DES

la première donne

FONCTIONS, x* — b = 0,

valeur qui ne peut satisfaire à la proposée qu’en faisant

la seconde donne

équation qui satisfait à la proposée, et qui en est, parconeéquent , l’équation primitive singulière , comme on l'a déjà vu plus haut.

Appliquons la même théorie aux équations du second ordre ; on a vu qu’elles peuvent être représentées par

en supposant que

soit l'équation primitive du premier ordre , et que ç ou ç (*> vV) •oit la valeur de a tirée de l’équation prime

On a, vu en même teins, que l’équation primitive singulière est donnée alors par l’équation

Supposons maintenant que l’équation proposée soit réduite à la forme -,

Donc, si dans l’équation

4# ï»<>n ,«rr> «a ,w;v

F' (x,y,y, q>) zso

on substitue pour y" sa valeur —f (x, y, y') , on aura une

CALCUL

équation identique dont, parconséquent, la dérivée aura lieu par rapport à chacune des variables x, y, y' en particulier.

Ainsi, comme la fonction y * n’est contenue que dans la fonction ç, on aura ces trois équations :

f' oo - f' (?) x ?' cy) x y o) = o ,

d’où l’on tire

JW*- F'(?)X ?'(/)’

h,.-)- F/cy) .

L’équation primitive singulière étant donnée par l’équation F' (?) = o,

il s’ensuit qu’elle rendra infinies les trois fonctions dérivées

/' oo./' cy./'cy). etc.

En général, on pourra prouver de la même manière, que si l’on a une équation de l’ordre n‘m‘, réduite à la forme

son équation primitive singulière rendra infinies les fonctions dérivées f\x),f\y), f (y'), etc. , jusqu’à la suivante, inclusivement , f (y"-'))-

Pour confirmer, à posteriori, ce que nous venons de démontrer , considérons une équation du premier ordre , telle que

à laquelle satisfasse une valeur singulière de y , que nous désignerons par X, fonction de x.

On aura donc , par l’hypothèse ,

et pour que la valeur X ne soit pas comprise parmi les valeurs de y , données par l’équation primitive , il faudra qu’en sup- . posant , en général ,

z étant une nouvelle variable , la valeur de z, tirée de l’équation primitive ordinaire, ne puisse jamais être nulle.

Substituons donc X -f- z au lieu de y dans l’équation proposée, on aura

X'+z'+fix, X+z) = o.

Développons la fonction f (x, X -1- s) suivant les puissances de z ; on aura généralement , en rapportant les fonctions dérivées à la seule variable X ,

/(x, * + z) =/(x, X) + zf (X) -f ~f"(X) + etc. ; donc , faisant cette substitution , on aura , à cause de X' +/(x.,X) = o,

l’équation

*'+ € 0 + {X) + etc. =o,

qui servira à déterminer z en x.

Or, si la quantité z pouvait devenir nulle, elle pourrait aussi être très-petite.

S>34 CALCUL

Supposons-la d’abord très-petite , et cherchons-en la valeur par approximation. ,

Pour cela, on négligera d’abord, vis-à-vis du terme qui contient z, les suivans qui contiennent z*, z:>, etc. , comme étant beaucoup plus petits, et l’on aura, pour la première approximation , l’équation

z'+zf (X) = o,

laquelle étant divisée par z , a pour équation primitive I.z + X = k,

en prenante pour la fonction primitive de f (X) , prise par rapport à la variable x, dont X est une fonction donnée , et k pour une constante arbitraire ; de là on tire

z — e(k~A) — eÂX é~x = ae~x en faisant a = e*.

Ayant ainsi la première valeur approchée de z , on la substituera dans les termes négligés , et on pourra trouver une seconde valeur plus approchée , et ainsi de suite.

De cette manière , la valeur de z contiendra la constante arbitraire a, et elle deviendra nulle en faisant e=o; parconséquent X ne sera pas une valeur singulière , contre l’hypothèse.

On doit conclure de là que, pour que X soit une valeur singulière non comprise dans la valeur générale, il faut que le développement de f (x ,X-t*z) contienne d’autres puissances de z que les puissances entières et positives.

Supposons donc que ce dévéloppement donne, en général, f(x, X+ z) =/(x, X ) + Pz - + Qz» + etc. , m, n, etc. étant des nombres quelconques qui vont en aug-

DES FONCTIONS. a35

mentant, et P, Q, etc. , des fonctions de x : on aura l’équation en z

z' -f- Pzm -1- Qzn -J- = o.

On aura donc aussi , pour la première approximation , z' -f- Pzm — o ,

équation qui , étant divisée par zm , a pour équation primitive

en prenant V pour la fonction primitive de P, et k pour la constante arbitraire.

Or , pour que X soit une valeur singulière de y , il faut que la valeur z — o, qui y répond, ne puisse pas être contenue dans cette équation , en donnant à k une valeur quelconque constante.

Il faut donc que l’exposant 1 — m de z, soit un nombre positif; car, s’il était négatif, z'~m deviendrait infini lorsque z = o , et répondrait à la supposition de k infini.

S’il était nul , on aurait le cas que nous venons d’examiner , où ni = 1 , et où z — O répond aussi à k infini.

Au contraire , lorsque i — m est positif , z = o donne aussi z'~ m — o ,

et l’équation devient alors

laquelle ne peut pas subsister , parceque la valeur de k ne serait plus constante.

Donc, pour que X puisse être une valeur singulière de y , il faut que le développement def(x, X -f- z) contienne une puissance zm dans laquelle î.

En considérant la fonction f(x, y~) , son développement» lorsqu’on y met y -{-a à la place de y, est, en général.

236 CALCUL

f (x, y ) -f- zf (y) -4- etc. ; donc , suivant la théorie que nous avons exposée dans la leçon huitième , pour que ce développement donne, dans le cas de y=A, une puissance de z moindre que la première, il faudra que, dans ce cas , la valeur de f\y) , c’cst-à-dire , de f (A), devienne infinie.

Or l’équation proposée donne

et, prenant les fonctions dérivées ,

y = -/'(*) -//'OO = -/'(X) +f(y) xf(x,y ) ;

donc

f'(x) =f'(y) xf(*,y) —y.

Parconséquent on aura , lorsque y =X,

fXy) = » et/'(x) = oo,

comme nou§ l’avons trouvé par la nature même des équations dérivées.

Dans l’exemple ci-dessus , où

la valeur singulière de y est VQ> — a?1) ; ainsi

et substituant i /{b — x* ) -f z à la place de y , la fonction dont il s’agit devient

y [as y (b — x*) -f- — V (f> — x“) — z’

laquelle étant développée suivant les puissances de z , donne

—77 rc + à — ctc- ’»

où l’on voit que le second ternie du développement contient la puissance [/ z , dont l’exposant ^ est moindre que l’unité.

D’ailleurs , nous avons déjà vu que les valeurs de f (j) et f (.r) deviennent iniinies lorsque

L’analyse par laquelle nous venons de prouver que le développement de f (x, y + z) doit contenir une puissance de z moindre que la première, lorsqu’on donne à y une valeur singulière , est due à Euler qui a donné ainsi le premier cataire général pour reconnaître si une valeur qui satisfait à une équation différentielle , est ou non une valeur singulière non comprise dans l’intégrale. Voyez le premier volume de son Calcul intégral, problème 7a.

Il restait à déduire de là la règle que , dans ce cas , la valeur de f\ÿ) devient nécessairement infinie ; c’est ce que Laplace a fait depuis dans le Mémoire déjà cité sur les solutions particulières des équations différentielles, imprimé dans le Recueil de l’Académie des Sciences , pour l’année 177a.

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