LEÇON TREIZIÈME

< Con(muaiion île 1» leçon préc «lente. )

Théorie des multiplicateurs des équations

dérivées ,

Ia A manière la plus naturelle de trouver l’équation primi-> tive d’uife équation d’un ordre quelconque , est de la préparer de façon que son premier membre devienne une fonction dérivée exacte ; car alors il n’y aura qu’à prendre' sa fonction primitive et y ajouter une* constante pour; avoir l’équation primitive d’un ordre inférieur; et en opérant ainsi successivement, on pourra parvenir à l’équation primitive entre les deux variables , et autant de constantes arbitraires que l'ordre de la proposée le comportera.

Or je vais prouver que cette préparation est toujours pos-; sible par le moyen d’un multiplicateur , lorsque ^équation dérivée de l’ordre n est réduite à la forme

^00 étant la plus haute des fonctions dérivées de y.

D’un côté, il est clair que cette réduction est toujours, possible eu censée possible , quelle que soit la forme de l’équation proposée ; car il n’y a qu’à en tirer la valeur de yC") en x, y, y', y", etc. , par les règles connues.

De l’autre côté, nous avons déjà observé plus haut que* quelle que puisse Être l’équation primitive de l’ordre immé-

diatement inférieur, si on dégage la constante arbitraire , et qu'on prenne ensuite les fonctions dérivées, on a une équation dérivée où la plus haute des fonctions dérivées de y ne sera qu'à la première dimension , et qui devra , parconséquent, être identique avec la proposée.

Ainsi, ayant réduit l'équation primitive à la forme F(x,y,y\f....y^) = a, eù a est la constante arbitraire , on aura l’équation dérivée

laquelle, en séparant la partie qui se rapporte à la variation dey(*— d’après la notation abrégée indiquée dans la leçon sixième , peut se mettre sous la forme

F' (x,y,ÿ . . .yCM)) -f F ' (jC»-ri) =o, d’où l’on tire

Comme la constante a a disparu , cette équation devra être identique avec l’équation proposée , puisque la valeur de y^ doit être la même dans les deux équations. Donc la fonction Hx>y>y- . .yt"~ ri) sera identique avec la fonction

F' (X, y, y... yt*-*))

F'j(ÿ^ri)

Ajoutant de part et d'autre la quantité yC«) , la fonction

yw+f(y,y---y(n~0)

deviendra identique avec la fonction

F\x, y.y ... .y*- *)) -f-yOO F' ( y("— O )

c'est-à-dire, avec la fonction

F<jx,y,y.... yO-O)

F'Xÿ^

Donc l’équation

y») +/(x , y, y . . y— °) = o, étant multipliée parla fonction F\y*~'^), deviendra

J^'Cx, y, y... y"-0 ) = O ;

ensorte que son premier membre sera une fonction dérivée exacte.

Ainsi il existe toujours une fonction d’un ordre inférieur à celui de l'équation proposée, par laquelle cette équation étant multipliée, son premier membre devient une fonction dérivée exacte.

Comme cette proposition est fondamentale , et donne lieu à des conséquences importantes, nous allons la considérer sous un point de vue plus étendu.

Soit F{x , y, y . . y*- ') , a) = o

l’équation primitive de la même équation dérivée

yB) +/(*,>/, y. • y-°) =

a étant la constante arbitraire.

Par la théorie générale on aura l’équation dérivée de la primitive supposée , en éliminant a au mojen de l’équation

et de sa dérivée immédiate

a étant regardée comme constante.

De là il est facile de conclure, comme ci-dessu* , que la fonction

deviendra identique avec

FXy<-*~ O )

en substituant ici à la place de a, sa valeur en x,y,y , etc. y<.n— 0} tirée de l’équation primitive.

