OC

primitive; car ayant trouvé —r —a, il n’y a qu’à substituer tout

de suite la valeur de y' = - dans la proposée du premier ordre, et l’on aura aussi

x* — b — a ay *— a* = o.

Considérons les équations du second ordre. Soit F(x,y,y,a) = o

l’équation primitive du premier ordre d’une équation dérivée du second.

En éliminant a au moyen de l’équation

on aura l’équation du second ordre; et en l’éliminant au moyen de 'équation

•n aura l’équation primitive singulière.

SI 4 C A L C ü t

Soit n> (x,y, y', y") ou simplement la valeur de a etf fonction de x , y, y , y" , tirée de l’équation

en substituant cette valeur dans l’équation primitive , on aura une équation dérivée de la forme

et si on prend l’équation dérivée de celle-ci , il est visible que la partie F'(x , y , y), relative à la variation de x, y, y', sera identiquement nulle , puisque la quantité <p, qui y est regardée cemrae constante , est supposée déterminée par l’équation même

Il ne restera donc que l’équation F'. (f) = o,

qui se décompose en

= o, et F' (ç) — o.

L’équation

sera du troisième ordre, et donnera la valeur dey*. Son équation primitive sera évidemment

en prenant a pour une constante quelconque. Éliminant y*, qui est contenu dans , au moyen de l’équation dérivée F(.x,y,y,l’)=o,

on aura le même résultat que par l’élimination de q> ; c’est-àdire,

équation primitive.

L’autre équation

donnera aussi , par l’élimination de y*, le même résultat que par l’élimination de ç, et parconséquent le même résultat que

DES FONCTIONS. Sl5

par l’élimination de a , au moyen des équations

F' (a) = o,etF (x,y,y',a) = à; qui sont les mêmes, en y changeant a en$.

Donc ce résultat sera l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre dont

FC x>y,y>a)=o

est l’équation primitive du premier ordre.

L'équation du second ordre

que nous avons considérée dans les leçons précédentes , a pour dérivée

qu’on peut mettre sous cette forme

Le facteur y " — n’étant que du même ordre que la proposée, donnera, par l’élimination dey", une équation primitive singulière de celle-ci ; car en faisant

y'—^x~ °»°nay=^.

valeur qui étant substituée dans la proposée, donne

— + i =o*, savoir, x* — y'* = o,

comme nous l’avons trouvé dans la leçon précédente.'

L’autre facteur donnera l’équation du troisième ordre

fil6 CALCUL

qui étant divisée par x , a pour primitive du second ordre

a étant une constante arbitraire ; celle-ci donne

substituant cette valeur dans la proposée , on a cc?

— * — f- 1 =o ; ou jc1 — say1 -f- o* = o,

équation primitive , comme on l’a vu dans la leçon citée.

Le même procédé s’applique aux équations d’un ordre quelconque ; et l’on en peut conclure , en général , que toute équation dérivée est susceptible d’une forme telle que sa dérivée ait deux facteurs , dont l’un réponde à l’équation primitive ordinaire , et dont l’autre donne immédiatement l'équation primitive singulière, s’il y en a une; ce qui jette un nouveau jour sur la nature des équations primitives singulières : car il est évident que les deux facteurs de l’équation dérivée étant indépendans l’un de l’autre , doivent satisfaire chacun en particulier à cette équation , et , parconséquent aussi à son équation primitive proposée.

En même temps on voit que le facteur qui donne l’équation primitive singulière , et qui est du même ordre que la proposée, ne pourra pas satisfaire aux équations des ordres supérieurs, puisqu’il ne satisfait pas à celle qui résulte de l’autre facteur , et qui contient seule les fonctions dérivées d’un ordre plu* élevé que la proposée.

Je considère maintenant que, comme toute équation dérivée du premier ordre, telle que

ne peut être que le résultat de l’élimination de la constante arbitraire a, au moyen de l'équation primitive

F(x,y, a)z=zo,

et de sa dérivée

ainsi que nous l’avons vu dans la leçon douzième , et que l’équation

est déjà le résultat de cette élimination par ce que nous avons démontré plus haut; il suit , de la théorie connue de l’élimination , que si les deux équations

f(.x>y>/) — o et F(x,y, <p) — o,

ne sont pas identiques, elles ne peuvent différer que par un facteur qui affectera l’une des deux , et qui ne pourra être qu’une fonction de x, y et y'.

Supposons donc que M soit un pareil facteur, ensorte qu’on ait l’équation identique

nx,y,y)=MxF{x,y, d>).

