LEÇON DOUZIEME
1! Théorie générale des équations dérivées , et des constantes arbitraires .
N OUS avons déjà démontré que toute équation entre deux variable* , par laquelle l’une de ce* variables est fonctioi) de l’autre , subsiste également en prenant les fonctions dérivées, premières, secondes , etc , de chaque terme de l'équation par rapport à l’une de ces variables.
Ces équations dérivées ayant lieu en même temps que l’équation primitive , il s’ensuit qu’une combinaison quelconque de ces différentes équations aura lieu aussi. Donc, comme les constantes qui entrent dans une fonction , restent les même* dans ses fonctions dérivées , on pourra toujours , par le moyen des équations dérivées , éliminer autant de constantes de l’équation primitive qu’on aura d’équations dérivées -, l’équation résultante de cette élimination sera une équation du meme ordre que la plus haute des équations dérivées , laquelle $era vraie en même temps que l’équation primitive et pourr^ par conséquent en tenir lieu; elle renfermera autant de constantes de moins que l’exposant de son ordre contiendra d’unités.
Ainsi l'équation primitive , combinée avep son équation dérivée ou prime, pourra donner une équation du premier ordre contenant une constante de moins que l'équation primitive.
L’équation primitive combinée avec les équations dérivées , prime et seconde , donnera une équation du second ordre contenant deux constantes de moins que l’équation primitive, «t ainsi de suite.
CALCUL
On ne peut parvenir que d’une seule manière à l’équation du premier ordre qui résulte de l’équation primitive et de son équation dérivée par l’élimination d’une constante donnée ; mais on peut parvenir de deux manières différentes à l’équation du second ordre déduite de la primitive et de ses deux premières dérivées par l’élimination de deux consr tantes données; et ce double point de vue donne lieu à des conséquences importantes relatives à ce genre d’équations.
Au lieu d'éliminer à-la-fois les deux constantes par le moyen des trois équations dont il s’agit , on peut n’éliminer d’abord que l’une ou l’autre de ces constantes, à l’aide de l’équation primitive , et de sa dérivée ; on aura ainsi deux équations différentes du premier ordre , dont l’une ne contiendra que l’une des deux constantes , et dont l’autre ne contiendra que l’autre constante. Maintenant , en combinant chacune de ces équations avec sa dérivée , on pourra aussi en éliminer la constante qui y était restée, et on aura deux équations du second ordre sans les deux constantes , lesquelle* devront être équivalentes entr’elles et avec l’équation qui résulte de l'élimination simultanée des deux constantes.
En effet, chacune de ces équations donnera la valeur de la fonction seconde de la variable qu’on regarde comme fonction de l’autre , valeur qui sera exprimée par la fonction prime delà même variable, et par les deux variables mêmes sans les deux constantes qui entraient dans l’équation primitive ; et il est facile de se convaincre que cette valeur est unique et déterminée, de quelque manière qu’on y par* vienne , puisque les fonctions dérivées d’une fonction donnée soit explicite ou non , sont uniques et déterminées , et que les résultats de l’élimination sont aussi toujours déterminés.
On doit conclure de-là qu’une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations différentes du premier ■r.rdre , renfermant chacune une constante arbitraire de plus, Vt que ces équations seront parconséquent deux équations
primitives de la même équation du second ordre , mais primitives du premier ordre , pour les distinguer de l’équation primitive absolue d’où celles-ci sont censées dérivées.
Enfin on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au second , le raisonnement que nous venons de faire sur celles de cet ordre , et on en conclura de la même manière qu’une équation du troisième ordre peut être dérivée de trois équations différentes du second ordre , et qu’alors elle peut avoir trois équations primitives de cet ordre ; et ainsi de suite.
Nous allons éclaircir et confirmer cette théorie générale par quelques exemples.
Soit l’équation de premier degré
y + or -f b = o, >
en regardant y comme fonction de x et en prenant les fonctions dérivées , on aura
En éliminant a au moyen de ces deux équations , on obtiendra l'équation du premier ordre
y — xÿ + b — o
dont l’équation primitive sera
y -f- ax -f~ b = o ,
a étant la constante arbitraire.
Sila constante b dépendait de la constante a, par exemple si
alors en éliminant a, c’est-à-dire , en substituant — y' pour a, on aurait l’équation du premier ordre >
l5 4 CALCUt
et l’équation primitive de celle-ci serait
y -f- ax -j- a% = o,
a étant la constante arbitraire.
