CALCUL

donc , faisant ces substitutions dans les valeurs de x et y , • on aura

(ak-^y,

d’où éliminant a , il vient

y1 = kx + —

pour l’équation de la courbe cherchée, qu’on voit être la même parabole que Leibnitz avait trouvée par une méthode tout-àfait différente.

Telle est la solution de Jean Bernoulli , qui coïncide , comme on le voit , avec celle de Leibnitz , et sur laquelle , parconséquent , on peut faire les mêmes observations.

D’abord on peut être étonné que Bernoulli n’ait pas remarqué que ce problème appartient essentiellement à la méthode inverse des tangentes , et que , parconséquent , la solution générale dépend d’une intégration qui doit nécessairement introduire une constante arbitraire dans l’équation entre .rety; et cela peut surprendre d’autant plus , qu’il avait donné auparavant, dans les mêmes leçons, les expressions différentielles de la normale et de la sous-normale, et que le problème ne consiste qu’à établir, entre ces quantités, une relation donnée.

Ensuite il est clair, par ce que nous avons vu plus haut, que la solution de Bernoulli dépend d’une équation intégrale ou primitive singulière ; et pour le démontrer par sa propre analyse, il suffit de considérer qu’on aura directement l'équation en a: etjy , en substituant la valeur de b en a donnée par le problème dans les deux équations

db

da

et éliminant ensuite c.

Ainsi ,

Ainsi, en supposant

ces deux équations deviennent

-I /- ——JT y*+ (.a—xy=tia; a a y (/ta) J

la première donne

- — a — x\ donc a = x 4- — :

ce qui étant substitué dans la seconde, on a

L* L» La

y*+—=kx+—-, d’0Ù f‘=kx + —i

Comme on l'a trouvé.

Or, je remarque que l’équation différentielle ^=—7 — , ou bdb=±(a — x) da

dà b

n’est autre chose que la différentielle de l’autre équation

yM -(a— *)•=*,

en faisant varier seulement a et b.

Ainsi , comme b est supposé fonction de o , la solution Sf réduit à faire varier a seul dans l’équation

y a:* — uax -f- a“ — b* — o ,

et à éliminer ensuite a au moyen de cette nouvelle équation, ce qui revient , comme l'on voit , au procédé de Leibnitz ,

2 y 4 C A L C tJ L

puisque l’équation est la même que son équation au cercle : on voit aussi que ce procédé coïncide avec celui qui donne l'équation primitive singulière de l’équation dérivée ou différentielle , dont la même équation

y' +.x*— aar-f-a* — b' — o

serait l’équation primitive, c étant la constante, arbitraire.

On aura donc cette équation dérivée , en éliminant a de l’équation primitive par le moyen de sa dérivée

yy' +x—a=a-,

ou bien en déterminant a et b, par le moyen de ces deux équations , et substituant leurs valeurs dans celle qui renferme la relation entre les quantités a et b , donnée par les conditions du problème.

Or ces équations donnent

a=x+yÿ,b=y ]/ (i +/*),

expressions qu’on voit être les mêmes que nous avons trouvées plus haut pour la normale b , et pour la partie de l’axe a qui répond à cette normale ; de sorte que si la relation entre ces deux quantités est représentée , en général , par

l’équation dérivée qui répond à la primitive y* -f- x’ — a ax -f- a* — b' — o

sera

C’est l’équation générale du problème de Leibnitz et da Bernoulli, dont ils ont trouvé l'un et l’autre, par des méthodes

différentes, l’équation primitive singulière, sans se douter de l’espèce de contradiction que leurs solutions présentaient avec les principes mêmes du calcul différentiel.

Avant de quitter cette analyse , il est bon de montrer à priori , pourquoi les expressions des constantes a et b , tirée» de l’équation au cercle

— aor-f-a* — b‘— o,

et de sa dérivée ,

yy +x — a = o,

sont les mêmes que celles qu’on trouve pour la normale et pour la partie correspondante de l’axe , dans une courbe quelconque rapportée aux coordonnées x , y.

Si l’on conçoit un cercle qui touche une courbe dans un point, il est clair que son rayon, dans ce point, deviendra la normale à la courbe. Or l’équation dont il s’agit, est, comme nous l’avons déjà vu , celle d’un cercle dont le centre est dans l’axe et répond à l’abscisse a, et dont le rayon estéet pour que le cercle touche une courbe donnée , il faut premièrement qu’il ait un point commun avec elle , dan* lequel , parconséquent , les coordonnées x , y seront les mêmes il faut ensuite que la valeur dey soit aussi la même dans le cercle et dans la courbe, comme nous l’avons démontré rigoureusement dans la seconde partie de la Théorie des fonctions analytiques : ainsi , pour que b devienne la normale à la courbe , et que a soit la partie de l’axe qui y répond il faudra que l’équation

et sa dérivée , prise en regardant a et b comme constantes ,

yy' + x— a— o,

aient lieu en même temps, par rapport aux coordonnées x, y

375 CALCUL

de la courbe ; d’où l’on tire, pour a et b, les valeurs donnée* ci-dessus. !

Les solutions de Leibnitz et de Jean Bernoulli offrent le* premiers exemples des équations primitives singulières ; mais Tailor est peut-être le premier qui ait trouvé directement une équation primitive singulière d’après l’équation dérivée. Dans son ouvrage intitulé Methodus incrementorum , qui a paru en 1715 , Tailor étant parvenu ( pag. 27), pour la solution d’un problème, à cette équation différentielle (j’emploie ici , pour plus de commodité , la notation différentielle à la place de la notation fluxionnelle des Anglais, ces deux notations exprimant la même chose dans le fond) ,

i=y*-9zy& + (»+*') %,

dans laquelle y est fonction de z, il la différencie , en faisant dz constant et il obtient l’équation ,

[-«.jr+aC =

d’où il tire

dy

dy=o, ou zy — (t -f-z*)

Cette dernière équation donne

di~r+ï*

oc qui réduit la proposée à

savoir,

qui est, dit-il, singularis quœdam solutio problematis.

Considérons l’autre équation d%y-=. o, où dz est constant, «n prenant successivement ses deux primitives ou intégrales, on %