CALCUL
une équation quelconque en x,y, et deux constantes a et b.
En regardant ces constantes comme arbitraires, l’équation dont il s'agit sera la primitive d'une équation du second ordre en x, y, y' et y", qui résultera de l’élimination de a et b au moyen des deux équations dérivées
et cette équation pourra toujours , comme nous l’avons vu , se mettre sous la forme
Maintenant , si on commence par tirer les valeurs de a et b des deux équations
FÇv,y, a, b)~o, et F\x, yO = o, et que ces valeurs soient représentées par les fonctions
*(x*.y>/) et 4(x>.y,/)»
il est clair que les deux équations
a=<K*».y»/) et i = 4(x,y',y)1
où a et b sont des constantes arbitraires, seront les deiix équations primitives du premier ordre de l’équation précédente
parconséquent leurs dérivées
(r> y, y) — ° et 4' {x, y, y') =* o
devront coïncider avec cette même équation , en donnant la même valeur de y" en x, y et y'.
Or ••• '• ' ’ - • ’ , ■ . •
(*,y,yy = (x>y) 4- y" V (/)
et .'.jj
DES FONCTIONS. Mî)
suivant la notation abrégée que nous avons adoptée ; donc on aura
expressions de y" qui seront nécessairement identiques.
On aura donc
4' (*,y> =4' (/) x f {*,y,yy>
parconséquent , si on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées q.' (x, y, y') , 4 )>
c’est-à-dire , de a' et b' , en regardant maintenant uetb comme fonctions de x, y , y', on aura
a' — y (/) x [/ +f(x,y,yy] b' =4' (y) x [y + f(*, y, ÿ)l-
Cela posé , soit *t> («, b) = o une équation du premier ordre, sa dérivée sera
aVn+W(i) = o;
et par la substitution des valeurs de a', b', qu’on vient de trouver, elle deviendra
[<?.' OO x *'(«)+ 4'(y) x <t'(é)] x [/ +/ (.x.y.y’Y} = °-
Cette équation a, comme l’on voit, deux facteurs, l’tfl* qui n’est que du premier ordre , comme l’équation proposée; l’autre qui contient y', et qui donne proprement l’équation dérivée du second ordre.
Celui-ci donne l’équation
de laquelle résultent
a5o CALCUL
par les formules trouvées plus haut. De sorte que les fonctions a et A seront constantes.
Prenant donc a et b pour des constantes arbitraires , on aura ces deux équations primitives du premier ordre
d’où , éliminant la fonction dérivée y', on aura une équation en x,y, a et b , qui sera l’équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l’équation
d’où l’on avait déduit les fonctions <p (x, y, y’') et 4.(x> V, /)• Mais il faudra que les constantes a et b de cette équation , satisfassent à la condition
donnée par l’équation proposée ; ce qui les réduira à une seule , qui sera parconséquent la constante arbitraire de l’équation primitive de la proposée.
Le facteur du premier ordre
donnera, de son côté , l’équation en x,y et y,
en supposant qu’on y mette pour a et b leurs valeurs <j> (x, y, y' ) et 4(X>J'> y') > et cette équation, d’après la théorie exposée dans la leçon précédente, donnera sur-le-champ l’équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant y par le moyen de ces deux équations.
Or il est facile de voir que, si on représente par
la fonction donnée 4>(a, b), dans laquelle
des fonctions.
et
ft=4 \x,y,y"),
le facteur dont il s’agit se réduira simplement a '1 ( y ) , puisque les expressions q/(yO et q/Cy) ne sont clue ^es f°nct*on* dérivées de a et b , prises par rapport à y seule.
Ainsi on aura la primitive singulière de l’équation
dans le cas où elle est réductible à la forme <l>(a, b) = o,
en éliminant y' de cette équation au moyen de sa dérivée prise relativement à y' seule.
