OT

, nx + x3 l/(i -f- x*) X | /(» 6y + 4r* + J-4)

aop iiynioq , c — ï.

et divisant par g y/(i6y -|- 4x“ -f- x4) , on obtieut

Sv7 -4- Ax -4- ai1

,r rv

!*rt

équation dont les deux membres sont des fonctions dérivées exactes.

En prenant leurs fonctions primitives, et ajoutant la constante arbitraire k , on aura l’équation primitive

gnnob* ofi-j

j/(iGy -f 4x“ -f-x4) x v/ (î -f x»)

— KVi.1 -f x1) — x] +k ,

comme il est facile de s’en assurer en prenant les fonctions dérivées de ses deux membres.

Cette équation est, comme l’on voit, bien différente de l’équation primitive complète

y — - x1 — bx — a’ — b% = o :

mais elle satisfait également à l’équation proposée du second

DES FONCTIONS. “ tqi

ordre, parcequ’elle satisfait, en général , à l'équation du premier ordre , qui satisfait à celle du second ordre , comme primitive singulière.

Mais cette équation du premier ordre peut avoir ellemême une primitive singulière qu’il est bon de chercher.

Comme la constante k est débarrassée des variables xety, on a immédiatement

/j = j/(i6y+4r»+x4) xv/(i +x*)— /[V(i -fx1)— -x] ;

EStTC* 30p 887 !S> à'ib s'.

de sorte qu’en désignant cette fonction par 4>(x, y) , et prenant les fonctions dérivées relatives à x ou y, on aura surle-champ

( yV ^ . *

i/(iSy-t-4ca-f-x4)’

donc, supposant cette quantité infinie, on aura l’équation i6y + 4** + x* == o

pour l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre , qui est déjà elle-même une primitive singulière de U proposée du second ordre.

Elle satisfait, en effet, comme on peut s’en assurer, à l’équation du premier ordre ; mais elle ne satisfait plus à Celle du second ordre. > ’•> ■> 1

On aurait pu aussi déduire immédiatement cette même équation singulière de l’équation primitive entre x et y

y — ~ x' — bx^a' — bi = o,

en déterminant a et b par ses deux équations dérivée» relatives à a et b.

, Oa aura ainsi -ra:.

- x1 -}- ao = o , x + ai = o ;

flO« ■ CALCUL

d’où l’oa tire

substituant oes valeurs dans l’équation précédente , elle deviendrait

Il n’est pas difficile , en effet , de démontrer , par la jbéorie générale des équations primitives singulières, que ces sortes d’équations primitives singulières doubles , résultent de l’équation primitive ; " ' “

en éliminant les deux constantes a et J par les deux équations particulières

F' (a) ==Q, et F'(b)^o.

Et par là U est aisé de voir la raison pourquoi elles ne satUfolat pas, eu général, à l’équation du second ordre, dont

t. ,"2iur:i ■ t •' ■>

eat l’équatian primitive oomplète avec les deux constante!

arbitraires a et i.

Car soit , . r • : •

cette équation du second ordre ; elle résulte , comme nous l’avons vu, de l’élimination de a et b regardées comme constantes, au moyen des trois équations

Mais, lorsqu’on regarde a et b comme des fonctions de xet^y, l’équation dérivée de

UES JONCTION*, n’est plus simplement

mais elle devient t

FX*,y) + a F1 {a) + b' F' (b) - o, laquelle se réduit cependant à

en déterminant a et b par les deux condition* 1 F' (a) == o et F' (F) — o ,

qui sont celles de l’équation primitive singulière double.

Comme la fonction dérivée F* (je, y) étant développée , renferme les variables x, y, y', et les deux constantes «été, désignons-la par ç (x, y, y', a, b ) -, il est clair que la troisième équation

où a et b sont regardées comme constantes , sera représentée par

mais , dans le cas où ces quantités sont variables , elle deviendra + a'*' (a) + VJ (b) = o,

qui ne se réduit plus à

paroeque les deux fonctions q>' (a) et q/(i) ne sont pas nulles. Ainsi il est impossible que l’équation

dans laquelle a et b sont des fonctions de x et y, déterminée* par les conditions

âO* . .CALCUL

F'(«)=oJ F'(6) = o,

satisfasse généralement à l’équation du second ordre qui résulte de la même équation par l’élimination des quantités a et b , au moyen de ses deux dérivées , première et seconde , prises en regardant a et b comme constantes.

On peut étendre cette théorie aux équations primitives de* équations des ordres supérieurs.