Ou aura donc en prenant les fonctions dérivées

f (x>y>y')== MxF'Cx.y, <*) -f- M'xF(x,y, ?)>

mais nous avons déjà vu que la dérivée de F[ x ,y, ) se réduit à <p’ F* (<p ) ; donc substituant ç' F' ($) pour F v(x,y, <p) f et

** f ( jc j y, )

mettant à la place de F(x, y, <p) sa valeur J on aura

f(*,y>y') — Mx F\i) x ?'+ xf(*,y,y‘y,

c’est la forme générale de la dérivée de la fonction y (x,y,y") qui est le premier membre de l’équation proposée.

On voit par 14 qu’étant proposée l’équation du premier ordre

CALCUL

ii8

f(x,y,y) = o, on pourra satisfaire à sa dérivée

v nx,y,y) = o,

indépendamment de la valeur de y' , par le moyen de l’équation du même ordre

combinée avec la proposée; de sorte que ces deux équation» pourront être regardées également comme des équations primitives du premier ordre de la même équation dérivée

du second ordre. Parconséquent il n’y aura qu’à éliminer y entre elles pour avoir une équation primitive de la proposée , laquelle ne sera qu’une primitive singulière, comme nou* l’avons démontré ci-dessus.

Maintenant si, dans la fonction dérivée f' (x,y, y') , on sépare la partie affectée de y")’elle devient y"]y(.y') -f-, suivant la notation que nous avons adoptée. Ainsi la dérivée de l’ équation proposée

■era

et il est visible qu’on ne peut satisfaire à cette équation indépendamment de la valeur de y" , qu’en égalant séparément à zéro les deux fonctions y7 (y")- et f* ( x,y ,); il est facile de voir, en effet, par la comparaison de l’expression précédente d ef (x, y, y') avec la forme générale trouvée ci-dessus, que les deux équations

ai» 1

«mportent ces deux-ci ,

f Cy,)=o i f (.x >y) — o»

et réciproquement.

On aura donc l’équation primitive singulière de la proposée,

en faisant dans sa dérivée

les deux équations séparées

/ (/) = o, / (x,^) = o, et éliminant la fonction y' au moyen de la proposée.'

Si les deux résultats donnent la même équation entre x et y, ce sera l’équation primitive singulière; sinon ce sera une marque que la proposée n’admet pas d’équation primitive de cette espèce.

Lorsque les deux fonctions^” (y') et f (x ,y) ontun facteur commun, ce facteur égalé à zéro, remplit les deux conditions , et donne l’équation primitive singulière par l’élimination de y’ , au moyen de la proposée : c’est le cas où celle-ci est de la forme

FC-r.y,?) — o,

comme nous l’avons vu au commencement de cette leçon. Ï1 y a, au reste, une forme plus générale que celle-ci, où la dérivée est toujours décomposable en deux facteurs dont l’un donne 1 équation primitive singulière ; nous en parlerons plus

bas.

L’équation du premier ordre

/*(** — £)— axy/ — x*=:o,

qui est la même que nous avons considérée au commencement de cette leçon, mais multipliée par y'1, a pour dérivée

» ly' (**- b) — xy ] y' — a (y/ + x) = o.

SCO CALCUL

On voit ici que les deux fonctions y' (x? —b) — xy et yy'+x, n’ont aucun facteur commun ; cependant , si on les fait chacune séparément égale à zéro , elles donnent ces

deux valeurs de y' ; savoir, — T et , qui étant substi-

tuées dans la proposée, donnent ces deux-ci,

lesquelles se réduisent à la même, savoir, x% (r.s-|-y* — b) = o.

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée , comme nous l’avions déjà trouvé.

Je remarque maintenant que l’équation du premier ordrt

ayant pour dérivée

// C/)+/Ky)=°>

donne en général

Mais nous venons de voir que , dans le cas de l'équation primitive singulière, on a séparément .

donc on aura, dans ce cas,

ce qui donne cette règle générale et fort simple pour trouver l’équation primitive singulière de toute équation du premier ordre , lorsqu’il y en a une.

Cherchez , en prenant les fonctions dérivées , la valeur de la fonction seconde y" , et suppose2-la égale à zéro divisé par zéro , [vous aurez deux équations en x , y et y' , qui , étant combinées avec la proposée, donneront, par l’élimination de ÿ , deux autres équations en x et y. Si elles ont un facteur commun , ce sera l’équation primitive singulière de la proposée. ,

On peut appliquer ce procédé à l’exemple que nous avons traité ci-dessus.

Soit encore l’équation du premier ordre

( xy'—y) (xy' —2y) + x3= o :

sa dérivée sera

x ( a xy' — Zy )y' — xÿ * -f -yÿ -{- 3x9 = o ; d’où l’on tire

, xy''-yy’-Zx^ x(a xy' — 3 y)

Faisant cette expression = on aura les deux équations

xÿSk—yy'—'3x‘=o,axy—Zy = o-, ,

d’où il faudra éliminer y" par le moyen de la proposée. La seconde donne

cette valeur substituée d’abord dans la première , donne celle-ci

et substituée dans la proposée , elle donne

ces deux équations se réduisent , comme l’on voit , l’une et l’autre à celle-ci

qui sera, pareonséquent , l’équation primitive singulière de la proposée.

