LEÇON DIX-SEPTIÈME
Sur diffêrens Problèmes relatifs à la T hêorie des Equations primitives singulières.
RESQUE dès la naissance du calcul différentiel, il s’est présenté aux géomètres , des problèmes qui dépendent da cette théorie , et qu’ils ont résolus par des artifices particuliers.
Leibnitz , dans un Mémoire intitulé : Nova calculi different iali s applicatio, et inséré dans les Actes de Leipsick de 1694 ( Voyez le n° LXI des Œuvres de Jacques Bernoulli ) , donne la manière de trouver la courbe formée par l’intersection continuelle d’une infinité de courbes renfermées dans une même équation , en faisant varier dans cette équation le paramètre qui les différencie , ce qui produit une nouvelle équation par laquelle on a une valeur du paramètre en fonction des coordonnées , et cette valeur étant substituée dans l’équation proposée , donne tout de suite une équation finie pour la courbe cherchée.
Il applique ensuite cette méthode à une questibn qu’on regardait alors comme très-diflicile , et qui consiste à trouver la courbe dont les normales ou perpendiculaires ont une relation donnée avec les parties de l’axe, interceptées entre l’origine des abscisses et les normales.
Leibnitz considère cette courbe comme formée par l'intersection continuelle d’une infinité de cercles qui ont leurs centres sur l’axe ; alors les rayons de cercles deviennent les normales à la courbe , et la relation donnée par le problème , entre les normales et les parties correspondantes de l’axe , a
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lieu entre les rayons et les abscisses qui répondent aux centres
des cercles.
Nommant x , y les coordonnées du cercle , a l’abscisse qui répond au centre , et b le rayon , on aura
s avoir,
ya -f-x* — a ax -f- o4 — = o ,
pour l’équation du cercle.
Maintenant l’équation proposée entre b et a, donnera b en fonction de a; il ne restera ainsi que le paramètre a , qu’on déterminera, comme on vient de le dire, et l’équation en x et y deviendra alors celle de la courbe formée par l’intersection de tous les cercles, et aura , parconséquent, la propriété demandée.
Supposant, avec Leibnitz, que l’équation entre a et b soit celle de la parabole
b* = ak ,
k étant une constante ; l’équation en x , y et a , sera
y* -(- x* — aar -f- — ak = o.
Faisant varier a seul suivant la notation du calcul différentiel, on a
( — ax-f-aa — h ) da=o;
d’où l’on tire t
k 4- ax
substituant cette valeur dans l’équation précédente , on a ,
pour la courbe cherchée , qu’on voit être aussi une parabole.
On peut s’assurer à posteriori , que cette courbe résout le problème.
En effet , on sait que y étant l’ordonnée qu’on regarde comme fonction de l’abscisse x , la fonction prime y1 exprime le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente , lequel est le même que celui de la sous-normale à l’ordonnée; de sorte que yy' est l’expression de la sous-normale; parconséquent .y V ( 1 “Ky * ) sera celle de la normale, et x -\-yy' celle de la partie de l’axe comprise entre l’origine et la normale. ( Voyez la seconde partie de la Théorie des Fonctions analytiques').
Or, l’équation qu’on vient de trouver , donne
et , prenant la dérivée ,
ayy' = k;
donc la normale sera
et la partie de l’axe sera
laquelle étant multipliée par k , devient comme l’on voit , égale au carré de la normale.
Le problème est donc résolu de cette manière; cependant on doit être surpris que Leibnitz n’ait pas remarqué que sa solution n’admet point de constante arbitraire dans l’équation de la courbe , tandis qu’il est évident que le problème conduit naturellement à une équation différentielle , dont l’intégrale ne peut être complète que par l’introduction d’une constante arbitraire.
En effet , nommant a la partie de l’axe qui répond à la normale , et b la normale , on a , comme on vient de le yoir , les expressions
a—x+yy',b^zy\/{ i+/1); donc, si on veut que b — Fa, on aura l’équation dérivée
dont il faudra chercher l’équation primitive.
Suivant la notation du calcul différentiel, on aurait à intégrer à l’équation différentielle
Dans l’exemple proposé , on a
b =ak,
parconséquent ,
Fa=l/(ai), et l’équation dérivée devient
y 1/ ( 1 +/: 1 ) = V ( x +yy' ) k.
Si on tire de cette équation la valeur de yy', on a
yy
ou bien
,= ï+'/(T+ti-^)'
k — 2y/ + 3 Ÿ (“jf + kx—y% ^ =0.
Divisant toute l’équation par a ]/ (7+ kx—yl ) , on aura
k — avyf
■v/(^+kx— y‘)
équation dont la primitive est visiblement
|/(^T+ kx~ j’) +x=zh,
h étant une constante arbitaire.
Cette équation devient, en faisant disparaître le radical,
+kx— y*— (h — x.y,
équation au cercle ,
Si on fait
a étant la constante arbitraire, on a celle-ci,
— 2 oi-f — ak~ O.
Cette équation est , comme l’on voit , la même que 1 équation au cercle dont Leibnitz a tiré sa solution par la variation de a ; ainsi on peut dire que l’équation au cercle , dans laquelle a , abscisse qui répond au centre, est la constante arbitraire , et dont le rayon est ]/ak , est 1 équation primitive qui résout le problème dans toute sa généralité : il est évident , en effet , que tout cercle dont le centre sera sur l’axe , et dont le rayon aura , avec la distance du centre à l’origine des abscisses , la relation qu’on suppose entre la normale et la partie de l’axe correspondante , satisfera à la question.
