j-za 1 +z
y — a -f- bz
«v'i a et b sont deux constantes arbitraires; mais la proposée n’étant que du premier ordre ne comporte qu’une seule arbitraire, il faut donc y substituer cette valeur de y pour avoir la relation qui doit avoir lieu entre a et b\ et pour cela il suffit de supposer par tout z=o , auquel cas on a
et l’équation devient donc
et parconséquent
Il est évidént, parce que nous avons démontré dans les dernières leçons, que la solution que Tailor nomme singulière, n’est autre chose qu’une équation primitive singulière de l’équation du premier ordre
1 — a zyy' + ( î +z* )/*,
dont
y=za + z p/(i — a*'}
est l’équation primitive complète ; car la dérivée de cettè équation du premier ordre étant , en faisant z' = î ,
[azy-f a( i-f-z»)y]y,=o,
le facteur du premier ordre — a zy -f- a ( î -f- z1 )y> donnera l’équation primitive singulière , et l’ autre facteur y" donnera l’équation primitive Complète , comme nous l’avons montré dans la leçon seizième. >
On peut aussi tirer la première de la seconde , par les principes exposés dans la leçon quinzième : car l’équatioa primitive complète étant ~ *
378 CALCUL
sa dérivée relative à a sera
za
0-1 ~ KO— a')' éliminant a de ces deux équations , on a i+z*=y.
Long-temps après , en 1734, Clairaut , en résolvant quelque» problèmes sur des courbes , fut conduit à une équation différentielle, dont il obtint aussi deux intégrales différentes par le moyen de la différenciation ; il était parvenu à ces deux équations
(x — u) nu —y — «tu, et dy = nudx ,
Pu et <bu étant des fonctions données d'une variable u qu’il s’agissait d’éliminer.
L’élimination étant impossible en général , il eut l'idée heureuse de différencier la première , et d’y substituer la valeur de dy , tirée de la seconde ; on a ainsi cette équation
(nu — uH'u — du = 0;
d’où l’on déduit deux valeurs de u, l’une donnée par l'équation nu — uH'u — <b'u = 0; l’autre par l’équation
du= 0,
laquelle donne par l’intégration
a étant une constante arbitraire.
Ces deux valeurs de u , étant substituées dans la première équation
(x — u)nu==y — Qu,
donneront deux intégrales en x et y , l’une sans constante arbitraire , l’autre avec la constante arbitraire a, et qui sera
(x — a) ne
laquelle ne représente , comme l’on voit , que des ligne* droites.
Clairaut examine ensuite quelques cas particuliers du même problème , où il fait voir comment le calcul intégral ne donne jamais que les lignes droites exprimées par l’équation générale
x!7a — alla —y — <ta ,
et comment les équations trouvées par la première méthode , échappent à l’intégration.
u J'ai été bien aise, dit-il, de montrer cette singularité de calcul , qui s’est présentée d’elle-même ; on pourrait l’énoncer", indépendamment du problème présent , de cette manière :
n II y a des équations différentielles capables d’avoir deux solutions différentes l’une de l’autre , dont l’une ( et même dans ce cas-ci la plus générale) n’a pas besoin du calcul intégral ; telles sont les équations
xdydx — dy* — ydx* — dydx ,
à laquelle
4y=x*-f-ax -f- 1, etaax— -2x = — 4y~h 1 — ** satisfont également -, et
ady% -j- xdy% — y dydx — xdxdy — ydx *, qui donne pour solutions
— ^/y=j/4a» et b%y — zbx + zby =■ — 4a
vÿ
>1 En général , ~ ~~7 — à une fonction quelconque de
x , y, dx, dy serait de cette nature ; intégrée , elle donnerait une équation; et, sans aucune intégration,
serait l’autre, n
V oyez les Mémoires de l’Académie des Sciences pour 1734 > p. 213.
CALCUL
En rapprochant ces differentes solutions de notre théorie , il est évident que celles qui ne renferment point de constante arbitraire , ne sont que des équations primitives singulières , et que les autres, qui contiennent une constante arbitraire, sont les équations primitives complètes ; mais Clairaut a tort de regarder ces dernières comme moins générales , parcequ'elles * ne représentent que des lignes droites.
A l’egard de l’equation différentielle
dx ,
on ne peut pas dire, en général, avec Clairaut , que l’équation finie
est de la même nature que les intégrales qu’il avait trouvée» auparavant sans constante arbitraire ; car cette intégrale peut être une équation primitive singulière , ou simplement un caa particulier de l’equation primitive complète.