On peut s’en assurer, en effet, par l’équation primitive qui est

y — ax =o.

ou a est la constante arbitraire. Sa dérivée relative à a, sera

laquelle donne

a* = x et a = ]/ x;

et l’équation primitive devient , par la substitution de cette valeur,

y — axy x=o , ou y* — /^xb=o‘, la même que nous venons de trouver.

Il est facile de voir , par l’expression générale de y", que non-seulement cette expression devient 2 en vertu de l’équation primitive singulière , mais que les expressions des fonctions suivantes^*, y*", etc. deviendront aussi 2 en les réduisant 5’abord

en simples fonctions dey', y", etc., tirées de l’équation proposée , et substituant ensuite la valeur de y en x , donnée par l’équation primitive singulière.

On peut regarder cette propriété de l’équation primitive singulière , comme son vrai caractère distinctif ; et l’on peut

DES FONCTIONS. aa3

sc convaincre d’ailleurs que son existence dépend , en effet, de ce que les valeurs des fonction* y', y, etc., des ordres supérieurs à la proposée, demeurent indéterminées.

Car si ces valeurs ne devenaient pas indéterminées dans le cas de l’équation primitive singulière , on pourrait , dans ce cas même , employer la formule générale donnée dans la leçon douzième

y=r+y'x+y" ~ +y* +etc->

dans laquelle y0, y', y°", etc. sont les valeurs qui répondent à x = o ; et la quantité y % qui est la con*tante arbitraire , recevrait alors une valeur particulière dépendante de cette équation ; de sorte que la valeur de y en x, au lieu d’être une valeur singulière , ne serait plus, contre l’hypothèse, qu’un cas particulier de la valeur générale.

Il arrive donc ici ce qui a lieu dans les formules générales, lorsqu’il y a des cas qu’elles ne peuvent pas représenter: elles donnent alors zéro divisé par zéro ; c’est , pour ainsi dire , le moyen que l’analyse emploie pour échapper aux contradictions; les racines imaginaires n’indiquent pas, à proprement parler , une contradiction , mais une impossibilité.

Cette théorie s’applique également aux équations des ordres supérieur* au premier, et fournit des conclusions semblables.

En représentant par

l’équation primitive du premier ordre d’une équation du second ordre , nous avons vu que celle-ci peut se réduire à

et que sa dérivés sera alors

aa 4 calcul

Or quelle que puisse être la forme ious laquelle une équation proposée du second ordre pourra se présenter, comme, en dernière analyse , elle doit toujours être le résultat de la même élimination qui donne l’équation

il s’ensuit qu’elle ne pourra être que celle-ci multipliée par une fonction quelconque du même ordre ou d’un ordre supérieur.

Ainsi, si l’équation proposée est

r fi*,y>y',y')=o,

on aura nécessairement

fi*>y>y'>yt)—*ixF(.x>y>y>lt')>

M étant une fonction de x , y, y' , y" .

De là , en prenant les fonctions dérivées , et mettant F'(?)Xî' pour F' {x, y, y', ? ), on aura, comme plus haut, l’équation

f (*,y,y,y") = mxf' (î)xt' + x/(*, */,/).

D’où il est aisé de conclure que l’on pourra satisfaire à la dérivée

f'tx,y,y,y")=o

de la proposée , indépendamment de la valeur de la fonction tierce y ", au moyen des deux équations du second ordre ,

F' (?) = o et f(x,y,y,,y”) = o,

dont la seconde est la proposée; et qu’on aura l’équation primitive singulière de celle-ci, ex» éliminant y»" des mêmes équations. Or la dérivée de la proposée étant de la forme

y f if) +f(x,y,y)—°>

on

DES FONCTIONS. âa5

on n’y peut satisfaire , indépendamment de la valeur de y", que par les deux équations séparées

f (/)= o et f (x, y,y')=o.

Il faudra donc éliminer y” de chacune de ces deux équations , au moyen de la proposée

et si les deux résultats donnent une même équation , Ce sera l’équation primitive singulière de la proposée.

On voit, en même temps, que puisqu’on a, en général.

les deux équations dont il s’agit rendent la valeur dey" égale

à - ; de sorte que l’on peut regarder la condition dey" —

comme celle qui détermine l’équation primitive singulière de la proposée du second ordre.

En appliquant les mêmes principes aux équations d’un ordre quelconque nimc, on en conclura que , pour trouver son équation primitive singulière , si elle en a une , il faudra tirer de sa dérivée, la valeur de la fonction y de l’ordre suivant,

et la faire = ^, en égalant séparément le numérateur et le

dénominateur à zéro-, et éliminer ensuite de ces deux équations la fonction y W au moyen de la proposée.

