LEÇON DIX-HUITIÈME

Digression sur les équations aux différences finies , sur le passage de ces différences aux différentielles , et sur V invention du calcul différentiel.

T jES premiers auteurs du calcul différentiel, Harrow et Leibnitz , ont considéré les quantités variables comme croissant par des différences infiniment petites , et ont inventé les équations différentielles pour déterminer les rapports de ces différences. Comme la supposition des quantités infiniment petites répugne à la rigueur de l’analyse , on a considéré depuis les accroissemens des quantités variables comme finis , et on a formé , à l’imitation du calcul différentiel , un nouveau calcul pour les différences finies , dans lequel les résultats sont rigoureusement exacts. Ce calcul , dont Tailor avait donné la première idée dans son Methodus incrementorum, et dont on s’est beaucoup occupé dans ces derniers temps , sous le nom de Calcul aux différences finies , sert à trouver la loi des termes consécutifs d’une série ou progression dans laquelle on connaît l’expression ou la formation du terme général ; et réciproquement à trouver l’expression du terme général , d’après la loi des termes consécutifs.

Mais nous observerons que , dans ces recherches , la considération des différences n’est point nécessaire comme dans le calcul différentiel , et que leur emploi peut même etre plus incommode qu’utile , parceque la suppression des termes infiniment petits, qui produit la simplification du calcul différentiel , n’ayant point lieu dans les différences finies , il arrive souvent que les formules en différences, sont plus compliquées

2qa CALCUL

que si elles contenaient immédiatement les termes successif» eux-mêmes.

D’ailleurs l’analogie qu’on a cru pouvoir établir entre le calcul aux différences infiniment petites et le calcul aux différences finies , est plus apparente que réelle , malgré la conformité de quelques procédés et de quelques résultats ; car, dans celui-ci, on considère les différens termes de la progression , comme représentés par une même fonction de quantités différentes d'un terme à l’autre , et les équations aux différences finies ne sont que des équations entre ces mêmes fonctions : au lieu que les équations différentielles , ou aux différences infiniment petites , sont essentiellement entre des fonctions différentes de la même variable, mais dérivées les unes des autres par des règles fixes et uniformes.

Les équations aux différences finies , ne sont autre chose qu’une suite d’équations semblables entre différentes inconnues, par lesquelles on peut toujours déterminer successivement chacune de ces inconnues.

Mais la loi uniforme qui règne entre ces équations , fait qu’on peut regarder leurs inconnues comme formant une suite régulière et susceptible d’un terme général ; et l’expression de ce terme donne alors la résolution générale de toutes les équations.

Ainsi le calcul qu’on a nommé aux différences finies , n’est proprement que le calcul des suites , et ne peut être assimilé au calcul différentiel qui est essentiellement le calcul des fonctions dérivées.

Mais on a pensé que la considération des différences finie» pouvait conduire à celle des différences infiniment petites, et que le calcul aux différences finies conserverait toute sa rigueur , en devenant calcul différentiel , par l’omission des termes infiniment petits. Et de là est née la méthode des limites dans laquelle on regarde le rapport des différences infiniment petites , comme la limite du rapport des différences finies , et le»

équations différentielles , comme les limites des équations aux différences finies.

Je ne disconviens pas qu’on ne puisse, de cette manière , démontrer la légitimité des résultats du calcul différentiel ; mais , quoique cette marche paraisse directe et naturelle , le passage du fini à l’infini exige toujours une espèce de saut , plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité, et change la forme des foilctlons.

Ayant réduit, comme nous l’avons fait, le calcul différentiel à ses véritables élémens , les fonctions dérivées , et l’ayant ainsi entièrement séparé du calcul aux différences finies, nous avons cru devoir dire deux mots de la nature et des usages de celui-ci , qui n’est , à proprement parler , que l’analyse ordinaire appliquée à une suite de quantités qu’on suppose dépendre d’une même loi.

Soit une suite de quantités

y> y> y> y » y>etc-

qui répondent à ces quantités e progression arithmétique

o, i, 2J , Zi, 4* , etc.

Désignons , en général , un tenue quelconque de la première

suite, par^ , et le terme correspondant de la seconde suite ,

par x ; désignons de plus par y, y, y, etc. , les termes qui , dans la première suite , suivent le terme y , et «qui répondent aux termes

x-}- i, x-f-ai, x-f-3 /, etc.

de la seconde.