Supposons
b = c V/ ( 1 -f a’ ), on aura l’équation du premier ordre
y — xÿ + c |/ ( 1 +y*),
dont l’équation primitive sera
y -f- ax -f- cl/ ( 1 -f- a* ) ,
où a est la constante arbitraire.
Soit encore l'équation
x* — 2 ay — a1 — i = o :
sa dérivée sera
x — ay' — o ,
équation du premier ordre dont la proposée est l’équatioa primitive, et où b sera la constante arbitraire.
Mais ' si l’on veut que la constante arbitraire soit a , alors il faudra éliminer a; or l’équation dérivée donne
donc substituant cette valeur dans la proposée , elle donnera
ou biea
axy x» ,
( x* — b ) y * — axyy — x* = o ,
DES FONCTIONS. l55
d’où l'on tire
équation du premier ordre dont la primitive sera
x* — 2 ay — a* — b = o ,
c étant la constante arbitraire.
Si on voulait éliminer à-la-fois a et b , il faudrait employer les fonctions secondes. Ainsi, puisqu’on a déjà trouvé l’équation du premier ordre
* — aÿ =s o
où b ne se trouve plus, il n’y aura qu’à former l’équatioq dérivée de celle-ci, laquelle sera
1 — ay* = o ,
d’où l’on tire
et cette valeur substituée dans la précédente , donnera
*— y?=°, ou *y-/=°.
équation du second ordre dont l’équation x* — 3 ay — a* — b — o ,
sera la primitive absolue, a et b étant le* deux constante»* arbitraires.
On parviendrait à la même équation en faisant disparaître 4 de l’équation du premier ordre
/ V C ** -h y' — b ) —yy' — x = o trouvée plus haut ; car en prenant les fonctions dérivé** ,
CUCVL '
on aura
y" v c *a +y ■ - b ) + /{{^+yZ-b)~yy'' “-y'*— i==o;
en éliminant b au moyen de la précédente , il viendra
tLÜ£+fU+y^y.1= o.
lavoir, comme on l’a \m plus haut,
— 1=0, ouy.r — y = 9.
On voit aussi que cette meme équation du second ordre a deux équations primitives du premier ordre , savoir :
x — ay — o ety y ( x1 -f-y i ) — yy' — x — o ,
où a et b sont les deux constantes arbitraires ; et ces deux-ci ; par l’élimination de la fonction dérivéey, donneront l’équation primitive absolue entre x et y,
savoir,
«t en faisant disparaître le radical
x1 — aoy — à 1 — b æ o,
qui est la même dont nous sommes partis.
En éliminant ainsi les constantes qu’ori veut faire disparaître, on tombe souvent, comme on le voit, dans des équations où la plus haute fonction dérivée est élevée à des puissances ; et ce n’est que par la résolution qu’on peut avoir la valeur de cette fonction des variables et des fonctions dérivées d’ua •rdre moindre.
DES FONCTIONS. l57
On peut cependant parvenir directement à une équation dérivée où la plus haute fonction dérivée ne se trouve qu’au premier degré ; pour cela il n’y a qu’à préparer l’équation primitive, de manière que la constante arbitraire qu’on veut faire disparaître s’en aille d’elle-même en prenant la fonction dérivée de chacun de ses termes ; ce qui arrive lorsque cette constante est dégagée des variables, et forme elle seule un des termes de l’équation ; car alors la fonction dérivée de ce terme étant nulle , l’équation dérivée se trouvera natu-*- Tellement délivrée de la constante , et la plus haute fonction dérivée y sera nécessairement à la première dimension ; car, comme on l’a vu dans la leçon VI, en prenant la fonction dérivée d’une fonction de plusieurs variables , chaque variable ne peut donner que des termes multipliés par la fonction dérivée de la même variable.
Or il est évident que cette préparation ne demande que de résoudre l’équation primitive , en regardant la constante qu’on veut éliminer comme l’inconnue de l’équation. , Ainsi on peut obtenir par ce moyen le même résultat qu’on aurait par la résolution de l’équation dérivée , par rapport à la plus haute fonction dérivée.
Dans le second exemple où l’équation primitive était
y ■+■ ax -f- a1 = o , nous avons trouvé l’équation dérivée
y — xy' +/*=o,
laquelle donne , par la résolution,
Mais si nous avions d’abord résolu l’équation par rapport 4 la constante a, nous eussions eu
I rm
sa dérivée serait
y (x* — 4ÿj ~
loogle
*58 CALCUL
•avoir , en multipliant par \/ (x* — 4y ) •
x — ay' — 1/ (x1 — 4y ) ~ 0 »
équation qui coïncide avec la précédente, à cause de l’ambiguité du signe du radical.
