LEÇON QUINZIÈME

Comment V équation primitive singulière

résulte de l' équation dérivée.

P a R les principes que nous venons d’établir , on peut trouver l’équation primitive singulière de toute équation dérivée dont on connaît déjà l’équation primitive de l’ordre immédiatement inférieur, ou dont on est en état de trouver cette équation à l’aide d’un multiplicateur.

Nous allons voir maintenant comment on peut déduire l’équation primitive singulière de l'équation dérivée seule.

Pour cela , il faut examiner ce que l’équation dérivée devient dans le cas de l’équation primitive singulière.

Reprenons le principe fondamental des équations primitive» singulières.

Si

est l’équation primitive d’une équation du premier ordre, celle-ci sera le résultat de l’élimination de la constante a , au moyen de son équation dérivée

FXx> y) — °<

relative à x et y-, et l’équation primitive singulière sera le ré- «ultat de l’élimination de la même quantité a , au moyen de l’équation dérivée

relative a a.

Supposons que l’on tire de l’équation »

CALCUL

nc8

Ff{x,y) = or

la valeur de a en fonction de x, y et y', que je représenterai par q(x, y,y) i et qu'on substitue cette fonction au Heu de a, dans l’équation primitive

on aura une équation en x, y, y' qui sera la dérivée de la

proposée.

Ainsi , en désignant simplement par <p la fonction on aura

pour l’équation dérivée.

Prenons maintenant la dérivée de celle-ci , et , comme ? est une fonction des variables x, y, y', on aura cette équation

J1) ~h ÏF'W = o ,

où l’expression F'(. r, est la même chose que le premier

membre de l’équation ci-dessus

si ce n’est qu’à la place de n il y a sa valeur ç , tirée de cette même équation -, d’où il suit que l’expression dont il s’agit sera identiquement nulle , puisqu'elle est censée être le résultat de la substitution de la valeur de a, qui la rend nulle.

La dérivée de l’équation du premier ordre

se réduira donc simplement à celle-ci,

VF'W = o,

laquelle se décompose , comme l'on voit, en ces deux-ci,

♦' =:0, et F' (0=o.

La

aog

La première „ , ,

*' = °, savoir, <t'(x,y,/) = o,

est une équation du second ordre qui donne la valeur de y" en x, y et V.

Cette équation a pour équation primitive <p égal à une constante arbitraire ; ainsi

ç t=s a , et F (x, y, <p) *= o

sont deux équations primitives du premier ordre de la même équation du second ordre

donc, par la théorie exposée dans la leçon douzième, éliminant^' de ces deux équations, on aura l’équation primitive de

FÇx,y, <t0 =°.

dans laquelle a sera la constante arbitraire ; mais comme y* n’est contenue que dans la fonction <p, le résultat de cette élimination sera le même que celui de l’élimination de f ; parconséquent ce résultat sera

FÇ x,y, <0 = o,

ce qui redonne la même équation primitive d’où l’on était parti.

Considérons maintenant l’autre équation

celle-ci satisfait aussi , comme l’on voit , à la même équation du second ordre ; mais comme elle ne contient que les fonctions y et y , elle peut être regardée comme une équation primitive du premier ordre de la même équation , mais sans constante arbitraire. Ainsi , en éliminant y' par le moyen de celle-

ci, et de l’équation du premier ordre F(x, y, ?) = Of

on aura une nouvelle équation primitive de cette même équation , qui sera nécessairement différente de l’équation primitive

Or , comme la quantité^' n’est contenue que dan* la fonction f , le résultat de l’élimination de y', des deux équation*

F'(î) = o, et F(pc,y, <ç) = o,

•era le même que celui de l’élimination de <p , comme nou* l’avons déjà observé plus haut; et ce résultat sera évidemment le même que celui de l’élimination de la quantité a de*, deux équations

F'(a)~o , et F ( x , y, a) — o.

Donc, par ce qu’on a démontré dans la leçon précédente, ce résultat donnera l’équation primitive singulière de l’équation dérivée dont , ,

est l’équation primitive ordinaire , a étant la constante arbitraire.

D’où l’on doit conclure que l’équation

donnera , par l’élimination de y', la même équation primitive aingulière de la proposée du premier ordre

qu’on tût trouvée d’après ion équation primitive F(x,y,à)—ol

DES FONCTIONS.' suivant les principes et la méthode exposés dans la leçon précédente.

On voit par là qu’il est toujours possible de mettre l’équation dérivée sous une forme telle que sa dérivée donne elle-même immédiatement l’équation primitive singulière , s’il y en a une ; et c’est une observation qui n’avait point encore été faite jusqu’ici.

Reprenons l’équation du premier exemple de la leçon précédente.

ac* — a ay — a* — b = o.

en la regardant comme une équation primitive dont a est la constante arbitraire ; pour avoir l’équation dérivée qui ait la propriété dont il s’agit , il faudra y substituer pour a sa va-

leur tirée de la dérivée

x — ay ~ o.

Ainsi l’équation dérivée dont il s’agit sera-* x*-

En prenant la dérivée de celle-ci , on a

r , x.yy" •* , <y* y + y* /»+/’-

équation qui se réduit à

comme noua l’avons déjà observé dans la leçon douzième.' En la mettant sous la forme

CALCÏl

sia

on voit qu'elle revient à

en supposant

F{x,y, cï) — x' — îay — a.' — b, et prenant potir ? la valeur de a , tirée de l’équation prima x — ay 4= o.

Le facteur du premier ordre donne l’équation

y + y. = °< d'où y, — ~ÿ>

valeur qui , étant substituée dans l’équation du premier ordre , la réduit à

x*—b+ s/— y*=ô ou x'+y%-~b = 0,

équation primitive singulière, comme nous l’avons déjà trouvée; car l’équation dérivée que nous considérons ici , est la meme que l’équation

ÿV'(x>+y'—b)—yy — x—o, que nous avons considérée dans le premier exemple de la leçon précédente ; mais sous cette forme , elle n’aurait pas son équation prime décomposable en deux facteurs.

Le facteur du second ordre *tant **** egal a

zéro , donnera

On aurait aussi facilement par ce facteur l’équation primitive; car étant la fonction dérivée exacte de ^ > il donnera tout de suite l’équation primitive du premier ordre

DES FONCTIONS. 2l3

multipliant par a y' , et prenant de nouveau les fondions primitives, il vient

x 1 = 2 ay -f- ç,

a et c étant des constantes arbitraires ; mais la proposée n’étant que du premier ordre , ne peut avoir qu’une constante arbitraire ; il faut donc qu’il y ait une relation entre ces deux arbitraires -, pour la trouver il faut substituer dans la proposée les valeurs de y et y tirées des équations primitives que nous

venons de trouver. Ces valeurs sont et , et l’on aura

x* — b — x? -f-c —(fxz o, et de là c = aa b;

de sorte que l’équation primitive sera

x * — aay -J- a1 -j- b = o,

comme ci-dessus.

Il n’est pas même nécessaire de passer à une seconde équation