LEÇON QUATORZIÈME

Des Valeurs singulières qui satisfont aux Equations dérivées , et qui ne sont pas comprises dans les Équations primitives. Théorie des Équations primitives singulières.

T i a théorie des équations dérivées , exposée dans la leçon douzième, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée, doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible , par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. Il y a néanmoins des équations dérivées auxquelles satisfont des valeurs que j’appelle singulières , parcequ’elles ne sont pas comprises dans leurs équations primitives. Ces sortes de valeurs se sont présentées aux géomètres presque dès la naissance du calcul différentiel ; mais comme la théorie des constantes arbitraires n’était guère connue alors, on n’a pas d’abord regardé ces valeurs comme formant une exception aux règles générales du calcul différentiel. Euler est le premier qui les ait envisagées sous ce point de vue et qui ait donné des règles pour les distinguer des intégrales ordinaires.

Depuis , on a reconnu qu’elles dépendent de la théorie générale des équations différentielles ou dérivées, et qu’elles servent à la compléter; c’est ce que nous allons développer avec toute l’étendue qu’exige l’importance de la matière,

Considérons une équation quelconque du premier ordre , représentée par

DES fonctions;

et supposons qu’elle soit dérivée de. l’équation primitive F{x,y, a)— 9,

a étant la constante arbitraire.

Suivant la théorie générale, cette équation

F{x,y, o)=o, donnera l’équation dérivée

F* (*>y>a)~ o, qui se réduit à la forme

conformément à la notation que nous avons employéefjusqu’ici ; et ces deux équations étant combinées ensemble , de manière que la constante a disparaisse , produiront la suivante

Maintenant il est clair que le résultat de l’élimination de a, sera le meme , quelle que soit la quantité a , soit constante ou variable, pourvu que les deux équations

FÇx,y,a) = o, et F* {x)-\-y'F>

soient les mêmes. Donc |anssi la même équation

pourra résulter de l’équation

en supposant a variable et fonction vie x, pourvu que l’équa-

l£o * . ..CALCUL

tion dérivée

soit également ,

Mais , en regardant a comme une fonction de x, on a

ainsi la condition dont il s’agit aura lieu si le terme a' F' (a) disparaît; d’où il suit que la valeur de y, tirée de l’équation primitive

satisfera également à l’équation du premier ordre f(x,y,ÿ) = o,

en prenant pour a une fonction de x déterminée par l'équation

Cette équation donne ou

a’ — o, ou F* (a) = o.

L’équation a'~ o, donne a égal à une constante quelconque ; c’est le cas’ de l’équation primitive ordinaire , dans lequel a est la constante arbitraire.

Mais l’autre équation

dans laquelle F' {a) est une fonction de x, y et a, donnera, par la résolution, la valeur de a en x et et cette valeur étant substituée dans l’équation primitive

«a aura une nouvelle équation en x et y, sans constante

DES FONCTIONS. l8j

arbitraire , qui conduira également à' la même équation dérivée , et qui sera nécessairement différente de l’équation prijj mitive ordinaire , puisque dans celle-ci la quantité a est une constante arbitraire , et que dans l’autre elle devient une fonction de x et y.

Donc , en général , si on élimine a des deux équations

F(x>y> 0)= <*» et F'(.a) = o,

on aura l’équation qui renfermera les valeurs singulières dey, qui peuvent satisfaire à l’équation dérivée

dont

r F(x>y> = est l’équation primitive ordinaire.

Nous appelleronseette équation, équation primitive singulière, pour la distinguer de l’équation pripritive ordinaire, que nous appellerons aussi équation primitive Complète.

Il faut seulement remarquer que , comme l’essence de cette équation consiste en ce que la valeur de a est une fonction variable, siTéquation

F'Cqj^o,

par laquelle oh dOTt^étertuinef’ a , donnait pour a une quantité constante , ou bien une telle ^fonction de x et^y qui devînt égale à une constante en vertu de îéqùation

dans laquelle on doit substituer cette valeur de a, ou qui, dans cette substitution , donnât le même résultat qu’on aurait par line valeur constante"dé à, alors cette équatidn cesserait d’être une équation primitive singulière, et- ne serait plus qu’un cas particulier de l’équation primitive ordinaire.