L’équation à la parabole , trouvée par Leibnitz , ne peut donc être qu’une équation primitive singulière ; en effet, en prenant dans la même équation au cercle , les fonctions dérivées relativement à la constante arbitraire a , comme on l’a enseigné au commencement de la leçon quinzième , on a l’équation
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laquelle donne
valeur qui , étant substituée dans l’équation au cercle , donne
comme Leibnitz l’a trouvé ; d’où l’on doit conclure que la solution de Leibnitz n’est donnée que par l’équation primitive singulière.
On a vu que Leibnitz avait déduit sa solution de la considération de la courbe formée par l’intersection continuelle de tous les cercles que l’on aurait en faisant varier continuellement la constante a ; c’est , en effet , une propriété générale des équations primitives singulières , d’appartenir aux courbes formées par l’intersection continuelle des courbes représentées parl’équation primitive complète, en faisantvarier continuellement la constante arbitraire qui différencie toutes ces courbes.
Comme cette propriété est, pour ainsi dire, la caractéristique de cette espèce d’équations primitives, il est intéressant d’en avoir une démonstration.
Pour cela , on remarquera que la courbe formée par l'intersection continuelle d’une série de courbes infiniment peu différentes l’une de l’autre , n’est autre chose que la courbe qui embrasserait ou toucherait toutes ces courbes , et qui aurait, parconséquent , dans chacun de ses points, une tangente commune avec une de ces memes courbes.
Or , soit
l’équation générale des courbes dont il s’agit , a étant le paramètre qui est constant dans chacune d’elles, mais qui
varie de l’une à l’autre ; comme la courbe qui doit les embrasser, a un point commun avec chacune de ces courbes , elle aura aussi les mêmes coordonnées x , y , et la meme équation entre ces coordonnées ; mais avec cette différence que le paramètre a sera variable dans l’équation
tant qu’elle appartiendra à la courbe qui embrasse toutes les autres.
De plus , il faudra que la position de la tangente soit la même dans la courbe où a est constant, et dans celle où a est variable.
Or , on sait que cette position ne dépend que de la fonction prime y', puisque est l’expression de la sous-tangente; donc il faudra que la valeur de y' , tirée de la dérivée de l’équation
soit la même, soit qu’on y regarde a comme constante, soit qu’on la regarde comme une variable fonction de x ; ce qui ne peut avoir lieu , à moins que la partie de la fonction dérivée relative à a , ne soit nulle.
Cette partie est , suivant la notation adoptée , F' (a) ; donc on aura l’équation
laquelle servira à déterminera en xet^. Or, cette équation est , comme l’on voit , la même que celle qui donne l’équation primitive singulière , lorsque
est l’équation primitive ordinaire , dans laquelle a est la constante arbitraire, comme nous l’avons vu dans la leçon citée.
CALCUL
Donc l’identité de l’équation primitive singulière et de l’équation de la courbe , qui embrasse toutes celles qui sont comprises dans l’équation primitive ordinaire, est démontrée, et résulte des principes memes de la chose.
Cette considération géométrique est très-importante pour la théorie des équations primitives singulières -, elle sert à lier entre elles les courbes représentées par l’équation primitive ordinaire, et par l’équation primitive singulière , comme le principe analytique qui sert de base à cette théorie, sert à lier entre elles ces mêmes équations par la variation de la constante arbitraire.
Ainsi le problème analytique que nous avons résolu au commencement de la leçon précédente , se réduit à trouver des courbes qui , ayant un paramètre variable , puissent former, parleur intersection mutuelle, une courbe ordonnée.
On peut donc présenter ce problème ainsi :
Ayant deux courbes dont les équations soient données, et dont l’une contienne deux constantes arbitraires, trouver la relation nécessaire entre ces deux constantes , pour qu’en faisant varier celle qui demeure arbitraire , on ait une infinité de courbes du même genre, qui, par leur intersection continuelle , forment toujours l’autre courbe donnée.
Pour le résoudre , il n’y aura qu’à chercher , par les méthodes exposées dans la leçon précédente, la relation entre les constantes a et b de l’équation donnée
pour qu’à cette équation , regardée comme une équation primitive ordinaire , réponde l’équation primitive singulière
qui sera celle de la courbe qui doit être formée par l'inter-
section continuelle des courbes données par l'autre équation.
Le problème résolu par Leibnitz, l’a été aussi par Jean Bernoulli, dans ses leçons de Calcul intégral ( tom. III des œuvres de Jean Bernoulli , leçon XIV), mais par un autre voie qui l’a conduit au même résultat. En considérant deux normales infiniment proches , il observe que l’accroissement infiniment petit de la normale , est à l'accroissement de la partie de l’axe qui répond à la normale, comme la partie de l’axe comprise entre l’ordonnée et la normale, est à la normale même ; ce qui est facile à voir par la similitude des triangles.
Il a ainsi, suivant l’esprit du calcul différentiel, en nommant, comme plus haut, a la partie de l’axe qui répond à la normale , et b la normale même , l’équation
db a — x
dâ~' b ’
d’un autre côté , la considération du triangle rectangle dont be st l’hypothénuse, etjeta — x les deux côtés, donne
y + O— xy—b\
De ces deux équations il tire
Jb'\ da* )
Or les conditions du problème donnent b en fonction de a ; ainsi on aura x et y en fonction de«, et chassant a, on aura l’équation de la courbe cherchée en x et y.
En supposant, comme dans l’exemple de Leibnitz ,
b— V(ka),