En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs , on prouvera que , si Ion a une équation du second ordre , représentée par
dont le premier membre puisse être une fonction quelconque <l>(a,é,c) de trois fonctions a, b, c, déterminées par une équation quelconque
entre x, y , a, b , c, et par ses deux équations dérivées
F'(.x,yy= °> F" (*>ÿ) = °>
prises en regardant a, b, c comme constantes, l’équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l’élimination de y", au moyen de son équation dérivée - >
relative &y". •* ‘
CALCUL
Et l’on aura l’cquation primitive en x et y , par l’équation même
en prenant les constantes a, b, c de manière qu’elles satisfassent à l’équation donnée
de sorte qu’il en restera deux d’arbitraires.
Et de même pour les équations des ordres supérieurs. Prenons l’équation
x2 — a ay — a* — b — o ;
sa dérivée sera
x — ay'z=o\
de ces deux équations on tire
x , . ary x *
Si maintenant on prend pour l’équation (a, b) = o , celleci, b=z à une constante, on aura l’équation du premier ordre
où b est une constante quelconque.
Ainsi on aura tout de suite sa primitive singulière , en éliminant y' au moyen de l’équation dérivée prise relativement à y , laquelle sera
2 ry sx*
d’où l’on tire
en substituant cette valeur de y' , on a x* -f-y* — b = o,
comme on l’a déjà trouvé par d’autres voies.
Prenons encore l’équation
on aura les deux dérivées
y — ax — b — o, y" — a = o;
d’où l’on tire
Soit, par exemple , , r :
on aura l’équation du second ordre
y — zÿ+^ÿ—iy— *y"Y—y"* ~ ° »
dont la primitive singulière résultera de l’élimination de y”, au moyen de sa dérivée relative à y" \ savoir,
Y + a :x(/ — xy") — ay" = o ;
ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé.
Lorsqu’on connaît l’équation primitive
avec l’équation
qui donne la relation entre les quantités a, b, c, etc., on peut trouver directement l’équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions de x, y, y' , etc. ; car ayant réduit les quantités a, b, etc. à une de moins par le moyen de l’équation de condition
ia54 C A L C ü L
il n'y aura qu'à appliquer à l’équation primitive
la méthode générale exposée dans la leçon quinzième.'
Mais la difficulté consiste à reconnaître à posteriori, side* fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d'une meme équation primitive, de manière qu’elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.
Pour la résoudre, j’observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions, est que leurs dérivées ont entr’ elles des rapports exprimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s’agit. ^ En effet , relativement aux fonctions du premier ordre, nous avons déjà vu plus haut que les fonctions q ( x,y,y ) et (x, y, y'} , qui représentent les valeurs des constantes a et b tirées de l'équation générale
et de sa dérivée
sont telles que leurs dérivées a! (x, y, y ') et •>}/ (x, y, y ') , que nous avons désignées par a' et b', ont la forme suivante
V (*,>/) = 9' (/) x [/ +f(x,y,yV 4' ix,y,y) = 4' cy) x [/ -i- fi*,y,/y}i
de sorte que l’on a simplement
y Cr».y>/) <;/ (/) yc x>y>y) v cy)'
où l’on voit que les fonctions dont il s’agit ont la propriété que la fonction seconde y" disparaît du rapport de leurs dérivées , et que ce rapport est le même que si on prenait ces dérivées relativement à la variable y seule.
Digilized by Googli
Soit , par exemple , l’équation à la ligne droite
y-\-ax+b=o,
sa dérivée sera
/ -fa=:o;
ainsi on aura
a— — y' et b—xy — y.
On aura donc , en dénotant simplement par q et 4 ces expressions de a et i,
prenant les fonctions dérivées , il viendra <?'=-/, 4' = xy" ;
Si on ne prenait q' et 4" que relativement à y', on aurait = “ 1 > 4' = et ^ = — 4 ,
comme précédemment.
Soit encore l’équation
qui est à un cercle dont le rayon = b , et dont le centre est dans l’axe des abscisses à la distance a de leur origine. La dérivée sera
yy' 4- x— o=o;
d’où l’on tire
de là on aura, par les substitutions,
a56 CALCUL
Si maintenant on prend les dérivées de 9 et 4 , on aura
*'= 1 +/■ +yy"> 4' =y v c*+y*) + -,
et de là
Si on ne prenait les dérivées tp' et 4^ que relativement à y', on aurait
donc
+' = * fôprÿ
comme ci-dessus.