Enfin , désignons, pour plus de simplicité , par les caractéristiques A, A*, etc. , les différences premières, secondes, etc. des termes de la première suite , de manière que l’on ait

Ay —y —y > A%y —y —ay+y> etc-

CALCUL

A l’égard de la seconde suite , il est clair qu’on aura Ax=t et A3x = o , etc.

Cela posé , supposons d’abord que la première suite soit formée de la seconde par cette loi très-simple

y — ax,

a étant un coefficient constant pour toute la suite.

On aura donc aussi , en changeant y en y et x en x -J- i , l'équation

et comme les deux équations doivent avoir lieu en même temps , on pourra , si l’on veut , en éliminer la constante a.

Retranchant , pour cela , la première de la seconde , on aura

y — y ~ ai ; ou Ay = ai ;

d’où l’on tire

donc , substituant cette valeur dans la première , elle dc~ viendra

xAy y — ’ ■ •

La première équation

y—ax

donne le terme général de la suite ; l’autre équation

donne la loi entre les ternies successifs ; car , puisque

Ay=ÿ —y y .

on aura

±__ nu « t — — -

Réciproquement , on voit que cette loi des termes étant donnée , le terme général sera nécessairement

y—ax

n étant une constante arbitraire ; et il est facile de se convaincre que cette expression dey en x est la plus générale qui puisse répondre à l’équation aux différences

Si la différence i de la progression arithmétique devenait infiniment petite , la différence correspondante y deviendrait

infiniment petite anssi , et leur rapport -Z , que nous avons

vu être égal à la constante arbitraire a , serait toujours le même. Dans l’inGniment petit , ce rapport devient égal à la fonction dérivée y' , en regardant y comme fonction de x , et l’équation devient alors

qui est l’équation dérivée dont

y—ax

est l’équation primitive , a étant la constante arbitraire. Supposons maintenant cette loi

y = nx-f a\

qui n'est guère plus compliquée que la précédente.

3gG C A L C XJ L

On aura donc aussi , en changeant y en y et x en x -f- i ,

y = ax -f- ai -f- o* ;

retranchant la première de celle-ci , et mettant Ay pour V — y | on aura

Ay — ai;

d’où l’on tire

et substituant cette valeur à la place de a , on aura

équation aux différences finies , et qui est indépendante de la constante à.

La première équation donne donc l’expression du terme général , et la seconde donne la loi entre les termes successifs , de manière que cette loi étant proposée , on aura , par la première , le terme général avec une constante arbitraire a.

L’analyse précédente suppose que la quantité a est indépendante de r , puisqu'elle demeure la même dans les deux •équations successives ; mais si elle dépendait de x , de manière que les deux équations eussent néanmoins la même forme que dans le cas où elle est constante , il est clair que l’équation aux différences qui résulte de ces deux équations par l’élimination de a , serait encore la même ; parconséquent on aurait plus d’une équation en x et y pour la même équation aux différences : c’est le principe qui donne les équations primitives singulières , comme on l’a vu dans la leçon quatorzième.

Supposons donc , en général , que la quantité a , qui répond à r , devienne a, a, etc. , lorsque x devient x-j-i t x-f-2 i, etc. ,

les deux équations successives , dont l’une répond à x et l’autre à !-)-(, seront

y — ax -J- a1, y = a ( X -f i) -fa*.

Or , si on suppose que les quantités a et a soient telles que l’on ait

a (x-j-0 -f- «’ = et ( x ■+• t) 4. o1, la seconde équation deviendra

comme dans le cas où a est supposé constante ; parconséquent on aura également , par l’élimination de a , l’équation aux différences

Il s’agit donc de trouver le terme général de la série dont

les termes consécutifs a et a , répondant à x et x -f- i > ont entre eux la relation déterminée par l’équation ci-dessus, qui se réduit à cette forme

a* — -f- C ce -f- £ ) (a — a) = o,

et qui est , comme on voit , du genre des équations aux différences.

Cette équation se réduit à

'[« +a + (x-f-i)] (a — fl)=;o, et se décompose , parconséquent , en ces deux-ci ,

238 CALCUL

La première donne

a = ci ,

et , parconséquent , a égal â une constante quelconque ; c’est le cas que nous avons supposé d’abord.

La seconde donne une relation entre a et a, d’après laquelle il faut trouver le terme général.

Pour simplifier cette équation , je suppose d’abord

a — u -f~ mx' -f- « i

m et n étant des constantes , et u une nouvelle variable ; j’ai

et l’éqtiation devient, par ces substitutions,

u -f- u -j- ( -J- 1 ) a? -f - an -f- (m -f- i)»=o,

où je peux faire disparaître les termes indépendans de u.