Car si on fait, pour abréger,
et qu’on suppose qu’ayant tiré de cette équation la valeur de'yens, on la substitue dans la fonction F °n aura
une équation en x et z de la forme
ou bien
T~f {x>z’Tx)dx>
Z~ zf (x, Z,z' ).
Pour que z — o soit une équation primitive singulière , il faudra que z = o donne
DES FONCTIONS. s8t
comme nous l’avons vu dans la leçon seizième; or, en prenant la dérivée de l’équation précédente , on verra que cette condition ne peut avoir lieu que lorsque z = o donnera
zf =
Dans les autres cas , l’équation s = 0 ne pourra donc être qu’un cas particulier de l’équation primitive complète.
En effet, en regardant d'abord z comme très-petite , et négligeants dans la fonction /(x, a, a'), on aura simplement
7 = f(xh
et prenant les fonctions primitives
/z=fy(x)+/t; ,
k étant une constante arbitraire.
Je dénote par/^ avec un trait placé au bas de la caractéristique f, la fonction primitive dénotée par la simple caractéristique/-; on pourra de même dénoter, dans l’occasion, par y ,1a fonction primitive de y; par yu la fonction primitive de y/( c’est-à-dire, la fonction primitive seconde dejy, et ainsi des autres. Cette notation , que j’avais déjà proposée dans l’ouvrage sur la Résolution des Equations numériques , me parait aussi propre pour désigner les fonctions primitives, que la notation ordinaire l’est pour les fonctions dérivées. Maintenant il est clair qne , dans l’équation
lzz=f/{x) + kt
en aura
en faisant la constante k infinie , puisque le ~ — oo .
Ainsi
CALCUL
sera alors un cas particulier de l’équation primitive complète.
• Euler avait aussi trouvé , dans sa Mécanique , différens exemples de cette duplicité d’intégrales ; il avait même donné des règles pour les découvrir dans quelques cas , comme on le voit dans les articles 368 , 3o3 , 335 du second tome de la Mécanique ; mais ce n’est que plusieurs années après qu'il s’est occupé, ex professa, de eette partie du calcul intégral dans un Mémoire intitulé : Exposition de quelques Paradoxes du calcul intégral , et imprimé dans le Recueil de C Académie de Berlin pour 1768.
Dans ce Mémoire , Euler se propose différens problèmes relatifs aux tangentes , qui conduisent naturellement à des équations différentielles , et il remarque qu’ils ont chacun deux solutions , dont l’une résulte de l’intégration , et admet , parconséquent , une constante arbitraire , et dont l’autre est indépendante de l’intégration, et peut se trouver même par la différenciation de l’équation. »•
Voici un de ces problèmes. On demande une courbe telle, que, tirant de deux points donnés aies perpendiculaires sur une quelconque de ses tangentes, le produit de ces perpendiculaires soit une quantité constante.
Faisons passer l’axe des abscisses par les deux points donnés , «t soient p et q les deux abscisses qui répondent à ces points, et t la sous-tangente à un point quelconque , c’est-à-dire , la partie de l’axe comprise entre la tangente et l'ordonnee y, on aura’t — x pour la partie comprise entre la tangente et l’origine des abscisses; donc t — x4-p et t — x-f -q seront les parties de l’axe comprises entre les deux points donnés et la tangente.
Ayant abaissé de ces points des perpendiculaires sur la tangente, on formera par la deux triangles rectangles sem-
DES FONCTIONS. a83
blables au triangle rectangle formé par la tangente , l’ordonnée y et la sous-tangente I; il est visible que, dans ces triangles, les lignes t — x-f-p , t — x -J- q répondront àla tangente même qui est y ( y 1 -f- i“) , et que les perpendiculaires dont il s’agit répondront à l’ordonnée^y ; de sorte qu’on aura pour ces perpendiculaires, les valeurs
V/(y+**) ' v'Cy’+O
parconséquent l’équation du problème sera
•h étant une constante donnée.
Or , le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente étant exprimé par la fonction prime y1, on a
parconséquent
cette valeur étant substituée dans l’équation précédente , elle se réduit à
(y—y'x’+-pŸ) (y-yx-f-q/)
i -inéquation du premier ordre.
Cette équation , étant mise sous la forme différentielle , et multipliée par clx* -f- dy*, devient
(. ydx — xdy -f- pdy) ( ydx — xdy- f- qdy) — k (c?x* -f- dy' ) = o ;
c’est l’équation donnée par les conditions du problème. JSuler remarqua qu’il serait difficile d’intégrer cette équa-
a$4 CALCUL
tion directement; mais qu’on y peut parvenir facilement «n la différenciant.