On pourrait prouver , par une analyse semblable , que les fonctions de x , y , y' et y", qui expriment les valeurs des quantités a, b, c tirées d’une équation
et de ses deux dérivées
dans lesquelles ces quantités sont traitées comme constantes, ont des dérivées dont les rapports sont indépendans de la fonction tierce y", et qui sont les mêmes que si on ne prenait ces dérivées que relativement à la fonction seconde y", parcequ’en désignant ces fonctions par
<?(.*, y, y', yl, 4 (*>y>ÿ>y") et ?(*> y>y>y")>
les trois équations
où a, b, c seraient des constantes arbitraires , seront les trois
primitives
primitives d’une même équation du troisième ordre, telle quo
à laquelle les dérivées de ces équations devront , parconsé— quent , satisfaire ; et de même pour les fonctions du même genre des ordres supérieurs. Mais on peut s’en convaincre encore d’une manière plus directe , que voici :
En dénotant simplement par 9 et 4 les fonctions q (x,y,y')t 4 (x, y , y') , qui expriment les valeurs des constantes a et b; tirées de l’équation
et de sa dérivée
il est clair que l’équation
sera identique •, que , parconséquent , sa dérivée F\x,y-) + 9^'(î>+ 4'^(4) = o aura lieu d’elle-même ; mais on a déjà F'(.x,y)= o,
donc on aura séparément l’équation
9‘F'(9) + 4'ni)=°,
laquelle donne
Or , comme 4- et 9 ne contiennent que x, y et y , il est visible que la valeur de -^7 ne sera qu’une fonction du premier ordre.
258 CALCUL
Ainsi, dans le dernier exemple , où
F (x, y, a, b) =y * + x1 — 2 ax -f -a1 — b1,
si on change a en ç, et b en 4, on aura
donc
parconséquent
comme nous l’avons trouvé par une autre voie.
De même, si <p, 4» £ sont Ie9 fonctions de x,y, y' et y qui expriment les valeurs des constantes a, b, c, tirées de l’équation
F(x,y, a, è,c) = o, et de ses deux dérivées
F' ix,y) —O, F" (x, y)— O,
en substituant ces fonctions à la place de a, b,c , on aura des équations identiques , dont , parconséquent , les dérivées auront lieu aussi.
On aura donc, en premier lieu,
et , parconséquent aussi
mais on a déjà
donc on aura l’équation
Çnsuite , comme l’équation
F'Çx, y) = °
contient , outre les quantités x, y, y', les trois fonctions 3>, 4, ?, si on la dénote par f (x, y, y' , 9, 4, l) , on aura aussi l’équation identique
et, parconséquent , la dérivée
f (x, y, y) + Jf (9) + 4'/(4) + 17 CO = ° ;
mais on a déjà
puisqu’il est visible que f' (x, y, y') est la même chose que F" (x,y) ; donc on aura aussi l’équation
Si on combine cette équation avec la précédente , il est clair que , puisque les quantités t', 47 » ^ n’y sont qu’à 'a première dimension , et en multiplient tous les termes , il est
clair, dis-je, qu’on en tirera les valeurs de —, et de Sy en
fonctions des quantités x,y,y', <p , 4 et de sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre , et ainsi de suite.
Si les fonctions <p et 4 exprimaient les valeurs des constantes a et b tirées de l’équation du premier ordre
et de sa dérivée
ces fonctions seraient alors du second ordre '.et on trouverait,
par le même raisonnement , que le rapport —7 de leurs déri-
vées, serait exprimé également par — F'(fÿ S01te 1ue
CALCUL
ce rapport serait une fonction du second ordre, et, parconséquent , du même ordre que les fonctions $ et .4 .
