plus simple-, c’est de chercher par le développement actuel les deux premiers termes de la série. Or , puisque J/(i — q* ) donne

1^3 CALCUL

i — — -+• etc. ,

il est évident que les deux premiers termes da (i+<7V/ — i-?-+ été.)™

sont 1 -f ainsi on aura

Le développement de