On peut de la même manière faire disparaître successivement plusieurs constante* en préparant toujours l’équation, ensorte que la constante à éliminer soit dégagée des variables.
Ainsi l’équation primitive
x* — a ay — a* — b ~ o ,
contenant la constante b isolée dans un seul terme , donno tout de suite l’équation du premier ordre sans b,
x — ay' — o ;
OC
Ensuite en dégageant a,onao=y; prenant la fonction dérivée de chacun des deux membres , on obtient
équation qui, multipliée par y*, devient / — xy" = o,
comme, plus haut.
En commençant l’élimination par la constante a, nous avions trouvé l’équation du premieT ordre ,
comme la constante b y est dégagée des variables , il n’y a qu’à prendre la fonction dérivée de chaque terme pour avoir tout de suite l’équation du second ordre sans a ni b.
On a ainsi
Cette équation se réduit à cette forme ,
Comme le facteur -^7 -f- ne renferme que la fonction prime y’ , il ne peut donner une équation du second ordre ;
ainsi c’est l’autre facteur i qu’il faut employer , et
l’on a
xy"
-~ÿ i=o, savoir , xy * — y1 = o.
comme ci-dessus.
Nous verrons plus bas, lorsqu’il sera question des équations primitives singulières , l'usage du premier facteur.
Ce peu d’exemples que j’ai choisis parmi les plus simples,' suflit pour montrer comment les équations dérivées se forment des équations primitives , par l’évanouissement des constantes. On voit que, pour une équation primitive donnée, il est toujours possible de trouver une équation dérivée qui renferme autant de constantes de moins qu’il y aura d’unité# dans l’ordre de cette équation, et que de quelque manière qu on parvienne à cette équation , et sous quelque forme qu elle se présente , elle sera toujours essentiellement la même. Ainsi le problème de trouver l’équation dérivée d’une primitive donnée, est résolu dans toute sa généralité. Nous allons considérer maintenant le problème inverse, qui consiste à remonter des équations dérivées aux primitives.
160 CALCUL
Puisque dans les équations à deux variables , une équation du premier ordre peut renfermer une constante de moins que l’équation primitive , une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins que l’équation primitive , et ainsi de suite , il s’ensuit réciproquement que l’équation primitive peut contenir une constante de plus qu’un équation du premier ordre, deux constantes de plus qu’une équation du second ordre , et ainsi de suite , constantes qui seront parconséquent arbitraires : et on voit en même temps qu’elies ne sauraient en contenir davantage , puisqu’on ne pourrait les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.
Cette proposition étant d’une grande importance dans la théorie des fonctions dérivées , et n’ayant pas encore été démontrée d’une manière tout -à-fait rigoureuse , nous croyons devoir en donner uue démonstration directe, tirée de l’expression générale de la fonction primitive.
Si y est une fonction quelconque de x , et qu’on dénote par y°m etc. les valeurs dey et de ses fonctions dérivées y . / . y etc. qui répondent à x = o ,< et qui sont parconséquent constantes ; on aura , par ce que noua avons démontré à la fin de la leçon IX ,
y=ya+ y°'x 4- y0' y +7°" -73- + etc-**
et si on veut arrêter la série au terme n*”' , alors on aura les limites du reste, en substituant dans le terme suivant
à la place de y°W la plus grande et la plus petite valeur de yOO depuis x = o jusqu’à la grandeur qu’ot veut attribuer à x.
Maintenant
DES FONCTIONS. ï6l
Maintenant si la valeur de y est donnée par une équation du premier ordre , entre x , y et y' , on aura par cette équation la valeur de y7 en x et y , et de là on trouvera , en prenant les fonctions dérivées, une équation du second ordre en x , y, y' et y" , ensuite une équation du troisième ordre entre x , y , y' , y" et y" ; et ainsi de suite ; de sorte qu’en substituant successivement dans ces équations les valeurs de y , y" , y'" etc. données par les équations précédentes , on aura, en dernière analyse, les valeurs de y',y", yw , etc. éxpriiüées en x et y. Or en faisant x=o, les quantités y , y , y" etc. Se changeront en y° , y1 , y0" etc. ; ainsi ou aura les valeurs de y*, y° * etc., exprimées en y° qui demeurera indéterminée:
De même, si on n’a pour la détermination de y , qu’une équation du second ordre entre X, y , y’ et y" } on en tirera successivement des équations de* ordres supérieur* entre as, y, /> y" y y". entre x, y, y', y“,y“, y"', et ainsi de suite, et par les substitutions successives des valeurs de y, y, etc. , données par les équations précédentes , on aura en dernière analyse, y", y”, etc., données en x, y et y', de sorte qu’en faisant x=o, On aura les valeurs dey', y etc., exprimées en y et y0', ces deux quantités demeurant indéterminées ; et ainsi de suite.