En général, il résulte de l’analyse précédente que si <p , 4-, ?, etc. sont des fonctions d’un ordre quelconque , qui expriment les valeurs des constantes a, b, c , etc. , tirées d’une équation en x, y, y',y", etc., a, b, c, etc. , et de ses dérivées successives , les dérivées de ces fonctions auront toujours entr’elles des rapports du meme ordre que les fonctions ellesmemes.
Je dis maintenant que si des fonctions quelconques de x, y>y',y", etc. sont telles que leurs dérivées aient entr’elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-memes , c’est-à-dire , dans lesquels il n’entre que des fonctions dérivées de y du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d’autant de constantes tirées d’une équation primitive et de ses dérivées successives; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.
Car, si on désigne par ip , 4> ?, etc. les fonctions dont il s’agit, et que M , N, etc. soient les valeurs des rapports des dérivées 4\ k' > etc- a la dérivée <ç', ces valeurs étant , par l’hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données <p , 4> £> etc., on aura donc les équation»
4 '~W, 4' = iYf»', etc.
Supposons
on aura donc aussi
donc
Z— ci, 4=6, £ = c, etc., a, b, c, etc. étant des constantes.
Ces différentes équations seront donc autant d’équations pri-
DES FONCTIONS. a6l
mitiyes de la même équation
puisqu’elles ont lieu en même tems quelle ; parconséquent , en éliminant de ces memes équations ,
<p — a, 4 = b , f = c, etc. ,
lesplus hautes fonctions dérivées de la variable^ , on aura une équation primitive d’un ordre inférieur , qui contiendra les constantes a, b, c, etc., et qui sera l’équation primitive génératrice de la forme
d’où résultent les fonctions q>, £, etc., en les prenant
pour les valeurs des constantes a, b, c, etc. , tirées de cette équation et de ses dérivées successi\es
F’ (*, y, y , y" • : • ) = f" C *,y,y,Z ••■) = <>, etc.
Ainsi, si l’on avait entre ces fonctions une équation quelconque
et que l’on reconnût que leurs dérivées <p', 4-\ k'> etc. ont entr’elles des rapports du meme ordre que ces fonctions, on aurait tout de suite les équations primitives
<P — a , 4 = è, £ = c, etc.; et de là l’équation primitive principale
F(x,y,y,y".. .a, b , c, etc.) = o,
dans laquelle les constantes a, b, c, etc. seraient arbitraires , hors une qui devrait être déterminée par l’équation donnée , laquelle se réduit alors à
On aurait ensuite l’équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.
CALCUL
Par exemple, si on proposait l’équation du premier ordre
* l> 4 -yÿ,yV 0 +/*)] = ° »
sans qu’on sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exprimer les constantes tirées d’une équation primitive et de sa dérivée , on examinerait d’abord leurs déri-
vées, qui sont i -\-ÿ*+yy" et/ l/(i-f-ya)+ ÿrÿ
, y'J.y'a.Lyy'y" V ~
comme celle-ci se réduit à -- , — --’/y , on voit d’abord
que son rapport à la première sera exprimé simplement par
}/ . /j-y'»j , sans que la fonction seconde y" puisse y entrer.
On est donc assuré par-là que les deux fonctions x -j - yy' et y V ( 1 4 y,a) peuvent provenir d’une équation primitive qu’on, trouvera en faisant les deux équations
x+yy' — a> y v (i+ÿ*) = b ,
et éliminant y, ce qui donne celle-ci, y 4- (a — x~)%— b1 ,
laquelle coïncide avec celle d'où nous avions déduit les expressions de a et b dans le dernier exemple.
Maintenant l’équation proposée deviendra simplement
par laquelle on déterminera & en a ; de sorte que l’équation précédente ne contiendra plus que la constante arbitraire a, et sera alors la primitive complète de la proposée.
On pourra tirer de là la primitive singulière, en éliminante au moyen de la dérivée prise par rapport à a seul, suivant la méthode de la leçon quinzième, ou bien il n’y aura qu’à éliminer y de la proposée, au moyen de sa dérivée prise par rapport à y seule, comme nous l’avons vu plus haut relativement aux équations de ce genre.