On a ainsi , en prenant dx pour constant,
(ydx — xdy+qdy) (p — x)d*y -f- (ydx — xdy-j-pdy ) ( q — x) d2y — akdyd'y — o, équation toute divisible par d?y.
En la divisant d’abord par d*y, on a celle-ci,
( yàx — xdy+qdy)(p~x ) •
+ {ydx — xdy -\-pdy') (q — x) — zkdy=o,
qui n’est que du premier ordre , comme la proposée , et qui, étant combinée avec elle , donnera , par l’élimination de dy, une équation finie en x et y.
En effet, cette dernière équation étant multipliée par dy, et retranchée de la première multipliée par 2 , on aura celle-ci ,
zy^dx* -f ydydx ( p -f- q — ax) — 2 kdx* = o ;
d’où l’on tire
dy __ 2 (A— y»
dx y (p -f- q — 2x)’
mais la même équation donne
^y. y(p + q — ax) .
dx a[/t — (p — a;) (q — a;)]’
donc, comparant ces deux valeurs, et multipliant en croix, «n aura celle-ci, ,
y(p-fq— 2x)a=4(fe^-^a) [/î— .(p— x) (q— x)3,
laquelle se réduit à
£ (P— <7)1+ 4k1y* +4kip—x) (<?—*) = 4*S
DES FONCTIONS, ttu , plus simplement encore , à
(,£±îY=jj,
équation à une ellipse dont le carré du petit axe est A, et le carré du grand axe est k -j- y** sorte que
- — - sera la distance du centre au foyer ; et comme le centre
de l’ellipse répond à l’abscisse ^ , il s’ensuit que les deux
foyers répondent aux abscisses pet q, et sont, parconséquent, dans les deux points donnés.
En effet, on sait , par la théorie des sections coniques , que le produit des perpendiculaires menées de chacun de* foyers sur une tangente quelconque , est constant , et égal au carré du petit axe.
L’équation que nous venons de trouver ne renferme point de constante arbitraire , puisqu’elle provient de deux équations différentielles du premier ordre par l’élimination de ^ ;
mais on aura une autre équation, avec une constante arbitraire, par le moyen de l’autre facteur d*yt lequel donne l’équatiou du second ordre
<Py — o-,
d’où l’on tire
dy = adx ,
a étant une constante arbitraire; cette équation étant combinée de nouveau avec la proposée, on aura celle-ci,
Çy — ax + ap) (y — ax + aq) = k ( i -f «*),
d'où l'on tire
y-ax + =■
équation à deux lignes droite*.
Il est visible , en- effet , que la ligne droite satisfait aussi au même problème , pourvu qu’elle soit placée de manière que le produit des deux perpendiculaires menées des deux points donnés sur cette ligne , soit égal à k.
Si, dans les expressions générales de ces perpendiculaires
trouvées ci-dessus, on substitue pour t sa valeur j?, ou bien
yjx
suivant la notation du calcul différentiel, on a
dy *
y—xdy + pdy y—xdy+qdy ,
( dx' + df) y (dx‘+dy*y
Soit
y —ax-\- b
en général l’équation à la ligne droite , on aura dy — adx \
substituant ces valeurs , les deux perpendiculaires deviendront
b+ap
■et
b+aq
et l’on aura l’équation
(6-f-ap)(ô-faq)=fe(i+a*);
d’où l’on tire
b— —a Vt( i + a* (“J
ce qui donne les mêmes lignes droites que nous venons de trouver.
Telle est l’analyse d’ Euler , que j’ai rapportée en entier, et même avec un peu plus de détail, pour servir d’exemple
dans une matière qui est encore peu traitée dans les ouvrages élémentaires.
On voit que ce problème admet réellement deux solutions très-différentes , puisque l’une donne des lignes droites , et l’autre donne une ellipse.
Euler n’a pas cherché à rapprocher ces deux solutions et à les faire dépendre l’une de l’autre ; il s’est contenté de donner cette duplicité de solutions comme un paradoxe de calcul intégral , par la raison que l’équation qui contient une constante arbitraire, et qu’on doit, parconséquent, regarder comme l’intégrale complète , ne renferme cependant pas l’autre équation finie , qui satisfait également à l’équation différentielle , ce qui paraît, en effet, contraire aux principes du calcul différentiel.
Euler regarde aussi comme un paradoxe , que la différenciation puisse suppléer à l’intégration , ce qui ne doit s’entendre cependant que de l’intégrale sans constante, arbitraire , qui résulte immédiatement de la différentielle de l’équation proposée, combinée avec cette même équation-, car, pour l’autre intégrale qui dépend d’une intégration subséquente, elle est conforme aux principes généraux du calcul.