Ainsi, si l’on a l’équation primitive

où a, b, c sont trois constantes arbitraires, et qu’on détermine ces trois quantités par les trois conditions

on aura une équation primitive singulière triple , qui sera , parconséquent , la primitive singulière d’une équation du premier ordre, qui sera elle-même la primitive singulière d’une autre du second ordre, laquelle sera enfin la primitive singulière de l’équation du troisième ordre, dont la même équation

sera la primitive ordinaire complète avec les trois constante* arbitraires a, b, c; mais cette équation primitive singulière triple ne satisfera ni à l’équation du troisième ordre , ni même à sa primitive singulière du second ordre, t

Nous avons démontré plus haut, que les fonctions <t'(x) , 4>'Çy), 4>'(y') , etc., <t>'(y^"~ 0) ont des valeurs infinie* dans le cas de l’équation primitive singulière de la dérivée , dont

est la primitive ordinaire , avec la constante arbitraire a. . On peut conclure de là , tout de suite , que tout multi-

de* fonctions; *o3

plicateur qui rendra une équation de l’ordre quelconque n , telle que

une dérivée exacte d’une équation de l’ordre inférieur n — i,' deviendra nécessairement infini en vertu de l’équation primitive singulière de la même équation.

Car soit M ce multiplicateur : on aura donc, par l’hypotbèse ,

M cy*3 +/(x, y, y'., y— 0)3 = «>' (x,y, y ' . . y— *î) ; et l’équation primitive sera ......

Or,

4>'(x,y,y'. . y»-î)=y»)4,'(:yC«-i,))+ *'(*, y,ÿ . . y*-*)).

Donc M — <t>' (y-0) ; parconséquent la quantité M deviendra infinie par la substitution de la valeur de y*T0 donnée par l’équation primitive singulière.

Cette conclusion suit aussi directement de la forme même des multiplicateurs , que nous avons donnée dans la leçon treizième. En effet, si l’équation est du premier ordre, comme

elle n’aura qu’une équation primitive , telle que

et tous les multiplicateurs de cette équation.. sont nécessairement renfermés dans la formule — nu «ta étant une

fonction quelconque de a , en supposant qu’on substitue pour # sa valeur tirée de lg même équation

*'C*».y> fl) — 0 ;

donc , puisque l'équation primitive singulière rend la fonction F' (a) infinie , tous les multiplicateurs deviendront aussi infinis.

Si l’équation dérivée est du second ordre , comme

elle peut avoir deux équations primitives différentes , chacune du premier ordre, telles que

F(x,y,ÿ,*) = °> et F(x,y,y,b)= o ;

et la formule générale des multiplicateurs sera

♦wxny) , n*) x Fç /)

♦ (a, 5) étant une fonction quelconque de a et b , c’est-àdire, de leurs valeurs déterminées par les équations précédentes.

Or l’équation primitive singulière rend nulle chacune des deux fonctions dérivées F' (a) , F' (b) ] donc tous les multiplicateurs deviendront infinis dans le cas de cette équation ; et ainsi de suite.

Par exemple , l’équation

qui est la même que celle qu’on a considérée ci-dessus'", a , pour l’un de ses multiplicateurs , la quantité

DES fOWCTIOSS. ao5

En supposant ça multiplicateur infini, on a

pour son équation primitive singulière ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a déjà trouvé.

On a donc ainsi un nouveau moyen de trouver les équations primitives singulières par les multiplicateurs.

Mais , quoiqu’il soit prouvé que tout multiplicateur doit devenir infini par l’équation primitive singulière , on ne peut pas dire réciproquement que toute équation qui rendra un multiplicateur infini , sera une équation singulière. En effet la formule générale des multiplicateurs étant pour le premier ordre ^ est ®v^ent que sa valeur peut

devenir infinie sans que l’on ait

car pour cela il suffit que l’une ou l’autre des fonctions , F'(y) , reçoive une valeur infinie.

Au reste, on peut se convaincre aussi , par ce raisonnement fort simple , que l’équation primitive singulière doit rendre infini tout multiplicateur d’une équation d’un ordre quel— ' conque n, de la forme ' ,

yw +f{x>y> y ■ • y"”0) =** o-

Car M étant un multiplicateur de cette équation , on aura

+fix> y, / • • y = ♦'(*. y,ÿ ■ ■ y"-0) ;

et l’équation deviendra

dont la primitive sera

aoS ; C A L C* 0 L .

a étant une constante arbitraire.

Maintenant l’équation primitive singulière doit satisfaire à la proposée

+ f(x,y,ÿ.. ./—O) == o , et ne doit pas être comprise dans sa primitive complète # (x, y, y' . . ,y»-0) = a.

Donc la valeur de yn— *>, tirée de la primitive singulière , étant substituée dans la fonction <t> (x,y, y' • . y"- ‘-O > ne doit pas la rendre égale à une constante ; parconséquent elle ne devra pas rendre nulle sa dérivée <t>' (x, y, y' . . y*- 1 0).

Donc cette valeur doit rendre nulle la quantité

et ne doit pas rendre nulle la quantité

ce qui ne peut avoir lieu qu’autant quelle rendra la quantité M infinie.

C’est à-peu-près de cette manière que Lapla.ce a démontré le premier cette proposition importante que d’autres géomètres avaient entrevue , mais dont on n’avait pas encore donné une démonstration rigoureuse. Voyez son Mémoire sur les Solutions particulières , parmi ceux de l’Académie de* Sciences de 177a.

ne?