I.+3a-+®Zl

et j’aurai pour sa dérivée

6ayr 3 b — 6ay

Prenant maintenant les dérivées de l’une et de l’autre r»

lativement à a, il viendra

6y 6/ ZV

b étant„supposé fonction de a.

En éliminant d’abord b', on a

=o, d ou a— y :

les deux premières donnent ensuite , en éliminant b ,

3a* — 6ay'

substituant la valeur de a, il vient

3x = o, ou y'1 — x* —0t

comme plus haut.

Soit encore l’équation du second ordre

y. — 4* — / — ( y — ag^>“ — /* = o »

n î $ r o * a t ï o n !. ij3

dont l’équation primitive en x et y est

y :r* ■*— &x — a* — bm = o.

Si on élimine tour-à-tour a et b de cette équation, au moyen de son équation dérivée

y' — ax — b = ô,

on a ces deux-ci ,

y + (h~4‘) »• — (t— aà)x/— o*-y*=*o,

y „ &±ÛE -, ij-f, Q.;

En prenant l’équation dérivée de la première relativement £ a, on trouve

Q — + q,xy' — a« == o,;

d’où résulte

valeur qui, étant substituée dans la même équation, doimd

De même l’équation dérivée de la seconde, relatiyeirietftà b,*é ra

* lï

CALCUL

d’où l’on tir*

«t la substitution de cette valeur donnera

ces deux équation» reviennent au même , car elles se réduisent l’une et l’autre à celle-ci,

(*+*)*— (*+^)y— /a+Tg=°>

qui est, parconséquent , l’équation primitive singulière de la proposée du second ordre.

On aura le même résultat en éliminant immédiatement a, i et b\ au moyen de l’équation primitive

y — - x* — bx — a* — o* = o ,

de sa première dérivée

y — ax — b — o ,

•t de leurs deux dérivées par rapport 'à a ,

aa -j- (x — *b) b'= o, x -f- b'= *.

DES r O N C T ï O N s. tgS '

fin combinant celle-ci avec la seconde, on trouve »

— 4(1 -f-nc-)* -4(1+**)’

et ces valeurs étant substituées dans la première , il vient

comme ci-dessus.

Si de l’équation primitive

an tire la valeur de a en fonction de

et qu’on la désigne par .1

il est clair qu’en substituant cette fonction à la place de a, dans la même équation, elle deviendra nécessairement identique ; parconséquent ses équations dérivées relatives à

en particulier , auront lieu aussi.

De là 90 déduira

CALCUL

etc.

Donc , puisque la quantité F' (a) devient nulle dans le cas de l’équation primitive singulière, il s’ensuit que, dans ce même cas , les valeurs de

deviendront chacune infinie.

Ce caractère fournit aussi un moyen général de trouver l’équation primitive singulière ; et ce moyen est surtout utile , lorsque l’équation primitive est sous la forme

laquelle parait échapper à la règle générale établie ci-dessus,; car on aurait ici

et de là

d’où l’on ne pourrait rien conclure relativement à l’équation primitive singulière.

Il faut néanmoins observer que, quoiqu’il soit vrai que l’équation primitive singulière rend les fonctions

*'(•*) , 1 ‘'(y) , *'(/), etc.

infinies , on n’en doit pas conclure que toute équation ,qui ren-, dra ces quantités infimes , sera une équation primitive singu-

des ÏONCTfONS. ig7

lière ; il faudra, de plu* , que cette équation ne rende pas la fonction

égale à une constante, car on n'aurait alors qu'un cas particulier de l’équation primitive générale.

Par exemple , si

on aura

*'CX) — —m(y — *)— « , <b’(y) T=m(y — x)m~' ;

l’mre et l'autre de cès quantités deviennent infinies, en faisant y — x = o , pourvu que m < 1 .

Mai* cette équation

rend la valeur de 4Xx,y) égaie à zéro "ou à l’infini, suivant que m est positif ou négatif ; donc elle ne peut pas être une équation primitive singulière.

Prenons l’équation du premier exemple

elle donne donc

«t de là

x% — a ay -f a% — b = o,

by,

v&+y—by

*'O0 = - i +çr

où l’on voit qtie ées deux fonctions 1 équation primitive singulière

(x*4 -y-by

deviennent infinies

par

JgS CALCUL

Nous avons trouvé plus haut cette équation du premier ordre,!

pour l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre.

ÿ — xy' + —y — C /- xy" >* -f* = '

en dégageant la fonction y', on a