Considérant donc a comme une pareille fonction déterminée par l'équation primitive

y>ÿ ■■ yin~°> «) = °»

•n aura, pour la détermination de a', l’équation dérivée

F'fr>y>ÿ- • o) = °>

laquelle, en séparant la partie qui se rapporte à ci', suivant la notation employée ci-dessus, devient

d’où l’on tire

tl

équation qui sera identique en substituant pour a sa valeur en x,’y, etc.

Si donc on multiplie l’équation

par la fonction

rcy-'-O) . .

— ~~ > *on premier membre

deviendra

V?» CALCUL

une fonction dérivée exacte , dont la fonction primitive sera

— a, en supposant a déterminé par l’équation

On est donc assuré , de cette manière , de l’existence d’un multiplicateur qui peut rendre le premier membre de l'équation proposée une fonction dérivée exacte.

La même équation identique nous fait voir aussi que ce multiplicateur n’est pas le seul qui jouisse de cette propriété » et nous donne en même temps le moyen de trouver tous les multiplicateurs qui auront la même propriété ; car il est évident que le premier membre de l’équation devenant égal à

— a', il sera toujours une fonction dérivée exacte, étant multiplié par une fonction quelconque de a, et qu’il ne pourra l’étre qu’autant que le multiplicateur ne contiendra que a. Donc le second membre deviendra aussi une fonction dérivée exacte, étant multiplié par une fonction quelconque de a.

D’où il est aisé de conclure que la formule générale de ce multiplicateur sera

q.aXF't yC»-0)

ça dénotant une fonction quelconque de a , et la quantité a étant une fonction de x, y, y , etc. , déterminé par l’équation primitive

F(x,y,y'...yï'-'\a) =o,

a étant ici la constante arbitraire; car le premier membre de l’équation proposée de l’ordre nimt, deviendra , par la multiplication de la formule précédente , identique avec la quantité — a'-fo ; de sorte qu’en dénotant par 4>a la fonction primitive de dça, on aura tout de suite l’équation primitive - 4a — const. ; d’où l’on tirera aussi a=scomt. Or a. étant ici

la fonction de x, y,ÿ , etc. yt'1- O , qui résulte de l’équation

F{x,y,y'.. -,yc"-0 ,a)=o,

il est visible que l’équation 4>a= const. n’est autre chose que cette meme équation dans laquelle on suppose que a devient une constante arbitraire.

Ainsi, lorsqu’une équation dérivée de l’ordre nim‘ est réduite à la forme

yW +/(x,y,/,/.. ./*-'>) = o ,

chaque équation primitive de l’ordre n-r-i , avec une constante arbitraire, fournit une infinité de multiplicateurs, tous renfermés dans une même formule , lesquels peuvent rendre le premier membre de l’équation une fonction dérivée exacte , et redonner la même équation primitive,

Si l’équation proposée n’est que du premier ordre, il n’y a alors qu’une seule équation primitive ; et parconséquent il n’y aura aussi qu’une seule formule de multiplicateurs.

Si l’équation proposée est du second ordre , nous avony démontré qu’elle est susceptible alors de deux différente» équations primitives du premier ordre; chacune d’elles donnera donc une formule particulière de multiplicateurs ; mais on pourra aussi renfermer ces formules dans une formule pku générale encore. • • »

Car soit ; • • . v

Ci • » • r • •

l’équation proposée du second ordre, dont les deux équations primitives du premier ordre soient

F(x,y,y, «) = o, F(x, y, y, b) = o , a et b étant les deux constantes arbitraires.

Eu regardant ces deux quantités a et b comme des fouc-

174 CALCUL

fions de x,y,ÿ, déterminées par ces mêmes équations, oa trouvera, par l’analyse exposée ci-dessus , les deux équations identiques

Soit maintenant * (a, i) une fonction quelconque de a, b, sa Fonction dérivée 4' (a, 6) sera représentée par (é);

de sorte qu’en multipliant la première des équations précé-î dentes par la seconde par <t'(è) , et le* ajoutant en-

semble, on aura

c/+/c^.ynx[^î^+^fSj

On aura ainsi cette formule générale pour le multiplicateur de l’équation proposée

F' CrOx+'OO , F'(y') x ♦'(A)

* w iT'(i)

en supposant a et b déterminés par les deux équations x>y>ÿ> «) = o, F(x,y,yt b) = o ,

etle premier membre de l’équation deviendra alors — <t> (a, b) ; de sorte que l’on aura sur-le-champ l’équation primitive $ (a, A) = const.

