LEÇON SEIZIÈME

Equations dérivées qui ont des équations primitives singulières données. Analyse d’une classe d’ équations de tous les ordres , qui ont toujours nécessairement des équations primitives singulières.

Si les équations primitives singulières ont moins d’étendue que les équations primitives proprement dites, parcequ’elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de 'vue , comme plus générales que celles-ci , parcequ’une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d’équations dérivées; et c’est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux , et qu’il peut être utile dans plusieurs occasions , nous allons en donner ici une solution, pour servir de complément à notre théorie des équations primitives singulières.

Représentons par

une équation primitive entre x , y et deux constantes a et b , dont l’une soit une fonction quelconque de l’autre , ou qui dépendent , en général , l’une de l’autre par l’équation

On aura l’équation dérivée qui en résulte, en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations

DES FONCTIONS. 23q

Donc, si on tire des deux premières les valeurs de a et b en fonctions de x, y, y' , et qu’on désigne ces valeurs par

*(x>y>y") et

on aura l’équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de a et b dans l'équation de condition

Ainsi , en mettant simplement <© et 4 pour les fonctions dont il s’agit, l’équation dérivée sera

Donc , réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura pour équation primitive

les deux constantes a et b étant liées par l’équation <I> (a, b) — o.

Et l'on aura en même tems les deux équations

Donc toute valeur de y en x qui satisfera à la même

équation

et qui ne rendra pas les fonctions © et 4 constantes , ne pourra

pas être comprise dans l’équation primitive générale , et sera parconséquent une valeur singulière.

Soit

cette valeur singulière , Sx étant une fonction donnée dex, en substituant Sx et -'x au lieu de y et y' dans les fonctions et © et 4 , elles deviendront de simples fonctions de x ; et éliminant x entr'elles, on aura une équation entre ç et 4 >

a^O CALCUL

qu’on prendra pour l’équation

ainsi l’équation satisfera à l’équation

y = Zx

mais ne rendant pas les fonctions <p et 4- constantes , elle ne sera pas comprise dans l’équation primitive générale , et ne sera, parconséquent, qu’une équation primitive singulière.

La solution se réduit donc à ceci : soit

la valeur singulière donnée de y , en fonction de x. Ayant pris une équation quelconque

en x,y, et deux constantes a et 6; de cette équation et de son équation dérivée

on tirera les valeurs de a et b en fonctions de x,y,y'4, on substituera dans ces valeurs 2x et S'x à la place de y et y' , on aura deux équations qui , par l’élimination de x, en donneront une en a et t, que je représente par

Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de a et J leurs premières valeurs en fonctions de x,y, y, on aura l’équation dérivée dont

y = Sx

sera l’équation primitive singulière , et dont

sera

sera l’équation primitive ordinaire , les constantes a et b étant l’une fonction de l’autre déterminée par l’équation

Prenons, par exemple, l’équation

y' — ax% — i — o , son équation détivée sera

yy' — ax = O ;

et l’on tire de ces deux équations ,

Supposons maintenant que l’on ait l’équation primitive singulière

y — Ax — B — o ;

elle donne

y = Ax -f- B ,

donc

y* = A'x* -f- aABx -1- B1, et

y y' = A*x AB ;

de sorte que, par ces substitutions, les valeurs de a et b deviendront

JT>

a = A* -f- — — , b — ABx + B* ;

d’où l’on tire, en éliminant x , cette équation en a et b

savoir ,

(a — A*) (b — B) — A‘B* = o ; ai — JEPa — A*b = o.

CALCUL

Donc , substituant ici les premières valeurs de a et J ea x, y, y', on aura l’équation du premier ordre

dont celle-ci

y — Ax — B= o ,

sera l’équation primitive singulière.

Son équation primitive ordinaire sera y ‘ — as? — b— o ;

en supposant entre a et b l’équation ci-dessus ;

ab — B*a — A%b — o ;

de sorte que , comme cette équation donne

l’équation primitive sera

a étant la constante arbitraire.

En effet, si on cherche l’équation primitive singulière . d’après celle-ci, on aura, eu prenant les fonctions dérivées par rapport à a ,

d’où l’on tire

ne:

Substituant cette valeur dans la même équation, on aura y — A2x* z+: zABx — B* — o ;

DES FONCTIONS. tt/fi

ce qui donne

y—±: Ax ±; B ,

où les signes ambigus sont à volonté.

En général , il est facile de voir qu’on aura le même résultat

en substituant d’abord dans l’équation supposée F(*>y, a,b) = o,

la valeur donnée

et éliminant ensuite x par le moyen de son équation prime relative à x.