Donc enfin , faisant ces substitutions dans l’expression générale dey' en x, il est clair qu’il restera dans cette expression une indéterminée constante y , lorsque la fonction y sera donnée par une équation du premier ordre , qu’il y restera deux constantes indéterminées y et y°r , lorsque y ne sera donnée que par une équation du second ordre , qu’il y en restera trois , savoir , y°, y y et y", lorsque y sera donnée par une équation du premier ordre -, et ainsi de suite.
Donc , en général , l’expression dey» en x , renfermera autant de constantes indéterminées qu’il y aura d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation qui détermine la fonctionv /
16a CALCUL
et quoique cette conclusion soit fondée ici sur la théorie de» séries , il n’est pas difficile de se convaincre quelle doit avoir lieu généralement , quelle que soit l’expression de y , puisqu’on peut toujours regarder une expression en série , comme le développement d’une expression finie.
Dans l’analyse précédente , on voit que les constantes arbitraires sont toujours les valeurs de y, y' , y \ etc. , qui répondent à x — Q, au lieu qu’en envisageant, comme nous l’avons fait plus haut, les équations dérivées comme le résultat de l’élimination des constantes , ces constantes peuvent être quelconques; mais il est toujours facile de les réduire les unes aux autres : car quelles que soient les constantes qui entrent dans l'expression de y, si on déduit de cette expression celles de ÿ, y ", etc., et qu’ ensuite on fasse 1 = 0, ce qui changera les valeurs de y, ÿ, y, etc. en y, y', y0*, etc., on pourra toujours , en prenant autant de ces valeurs qu’il y a de constantes arbitraires, déterminer celles-ci en y, y*', y*, etc., et les substituer ensuite dans l’expression générale de y.
Or quelle que puisse être la forme de cette expression oat de l’équation d’où elle dépend, à raison des différentes constantes qui y seront contenues, il est visible que lorsque ces constantes seront réduites aux valeurs de y, y', y", etc., cette forme deviendra nécessairement la même pour la même équation dérivée.
On peut donc conclure , en général , que si l’on a une équation dérivée d’un ordre quelconque, et que l’on trouve de quelque manière que ce soit une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et qui renferme autant de constantes arbitraires qu’il y aura d’unités dans l’exposant del’ordre de l’équation dérivée , cette équation sera l’équation primitive de la proposée , avec toute la généralité dont elle est susceptible ; de sorte qu’elle renfermera nécessairement toute autre équation qui ‘pourrait aussi satisfaire à la meme équation avec autant de constantes arbitraires.
On voit par-lé que les constantes arbitraires forment
proprement la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées ; celles-ci sont par leur nature plus générales que les équations d’où elles dérivent, à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu ; elles équivalent donc à toutes les équations primitives , et qui ne différeraient entr’elles que par la valeur de ces constantes.
On pourra donc toujours passer d’une équation primitive à une de ses dérivées d’un ordre quelconque , et revenir ensuite de celle-ci à une nouvelle équation primitive , pourvu que cette dernière opération y introduise le nombre reqpis de constantes arbitraires. Alors cette dernière équation renfermera la première et lui deviendra équivalente , en déterminant convenablement ses constantes arbitraires. C'est ainsi qu’on en a usé dans la leçon précédente, pour la transformation des fonctions angulaires.
Comme nous avons vu qu’une équation du second ordre peut provenir de deux équations différentes du premier ordre , renfermant chacune une constante arbitraire ; qu’une équation du troisième ordre peut être dérivée de même de trois équations différentes du second, et ainsi de suite , il est naturel, d’en conclure aussi réciproquement que toute équation du second ordre aura deux équations primitives du premier ordre, chacune avec une constante arbitraire ; que toute équation du troisième ordre aura trois équations primitives du second ordre , ayant chacune une constante arbitraire; et ainsi de suite. Mais nous pouyons démontrer aussi cette proposition d’une manière directe , par une analyse semblable à celle que nous avons employée ci-rdessus.
Considérons la formule générale du développement des * fonctions. -, u ,<Sj , ,
/(» + *)=/•* 4- ifx + '-fx + etc.
F aisons y ~fx et i = — x, op aura
CALCUL
fx =y>fx —ÿ>fx — y ", etc. ;
et / ( x + i ) deviendra f ( x — x) , c'est-à-dire égale à la valeur de f x ou y , lorsqu’on y fait x ~ o, valeur qua nous avons désignée plus haut par y*. Ainsi par ces substitutions , on aura cette formule
od*
y=y—xy + — ^y+e te.