D’après la théorie que nous avons donnée sur les équations primitives singulières, on voit clairement que ces paradoxes d 'Euler ne sont que des résultats particuliers de cette théorie.
• Il est évident que l’équation à l’ellipse, qui est sans constante arbitraire , n’est que l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre , donnée par les conditions du problème , puisqu’elle résulte du facteur du même ordre qui multiplie la dérivée de la même équation ; et que l’équation à la ligne droite , qui vient de l’autre facteur du second ordre, est donnée par l’équation priêiitive complète, avec une constante arbitraire , conformement à la théorie développée dans la leçon seizième.
Si de l’équation à la ligne droite
y = ax + bt
et de sa dérivée
•n tire les valeurs des constantes a et b , on a a=y', bz=y—xy'-
et ces valeurs , substituées dans l’équation donnée par les conditions du problème ; savoir,
(è-f-cp) (é+aq)=ft(i
fournissent celle-ci,
(y—xy+p/) (y— *ÿ +?/)=*(! +/*),
qui est , comme l’on voit , l’équation du premier ordre à laquelle le problème conduit directement. Ainsi cette équation appartient à la classe que nous avons examinée à la fin de la leçon précédente , dont la forme générale est
et qui est toujours susceptible d’une équation primitive singulière qu’on peut obtenir par l’élimination de y, au moyen de la dérivée relative ky, ce qui redonne le résultat que nous avons trouvé.
Sil’on voulait tirer l’équation primitive singulière del’équation primitive complète, d’après la théorie de la leçon quinzième , il n’y aurait qu’à substituer d’abord dans l'équation de condition en a et b , la valeur de b tirée de l’équation
y—ax + b,
ce qui donnera celle-ci
(y—ax^-ap) {y — ax + aq) = h ( 1 -f- a» ) ,
qiu
qui est à deux lignes droites, et qu’on peut regarder comme l’équation primitive du problème , dans laquelle a est la constante arbitraire. Ainsi il n’y aura qu’à éliminer a au moyen de cette équation et de sa dérivée , et l’on aura encore le même résultat, puisque l’équation en y' a la même forme que l’équation en a'; ce qui sert de plus en plus à rapprocher les differentes méthodes que nous avons données.
Nous avons dt montré , à l’occasion du problème de Leibnitz, que toute équation primitive singulière représente la courbe formée par l’intersection continuelle des lignes représentées par l’équation primitive complète •, ainsi on peut dire que l’ellipse qui résout le problème d 'Euler, est formée par l’intersection continuelle de toutes les droites représentées par l’équation
(y- — ax -f- ap ) (y-— ax -f aç ) = S ( 1 +a*),
en supposant que la constante a varie de l’une à l’autre.
Par cette considération , on pourrait donc aussi résoudre le problème d 'Euler, comme I^eibnitz avait résolu celui dont nous avons parlé au commencement de cette leçon , et parvenir directement à l’ellipse, qui n’est donnée par l’analyse que d’une manière indirecte.
Jusques là on n’avait considéré les équations primitives singulières que comme des solutions particulières qui se présentaient d’elles-mêmes et sans intégration , et on n’avait encore aucun moyen pour reconnaître, à priori, si une pareille solution pouvait être comprise ou non dans la solution générale donnée par l’intégrale complète de l’équation différentielle du problème. Euler a donné le premier une règle générale pour cet objet, dans le premier volume de son Calcul intégral ; et Lap/ace a montré ensuite comment on peut déduire de l’équation différentielle , les solutions particulières qui échappent à l’intégrale complète, comme nous l’avons rapporté à la Sa de la leçon quinzième.
ago CALCUL
Il restait à découvrir la liaison entre ces intégrales particulières et les intégrales complètes , ainsi qu’entre les courbes données par les unes et les autres , et à rappeler toute la théorie de ces différentes intégrales, aux premiers principes du calcul différentiel ; c’est ce qu’on a fait dans un mémoire sur ce sujet , imprimé dans le Recueil de l’Académie de Berlin d* 1774) et dans un autre mémoire imprimé dans le même Recueil pour 1779.
Comme ce point d’analyse est un des plus intéressans par ses différentes applications , j’ai cru devoir en développer toute la théorie dans ces leçons , en y joignant des considérations nouvelles et des détails historiques qui peuvent faire plaisir aux analystes et servir à l’histoire de cette partie des mathématiques.
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