Or, si l’équation

donne

b — %Ls ,

et qu’on substitue cette valeur à la place de b , il s’ensuivra que l’équation

aura lieu en même tems que son équation prime relative à x. Mais a étant alors une fonction de x, l'équation prime relative à x et a , doit avoir lieu ; donc la partie relative à a

aura lieu aussi en particulier ; ce qui est le caractère de l’équation primitive singulière.

Ainsi , ayant pris une équation primitive quelconque en x , y, a et b , il n’y aura qu’à éliminer y au moyen de l’équation primitive singulière donnée , ensuite éliminer x par celle-ci et par son équation prime relative à x ; on aura sur

le-champ une équation en a et b , qui sera l’équation de condition

par laquelle il faudra déterminer l’une de* deux constantes a ou A par l’autre. Ensuite on pourra, d’après la meme équation primitive, chercher, si l’on veut, l’equation dérivée par l’élimination de la constante arbitraire.

Dans l’exemple précédent, en substituant Ax -\-B pour y, dans l’equation

y* — ax* — b = o ,

on a

( A1 — à) x* -j- aABx -f- B1 — b = o , dont l’équation prime est

( A1 — a) x ■+• AB = o ;

celle-ci donne

AB

et cette valeur , substituée dans la première , donne , sur-lechamp, l’équation de condition

comme plus haut.

En prenant d’autres équations en x, y, a et b , et opérant de la même manière , on trouvera autant d’équations du premier ordre qu’on voudra, dont la meme équation

y — Ax — B = o

sera l’équation primitive singulière.

On voit aussi que la même équation en x, y, a et A pourra donner telle équation primitive singulière qu’on voudra, suivant la relation qu’on établira entre les constantes a et b.

Enfin on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver la relation entre deux constantes a, b d’une équation donnée en x,y, a ei b , pour que cette équation soit l’équation primitive ordinaire et complète , répondant à une équation primitive singulière donnée.

On peut appliquer la même méthode à la recherche des équations du second ordre ou des ordres supérieurs dont l’équation primitive singulière sera donnée.'

Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée par

On prendra une équation quelconque en x,y, et trois constantes arbitraires a, b, c.

On tirera de cette équation et de ces équations prime et seconde, les valeurs de a, b, c en fonctions de x, y, y' et y".

On substituera dans ces fonctions les valeurs de y' et y” en x et y tirées de l’équation primitive donnée, c’est-à-dire, — f(.x>y ) ® la place àey , et

—/'(*) +/'O0 xf(x,yy

à la place de y" ; on aura at b, c exprimées en fonctions de x et y, ce qui donnera trois équations, d’où éliminant x et y, il résultera une équation en a, b, c, que je représenterai par

Cette équation , en y substituant les premières valeurs de a, b, c en fonctions de x, y, y’ , y" , sera l’équation du second ordre, dont la proposée

sera l’équation primitive singulière , et l’équation ea

CALCUL

x ,y , a, b , c en sera l’équation primitive en x et y, en supposant entre les trois constantes a, b, c la relation donnée par l’équatioû

Si l’équation singulière donnée était du second ordre , on prendrait une équation en x et y , et quatre constantes o, b, c, etc., et ainsi de suite.

Supposons que l’équation primitive singulière soit

y — Ay >

et prenons l’équation

d'où l’on tire les deux dérivées, prime et seconde, y — ax — b = 0 , et y" — a = o ; ces trois équations donnent

a — y, b =y — xy", c=y — xy' + —y.

Mais la proposée donne

y' = Jy> y" = '*y — Jay>

donc, substituant ces valeurs, on aura a~A'y, b—Ay{\ — Ax), c—y(\ — ^x + ^-x*^.

Eliminant x et y on trouve l’équation

o’ + A1 ( b* — aac ) = o ,

dans laquelle , en substituant les premières valeurs de a, b, c, il yient l’équation du second ordre

y>*-aAyy + Ay‘=o,

dont la proposée^' = Ay sera l’équation primitive singulière, et l’équation supposée

V — bx — c = o

sera l’équation primitive en x et y , en supposant l’équatio* a* -f- A*(b* — aac) = o ;

de sorte que , comme cette équation donne

on aura

aa

y X1 — bx — = O ,

*'2 aa

a et b étant les deux constantes arbitraires.

Les équations de la forme

<i> ( a , b, c , etc.) = o,

que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantité* a,b,c, etc. sont les valeurs en x,y,y', etc. des constantes c, b, c, etc. tirées d’une équation primitive

et de se3 dérivées

y) — o, F"(x, y) = o , etc. ,

constituent une classe remarquable d’équation» dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parceque la dérivée d’une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l’équation.

Pour le démontrer, soit d’abord