VX
sera le même en changeant seulement \A — t en —]/—i ; ainsi on aura relativement à ce développement
A~ i et B =— m \/ — i •
Donc pour avoir la somme des deux développemens , il n y aura qua prendre pour A et pour B la somme des deux valeurs correspondantes , ce qui donne = a , Zf = o.
Et pour avoir la différence des mêmes développemens , on prendra la différence des valeurs correspondantes de A et B , ce qui donnera
A = o, B — am 1/ — 1.
Faisant ces substitutions, on aura donc, en divisant par a et par a y/ — i ,
m* . , nr‘(m*-4)(m‘-i6)
CQsmx=x —<r + n&j-'r 2.34.5.6
m(m* — 1) , . mOn»— 1) (m«— 9) tin mx = mq 7 + 2.34.5
<7b -f- etc:
— etc.
Ces formules sont, comme l'on voit, les mêmes que celles des tables (/) et (//) ; mais par la manière dont nous venons de les trouver, on voit en même temps quelles sont générales pour des valeurs quelconques de m. Cependant, comme la première ne se termine que lorsque m est un nombre entier pair , et que la seconde ne se termine que lorsque m est un nombre entier impair , elles ne peuvent servir pour la section des angles que dans ces cas ; mais on peut, en prenant les fonctions dérivées , comme nous l’avons fait ci-dessus , déduire de ces mêmes formules d’autres formules qui se termineront justement dans les cas où celles-ci vont à l’infini. Pour cela , on se rappellera que les fonctions dérivées de cos mx et sin mx sont — msin mscet m cos mx, et que celles de p et q sont — q et p -, de sorte que les deux équations fourniront , par la dérivation , ces deux-ci :
»m mx
S m Cm“— 4) ..s .
=P{mc1 ■+
m(ma-4) (m5- 1 G)
ç5-j-etc
cos mx
= pU
1 0. (m° 0 9) il * ?
qui répondent, comme l’on voit, aux formules des tables (K) et (G) , et qui sont parconséquent aussi générales pour des valeurs quelconques de m. Ainsi toutes les formules de ce» différentes tables, sont démontrées d’une manière générale.
Le théorème de Cotes est si intimement lié à la théorie des sections angulaires, que nous 11e pouvons nous dispenser d'en dire un mot ici.
On ignore comment Cotes l'a trouvé, et on en a donné après sa mort différentes démonstrations plus ou moins simples, et même plus ou moins rigoureuses. Sans avoir recours aux* expressions imaginaires comme on le fait communément , on peut le déduire directement des fprmules même données par J'iete , que nous avons rapportées dans la table (A) ; et il est vraisemblable que c’est ainsi que Cotes y est parvenu.
Eu effet , si on multiplie ces formules par 2 et qu’on y sup-
CALCUL
pose p =y -f - , elles se réduisent à cette forme simple
2 cos ix — y + “»
a cos ax=y% +- p ,,
2 cos 3 x — ys + p,
2 cos 4x=y * + p> ■ etc. ;
d’où il est facile de conclure en général
2 cos mx=ym+p.
Pour se convaincre d'une manière plus directe de la généralité de cette formule , il suffit de considérer que si dans l’équation
2 cos x cos mxz=z cos (m — î) x *f- cos (m -f- 1) x,
•n fait
2 ços x=y -f- - ,
et qu'on suppose que dc-nx termes consécutifs 2 cos (m— i)x, et 2 cos mx soient de la forme
et
elle donnera
2 cos (m-f- i)x= (y + (ym ~ (yBrl ym~‘)
*7 » yW4-l
Ainsi
DES FONCTIONS. l45
Ainsi , pourvu que les deux premier* termes 2 cos ox et
a cos x soient de la forme y”-h~, en faisant m=o et nt=i,
ce qui est en effet , tous les autres seront nécessairement do
la même forme.
Maintenant les deux équations
a cos x =y -f- - et 2 cos mx —y* -f- —
donnent ces deux-ci :
y* — 2y cos x -f- i = o , ytm — a ,ym cosm x -f- 1 =o
qui doivent donc avoir lieu en même tems ; parconséquent il faut qu’elles aient une racine commune.
Ce dernier théorème a été donné par Moivre , sans démonstration dans les Transactions philosophiques de 172a, année où a paru Y Harmonia mensurarum de Cotes qui était mort six ans auparavant.
Soit maintenant a la racine commune à ces deux équations ; comme elles demeurent les mêmes en y changeant y en 1 .... 1
-, il s ensuit que - sera encore une racine commune aux memes
équations ; mais l’équation y* — 2 cos x -f- 1 = o n étant que
du second degré , ne peut avoir que les deux racines a et - ;
donc cette équation a toutes ses racines communes avec ytm — 2 ym cos mx 1=0; parconséquent elle est nécessairement un diviseur de celle-ci.
Soit . . , . :
■ . ! , mx = q> , donc x = — :
il suit de ce qu’on vient de démontrer que la formula y*"‘ — a ym cos -j- 1 a pour diviseur celle-ci
y*-ayco. ±
m étant un nombre quelconque entier.
Or si c est la circonférence ou l’angle de quatre droits on sait que cos <p = cos (ç-f- nc) , n étant un nombre quelconque, entier ; ainsi en mettant $ -f- ne à la place de ? , et faisant successivement n = o, 1,2, etc. m — 1 , on en conclura que la formule
yam — a y™ eos ç -J- i
a pour diviseur les m formules suivantes :
y 2 CO S
y 1 — a cos
y * — a cos
y* — a cos
etc.
y“ — 3 cos ( c ) y -f- I .