Nous avons trouvé (leçon douzième) que l’équation du premier ordre

y v (** +y — b) —yÿ — x — o>

a, pour équation primitive,

x1 — 2ay — a.* — b = O,

où a est la constante arbitraire. Faisant donc

F (x, y, c) — x* — aay — a1 — 6,

et prenant les fonctions dérivées de tous les termes relativement à a seul , on aura

F' (a) = — sy — àa;

donc l’équation

F" ( a) iss o donnera a — — y, valeur qui étant substituée dans l’équation primitive, onne a? -f- jr* — - b ss o,

équation qui satisfait également à l'équation dup remier ordre,! En effet, cette équation donne

y*z=b-*x*, et y y = — x;

ces valeurs substituées dans l’équation

/ l/(x*+y — b) —yy — x — o;

la rendent identique. ■ " ' >

Comme on sait , par la tbéorie des équations , que l’é-^ quation dérivée

F' (a)=ot’

DES FONCTIONS.' l83

relative à a, contient la condition qui rend égales deux des racines de l’équation

ordonnée par rapport à a, il s’ensuit que la valeur singulière de y, dans cette équation , a la propriété de donner à l’équation en a une racine double.

On voit, en effet , que 1 équation

û* -f- aay — o? -f-è = o

acquiert une racine double', en faisant

Si l’équation primitive était

J) (/ — aqy) + (x*— i)n»=o;

a étant la constante arbitraire, l’équation dérivée relative à a; serait

d’où l’on tire

valeur qui , étant substituée dans la proposée, donne

pour l’équation primitive singulière.

CALCUL

Mais de ce que cette équation rend la valeur même de a nulle , il suit qu’elle ne sera qu’un cas particulier de l’équation primitive ; en effet elle résulte de celle-ci , en y faisant a=o.

On peut appliquer aux équations des ordres supérieurs au premier, la théorie que nous venons de donner sur les équations dérivées de cet ordre.

En effet, si

est l’équation primitive de l’équation de l'ordre n ,

f (*> y,y,y-ya>)=o

a étant la constante arbitraire , celle-ci doit résulter de l’élimination de a entre l’équation primitive et son équation dérivée ;’ et il est évident que le résultat de cette élimination sera le meme , soit que la quantité a soit constante ou variable , pourvu que lés deux équations soient de la même forme.

Or l’équation primitive .'

F(* > y > / • • ■yc"~')* a) = o ,

est la même dans l’un et dans.l’autre cas : son équation dérivée est dans le cas de a constante

et dans le cas où a serait une fonction quelconque de x, elle sera

r tT,y,y..y-i'>ï+<t*'w=oi

donc les deux équations deviendront identiques si on détermine

a de manière que le terme a F' (a) disparaisse.

Faisant donc

on a ou

et parconséquent a égal à une constante* ce qui est le cas ordinaire; ou

ce qui donnera une valeur de a en x et y } laquelle étant substituée dans l’équation primitive

donnera une équation du même ordre , qui satisfera également à l’équation

f(x>y>ÿ--yw)

elle pourra donc être regardée aussi comme une équation primitive singulière sans constante arbitraire.

L’équation du second ordre

a pour équation primitive du premier ordre.

x1 — aay' -j- aa= o,

comme on peut s’en assurer en éliminant a aü moyen de son équation dérivée *

x — ciy ~ o.

Si on prend l’équation dérivée relativement à a , on a S / + fi = o; ■

d’où l’on tire

CALCUL

râleur qui , étant substituée dans la même équation , donne celle-ci ,

. x* — y*— o; d’où y' ^±x.

Cette valeur de y' satisfait aussi à l’équation proposée ; mais c’est une valeur singulière , puisqu’elle n’est pas contenus dans l’équation primitive.

Si on cherche l’équation primitive de l’équation du premier ordre

x a — aay -f- a* = o , il est facile de trouver celle-ci:

-g- — a ay -f- a*x -\-brzz o,

où b est la nouvelle constante arbitraire.

Si maintenant on élimine a de ces deux équations , on aura la suivante :

4* (y-xy'r-4 (*- ^ ) (y-*/)/ +(*- ^ )•=<>.

qui sera parconséquent l’autre équation primitive du premier ordre de la proposée.

On peut donc aussi chercher une équation primitive singulière , d’après cette équation-ci , en prenant son équation dérivée relativement a 4, et l’on trouvera

d'où l’on tire

b— ^ +aQy— xÿ)ÿ.

Substituant cette valeur dans l’équation précédente, elle devient

Cette équation donne ces deux-ci :

y — xy' = 0, et x* — y’* — o.

La première ne satisfait pas à la proposée , car elle donne

y=r;«d.iày=i r.=i i=o.

J x J x x* xa x“

La seconde donne

c'est la même que nous avons trouvée ci-dessus.