Si ces deux éliminations donnent un même résultat, ce sera l’équation cherchée.

Nous avons vu plus haut , que l’équation du second ordre

‘-5ÛL+,=o.

aaS c a LC ü L

a pour dérivée une équation résoluble en facteurs dont l’un qui n’est que du second ordre, donne sur-le-champ l'équation primitive singulière par l’élimination dey". Mais si la même équation était proposée sous la forme

xy"2— sÿy" +x = o,

sa dérivée

ne présenterait plus de facteur.

Or elle donne

Égalant à zéro séparément le numérateur et le dénominateur , on a ces deux équations,

y"2 — 1=0, et xy" — y — o.

La première donne y" =±z 1 ; ce qui étant substitué dans la proposée , donne

2 (xrty ) = o ; ou y'2 — x^o.1 La deuxième donne

dont la substitution dans la proposée , donne

— <■ — (- x = o , savoir, y*— sc* —o.

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée , comme nous l’avons déjà trouvé.

Considérons encore l’équation du second ordre y — xy- f- / — (y— xy" )2 —y"2 = o.

Prenons les fonctions dérivées pour avoir la valeur dey*, on trouvera

c’est-à-dire ,

* (ÿ —xy" ï x — a/] y* — o,

d’où l’on voit que y m deviendra ^ en égalant à zéro le facteur par lequel il est multiplié.

On aura ainsi cette seule condition

— + a(/ — xy" ) x -—a/ = o ,

d’où l’on tire

4xÿ +ar»

Cette valeur étant substituée dans la proposée, donnera l’équation singulière

v / | x\,4xy'+x' a

y xy -f a k tfi+a?) i6(1+x“)‘ • —

laquelle se réduit tout de suite à celle-ci

y 2(1 -j- a-3) J îSfi-j-a.-3) °‘

L’équation du troisième ordre

[j- + 2 ( / — xy") x — a/ U y = o ;

que nous venons de trouva pour la dérivée de la proposée du second ordre, donne naturellement

aa8 CALCUL

d’oùl’ontire successivement par les fonctions primitives,'

et *

y" = a , y' = ux -f- b

y=z x*+bx+c>

a, b, c étant des constantes arbitraires , relativement à l’équation

mais comme la proposée n’est que du second ordre , elle aura une constante arbitraire de moins; et en y substituant les valeurs précédentes de y, y , y", elle devient

c — £“ — aa = o ;

ce qui donne c — a?- f- b*, de manière que l’équation primitive en x et y devient

y = ^ x* + bx -f- a* -f- b% ,

comme on l’a vu plus haut.

Ainsi, dans ce cas, les deux facteurs de la dérivée de l’équation proposée, donnent directement, l’un, l’équation primitive singulière du premier ordre; l’autre, l’équation primitive en x et y , comme nous l’avons déjà vu ci-dessus dans un autre exemple.

Nous avons vu , au commencement de cette leçon , que l’équation dérivée d’une équation primitive

peut être représentée par

où ? est mis pour ? (x, y, y') , cette fonction étant la valeur de a , tirée de l’équation prime

et nous avons vu en même tems que l’équation -primitive singulière rend la fonction F r( q ) nulle.

Supposons, ce qui est toujours possible, que l’équation dérivée proposée soit réduite à la forme

donc , si dans l’équation

on substitue à la place de y' sa valeur — f (x, y) , elle deviendra nécessairement identique ; parconséquent ses deux équations dérivées relatives l’une à x et l’autre ày, auront lieu chacune en particulier.

On aura donc ainsi, puisque la quantité y n’est contenue que dans la fonction ? , ces deux équations , dans lesquelles F'(x) , F'(y) et F'{ ?) dénotent, comme à l’ordinaire, les fonctions dérivées de F(x,y, ?), prises relativement à. x, y et ?,

F’ (y - F ' (?) X ?' (/) X f (y) = o , d’où l’on tire

(x) = F ... « -rry) — F' (y)

Or l’équation primitive singulière rend

donc elle rendra infinie les deux fonctions /'(x) etf'(y').

CALCUL

Ce qui fournit un caractère fort simple pour reconnaître si une valeur qui satisfait, sans constante arbitraire, à mie équation dérivée donnée , est une valeur singulière ou simplement un cas particulier de la valeur générale.

Cette propriété peut servir aussi à trouver les valeurs singulières dont une équation dérivée est susceptible ; car si l’équation qui rend f (x) et f (y) infinies, satisfait en même tems à la proposée

elle en sera l’équation primitive singulière.

L’équation ,

y ~ v/(^+y- b) -y ~ qu’on a déjà considérée plus haut, donne

J |/Cx» + .y“— è)x[ l/(x*+y> — i) -yj

Ces deux quantités deviennent infinies par la supposition de

V/(x*-f-y — b)— y = o, ainsi que par celle de