Changeons maintenant dans la formule générale fx en fx , et l’on aura de même
f ( * + * ) —fx + * fx + l~fx + etc.
Donc, faisant de nouveau
fx—y,f'x—ÿ>fx — y,'>*tt-> et
ce qui donnera
valeur de fx ou de f , lorsque x = o, que nous avons dé* signée par f' , on aura cette autre formule
y* =/ — x y" + — y — y1 *■ + etc-
On trouvera de la même manière
y*—y'—xyj+Çyn—-^yt + etc-
Et ainsi de suite.
Cela posé , si y est donnée par une équation du premier ordre , on aura les valeurs de ÿ , y“ , y" , etc. toutes données en x et y, comme on l’a vu plus haut : si on les substitue dans la formula
y ~y — »/ + y / “ + etc-
An aura une équation entre x et y avec la constante arbitraire ye ,
Si y est donnée par une équation du second ordre , on aura y", y" , y" etc. , données en x, y et y' ; donc, substituant ces valeurs dans les deux formules
y -y - */ + Çy - o-y* + etc- »
y =/ — *y* + ^yly + etc-
•n aura deux équations en x, y et y, ayant chacune une des constantes arbitraires y” et y°', lesquelles seront également deux équations primitives du premier ordre de la proposée du second ordre; et ainsi de suite.
Quoique ces équations soient en séries , les conclusions qu’on peut tirer relativement à la nature des équations primitives , n’en sont pas moins exactes ; et il est visible par la forme même de ces équations , qu’elles sont essentiellement différentes , et qu’il ne peut y en avoir qu’un nombre égal à celui de l'ordre de l’équation donnée.
On en conclura donc aussi , que si pour une équation du second ordre , on trouve d’une manière, quelconque , deux équations différentes du premier ordre qui y satisfassent, et qui renferment chacune une constante arbitraire, on aura les deux équations primitives du premier ordre de la proposée ; et toute autre équation de cet ordre qui y satisferait avec une constante arbitraire, sera nécessairement renfermée dans celle-ci. (
Ces deux équations primitives étant connues, on pourra toujours eu déduire l’équation primitive absolue , sans fonc-t
îGS eiicîi
tions dérivées, en éliminant par leur moyen la fonction dérivée qu’elles contiendront , et qui est censée être la même dans les deux équations.
L’équation résultante ne contenant plus de fonction dérivée , sera l’équation primitive absolue de la proposée du second ordre ; et comme les deux constantes arbitraires , qui entraient dans les deux équations primitives du premier ordre , se trouveront dans cette équation, elle aura toute la généralité dont elle est susceptible.
Donc , ayant une équation du second ordre , on aura également son équation primitive absolue , soit qu’on trouve immédiatement une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse , et qui renferme en même temps deux constantes arbitraire» , soit qu’on trouve séparément deux équation» du premier ordre qui y satisfassent chacune en particulier , et qui renferment chacune une constante arbitraire.
Mais si l’une de ces deux équations du premier ordre ne contenait point de constante arbitraire , alors l’équation primitive qu’on en déduirait , ne contenant qu’une seule constante arbitraire, n’aurait pas toute la généralité qu’elle peut avoir-, mais elle satisferait toujours à l’équation du second ordre d’où on l’aurait tirée , en même temps qu’elle satisfera aux deux du premier ordre.
Il suit encore de là , que si l’on a une équation du premier ordre , et qu’on en déduise d’une manière quelconque une équation du second ordre, soit en éliminant une constante ou non , qu’ ensuite on passe de celle-ci à une autre équation primitive du premier ordre , avec une constante arbitraire , on pourra , par l’élimination de la fonction dérivée qui se trouve dans les deux équations du premier ordre , avoir une équation entre les deux variables et la constante arbitraire ; qui sera parconséquent l’équation primitive, absolue de la proposée du premier ordre. - --
En général , si de la proposée du premier ordre on passe à une équation d’un ordre supérieur, et si on trouve d’une manière quelconque une équation primitive de celle-ci d’un ordre inférieur avec une constante arbitraire , on pourra toujours, par l’élimination successive des fonctions dérivées, parvenir à une équation entre les deux variables et la constante arbitraire , laquelle sera ainsi l'équation primitive de la proposée.
Enfin on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au second, ce que nous venons de trouver relativement à celle» de cet ordre , et en déduire des conclusions semblables.
CALCUL