Ainsi les deux équations primitives du premier ordre ne donnent que la même équation singulière.

H serait cependant naturel de penser que des équations primitives différentes devraient donner aussi différentes valeurs singulières; mais nous allons démontrer, à priori, que l’on a toujours la même équation primitive singulière , de quelque équation primitive qu’on la déduise; ce qu’on ne savait pas jusqu’ici. «

Considérons une équation du second ordre, représentée en général par

et dont l’équation primitive entre x et y soit

a et b étant les deux constantes arbitraires.

Par la théorie générale , on aura ses deux équations primitives du premier ordre, en éliminant a ou b, par le moyen de cette meme équation et de sa première équation dérivée

a et b étant ici regardées comme constantes.

Comme la fonction dérivée F' (x , y) renferme, outre les constantes a et b , la fonctionné, désignons-la par <p (x,y,y',a,b) .

Ainsi on aura les deux équations primitives du premier ordre , en substituant alternativement , dans la même équation

la valeur de b en x,y, a, et la valeur de a enx, y et b, ti^ée* de la même équation

F(.x>y,a,b)=:Qr , ... ,

Ensuite on aura les équations primitives singulières , en éliminant a de la première , par le moyen de son équation dérivée , prise relativement à a , et en éliminant b de la seconde par le moyen de son équation dérivée prise relativement à b. ♦

Considérons d’abord, dans l’équation

, r LS ovrl: >

la quantité b comme une fonction de x,y, a, déterminée par l’équation

son équation dérivée prise relativement à a, sera

en supposant que b' soit la fonction dérivée de b, prise relativement à a; or, comme b est une fonction de a, déterminée par l’équation

on aura la valeur de b' , en prenant la dérivée de cette équation , par rapport à q. \ opération qui donne

Si maintenant on élimine b' de ces deux équations, on a

X F'(tW(4)XF'(o)= oï

Cette équation , étant combinée avec les deux

F(x, y, a, b) — o et ç(x , y, ÿ , a , b) = o ,

donnera , par l’élimination de a et b , l’équation singulière résultant de l’équation dérivée relative à a.

En regardant de même a comme fonction de b dans l’équation

on aura également l’équation dérivée , relative à b ,

ûVO) +f'(i)=°.

et la valeur de a' dépendra alors de l’équation dérivée , relativement à i, !

fi'F'(a) + F' (b) = o -,

de sorte que, par l’élimination de a', on aura pareillement *'(«) X F’(b) - <p'(6) X F' (a) = o.

Ainsi l’équation primitive singulière déduite de l’équation dérivée relative à b, sera encore le résultat de l'élimination de a et b , par le moyen de l’équation précédente et des équations

Donc ce résultat sera le même dans les deux cas, puisque les équations sont les mêmes.

Il suit de là qu’on peut trouver directement l’équation primitive singuilière d’une équation du second ordre , au moyen de son équation primitive complète , sans connaître en particulier les deux équations primitives du premier ordre ; car , soit

cette équation , où a et b sont les deux constantes arbitraires , il n’y aura qu’à éliminer a, b et b' , au moyen des quatre équations

en supposant

v(.x>y>/> a> fe) = F'(x> y)-

On peut appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si

est supposée l’équation primitive entre x et y , et les trois constantes arbitraires a, b, c, d’une étpiation dérivée du troiaième ordre , les trois équations primitives du second ordre donneront une même équation primitive singulière de ce même ordre qui ne sera que le résultat de l’élimination de a , b, c et de b', c% au moyen de ces six équations

F\à) + b'F'Cb ) 4- c'F'(c) = o , ç'(a) -f- b'<p\b) 4. c'f'(c) = o ,

4(a) ~h V4'(*) ~b c'4'Cc) — o ,

en supposant

4 c) = F’(x,jr);

et ainsi de suite.

Ainsi l’équation du second ordre

ayant , comme on l’a vu ci-dessus , pour équation primitive entre x et y , l’équation

acy 4“ a3x 4- 6 =o ,

où a et ù sont les constantes arbitraires , on aura tout de suite l’équation primitive singulière du premier ordre, en corn» binant cette équation avec son équation dérivée ordinaire , et avec les deux dérivées de celles-ci , prises par rapport à a, et en regardant b comme fonction de x, y, y ' et a, de mainière que les quantités a, b, et b ' disparaissent.

Pour donner plus de généralité à cet exemple , en conservant la constante b dans l’équation dérivée , je donnerai d’abord à l’équation primitive, 1a forme

CALCUL