De même, »i on prend une autre fonction quelconque de a et b, représentée par 4 (« > b) , on en tirera de meme Téquation primitive 4 (a, b) = const. ,

Ces deux équations donneront donc a et b égales à des

constantes , quelles que soient les fonctions désignées par les caractéristiques et 4 > ce qui redonnera les mêmes équations primitives d’où l’on était parti; d'où l’on voit comment ces équations se trouvent indépendantes des fonctions arbitraires qui peuvent entrer dans les multiplicateurs.

On peut appliquer cette théorie aux équations dérivées des ordres supérieurs au second , et en tirer des conclusions semblables.

On peut donc toujours trouver la forme générale des multiplicateurs, lorsqu’on connaît les équations primitives; mais comme ces multiplicateurs fournissent eux-mémes un moven de parvenir aux équations primitives, il serait important de pouvoir les trouver à posteriori , d’après les équations dérivées. Euler , et d’autres après lui , se sont occupés de cette recherche ; mais c’est un de ces problèmes dont on ne saurait espérer une solution générale.

Pour donner un exemple de ce que nous venons d’exposer, prenons l’équation du second ordre

xy»— / =ro,

que nous avons trouvée plus haut. J’observe d’abord que, datas l’état où elle est , son premier membre est déjà use fonction dérivée exacte ; car , puisque

(xy')' = xf -4-/, on a xy" = (r/)' —/ ;

W — zy'—o;

d’où l’on tire, sur-le-champ, l’équation primitive du premier ordre

xy — ay -f A = o,

A étant une constante arbitraire.

i7<> CUCU

Pour avoir l’équation primitive de celle-ci , je cherche un multiplicateur qui rende son premier membre une fonction • dérivée exacte ; et il est facile de voir que cela aura lieu en divisant l’équation par x? ; de sorte que le multiplicateur

sera

En effet , elle devient par-li

x* xJ

et la fonction primitive du premier membre est

de sorte qu'on aura l’équation primitive

savoir , en multipliant par x‘s

£ étant Une nouvelle constante arbitraire.

Cette équation contenant ainsi deux constantes arbitraires A et B , sera l’équation primitive complète de l’équation proposée du second ordre ; et on voit, en effet , qu’elle coïncide équation

x* -— 2 aÿ -àfr a1-}- £> = o ,

d’où la proposée avait été dérivée,; puisqu’il n’y a qq’à la diviser par B , et faire

' B=— — ,-~—ak+b.

Mai*

Mais au lieu de chercher, comme on vient de le faire , l’équation primitive de la primitive du premier ordre , on peut chercher une autre équation primitive de la proposée ; et pour cela, j’observe que la fonction dérivée dexm y,'‘ est

Tnxjn~,y'n + nxmy'n~'y" — xm~ 'y'n~ 1 (my' -f nxy1') ;

ainsi la proposée étant

xy" — /=°»

on voit qu’en faisant zn = — 1, n— 1, son premier membre deviendra une fonction dérivée exacte , étant multipliée par

x~*, ou par ; et l’on aura la nouvelle équation primitive

Combinant donc cette équation ayec l’équation

xy' — *y + Az=ot

trouvée précédemment, pour en éliminer^', on aura l’équation en x et y

— Bx1 — 2y -f- A — o ,

qui , à raison des deux constantes arbitraires A et B, sera aussi l’équation primitive complète de la proposée. En effet , elle se réduira à la même forme

æ* — 2ay + a* -f- b =. ot

étant divisée par — fi , et faisant «T

CALCUL