De sorte que comme ces diviseurs sont tous dilFérensentr’eu» et qù’ils sont au nombre de rti, la formule en question du a mim‘ degré , ne peut être que le produit de ces m formules du second degré. ,
Le théorème de Cotes n’est , cofntnë l’o'n Sait , qu’un cas particulier de ce théorème général, lorsqu’on y fait <p=o
ou $= - , ce qui donne cos <p = rfc î , et réduit la formula générale à
Le théorème général est dû à Moivre , cofnme on le voit par ces Miscellanea ana/ytica.
Jusqu'ici nous avons développé les cosinus et les sinus des
angles multiples en puissances des cosinus ou des sinus de l’angle simple. On peut chercher réciproquement à développer les puissances des cosinus ou sinus de l’angle simple en cosinus ou sinus des angles multiples , et cette transformation , qni est toujours possible , est un des plus grands avantagés d« l'ai— , gorithme des sinus çt cosinus , par la facilité qu’elle donne de passer des fonctions primitives aux fonctions dérivées , et de revenir de celles-ci aux primitives.
Noift pourrions la déduire des formules trouvée* ci-dessus, mais n (Vus aimons mieux la chercher directement par le moyen des fonctions dérivées , pour donner un nouvel exemple de leur usage dans la transformation des fonction».
Considérons la puissance cos™ x, et supposons cette fonction de x égale ày, nous aurons ainsi
y=eosmx,
et prenant les fonctions dérivées par rapport à x , il viendra
y = — m COS”—1 x sin x;
cette équation , divisée par la précédente , dènne
m sin x cos x *
d’où l’on tire en réduisant
rny sin x -f- y' cos x =? o ,
équation dérivée du .premier ordre , qui a l’avantage du ne plus contenir la puissance indéterminée de cosx.
Supposons maintenant, en général.
y — A cos nx -j- B cos ( n — 1 ) x + ‘C cos ( n — a )'x -f- D cos ( n — 3 ) x -f- etc. ;
CALCUL
les coefficient A , B , C, etc. étant indéterminés ainsi, que n. L’équation précédente deviendra par cette substitution
m [Acosnx cos (ra — 1 ) x-f- Ccot(n — a) x -f- etc. } sin a:
{ sin nr-)-(n — î ) B sin(ra — i )x-4*(n — a) C sin (n — 2) x+etc . j cos x=o ;
savoir , en développant les produits des sinus et cosinus , et ordonnant les termes suivant les sinus multiples :
-f- \rnA — «jrf]sin(n-f-i)x - \~[mB — (n — i)Z?]sin nx + [mC — mA — (n — a )C — nA~\s\n(n — i)x ■f -[mD — mô — (n — 3)D — (n — 1 )Z?]sin (n— a)x -\~{mE — mC — (n — /Ç)E—(n — a)C]sin(n — 3)x ,
-f- etc.
Égalant donc à zéro chacun de coefficiens de ces différent termes , on aura
(m — n -f a) C— (m-f-n ),A z=zo,
( m — n -{- 4) £ — (m + rt — a) C= o, etc.
La première donne d’abord n — m, et substituant cette valeur , les autres deviennent
B — o 2 C — am A ~ o ZD — (a m — 1) Æio 4E — (2m — 2) C = o,
Ainsi le premier coefficient A demeure indéterminé ; ensuite
on a
,, arn t
zm — 3
donc
Ensuite ,
cos'
B=o, D — o, F— o, etc.
C—mA *■
etc.
On a donc en général , quel que soit l’exposant m , • x=A 1 cosmx-f-mcos(m-a)xd — — -cos(m-4)x-j-etc . |
Il reste à déterminer le coefficient A ; pour cela suppo— tant x=o, on obtient
= A (i + i)m = *mA -,
ï5o CALCUL
Donc enfin, en multipliant toute l’équation par s", on aura
(acosx)m=cos77jx-f-mcos(m — z)x
cos(m-4)x-f-etc. ,
série fort simple qui se termine toujours comme celle du binôme , lorsque m est un nombre entier positif.
On peut déduire de cette formule un pareil développement pour sin" x, en changeant simplement x en 1 — x, l'angle droit étant pris pour l’unité des angles.
Ainsi on aura de même
(2 sinx)"1 — cos m (1 — x) -f- m cos (m — 2) (1 — x)
. 771 (rn — 1) , , . .
-) — cos (m — 4) (i — x) -f- etc.
Nous venons de donner une théorie complète des sections angulaires , et nous avons en même temps montré par différens exemples, combien l’algorithme des fonctions dérivées est utile pour la transformation des fonctions , en faisant disparaître des équations les puissances et les radicaux qui rendent les développemens difficiles et font perdre la loi et la dépendance mutuelle des termes.
On voit que tout se réduit à former d’abord des équations dérivées d’après l’équation ou les équations primitives données , çt à déduire ensuite de ces équations dérivées d’autres équations primitives , qui seront les transformées des premières. II est donc important de bien connaître la théorie de ces équations, et de se rendre familiers les diiférens artifices qui peuvent en faciliter le calcul.
Commençons par exposer les principes généraux de cette théorie.