Je fais donc

an?. -f-i=o et zn~f-(m-f-i')i=o ce qui donne

de sorte qu’en faisant

l’équation se réduit à cette forme plus simple ,

Il -f- li = O.

J’observe maintenant qu’en supposant

u — bf1.

b et r étant des constantes , on a

u — brz+‘ ;

et la substitution donne

br -f- bi '■* = o , équation divisible par br1 , et qui donne r‘- f- 1 = o :

d’où l’on tire

ri = — i et r — ( — 1 )

Ainsi l’expression

satisfait à l’équation avec la constante arbitraire b. En effet , en supposant cette équation en u et ï , pour faire disparaître la constante b , on prendra l’équation successive

et , éliminant b , on aura

équation proposée.

Donc l’expression générale de a sera

et cette valeur , substituée dans l’expression de y , donnera un nouveau ternie général avec une constante arbitraire b , qui satisfera également à la même équation aux différences

CALCUL

3oo

Pour faciliter cette substitution , je mets l’expression donnée de y sous cette forme

et j’y substitue , pour a , la valeur qu’on vient de trouver ; il vient cette nouvelle expression de y

Comme b est ici une constante arbitraire , on peut aussi la faire disparaître par l'équation successive , dans laquelle x devient x -f- i , et y' devient y ou y -f- Ay ; on aura ainsi

à cause de

Retranchant de cette équation la précédente, et observant que la différence des deux carrés est le produit de la somme par la différence des racines, on aura tout de suite

d’où l'on tire

Ay=zib(<- if — ^ —

et cette valeur , substituée dans là première équation , donne l’équation aux différences

/Av . r\‘ x 4

savoir ,

qui est la même qu’on avait trouvée dans le cas où a était la constante arbitraire.

Si maintenant on suppose que la différence i devienne infiniment petite , la différence correspondante Ay le devien- '

dra aussi ; mais leur rapport ^ qui , dans le premier cas ,

est égal à a , et , dans le second , est égala b ( — 1)‘ - —

demeurera fini; ce rapport devient alors la fonction .dérivée de y , regardée comme fonction de x ; et l'équation aux différences devient , parconséquent ,

y — xy +/*,

qui est, en effet, l’équation dérivée dont la primitive est y — ax -f- a* ,

a étant la constante arbitraire.

Car en prenant les fonctions dérivées , pn a

et substituant cette valeur, il vient

y = xy' +y.

Mais que devient alors la seconde expression dey qui Contient la constante arbitraire b ?

Suivant les principes des infiniment petits , le terme

— - doit être rejeté vis-à-vis du tenue fini b ( — i )‘ ; ainsi en

3ca

aurait simplement

à cause de

Mais cette valeur de y ne satisfait pas à l’équation dérivée , à moins qu’on ne suppose

car elle donne

Faisant la substitution , on a et parconséquent , ‘

La X’ X* , **

Ainsi il faut dire que le passage du fini à l’infiniment petit , anéantit non-seulement les quantités infiniment petites , mai*

encore la constante arbitraire.

Au reste , en faisant

l’expression

xa

devient une valeur singulière ; car en prenant les fonctions dérivées relatives à a dans l’équation primitive

y = ax a* ,

on a

x -f- aa = o ;

d'où et (le là

Ainsi on peut regarder aussi la seconde expression de y comme une valeur singulière du terme général ; mais comme elle conserve la constante b tant que les différences i sont Unies , il est clair qu’elle a la même généralité que la première , ensorte qu’on peut supposer que la valeur de y soit donnée lorsque x = o ; ce qui n’a pas lieu pour les valeurs singulières des équations primitives ordinaires.

Feu Charles , de l’Académie des Sciences , est le premier qui ait Fait cette remarque importante, qu’à une même équation aux différences Gnies , peuvent répondre deux équations intégrales ou sans différences , ayant chacune une constante arbitraire.

ï,royez les Mémoires de cette Académie pour l’année 1783.

Mais les conséquences qu’il a voulu en tirer dans la suite ( Mémoire de 1788) , relativement aux intégrales des équations différentielles , sont tout-à-fait illusoires ; elles prouvent seulement qu’on ne peut pas appliquer immédiatement à l’in— Uniment petit proprement dit , les résultats trouvés dans la supposition du fini, et que , dans le passage du fini à l’infiniment petit , il faut supprimer entièrement tous les termes qui peuvent contenir linfiniment petit , quoique ces tenues puissent n'etre pas eux-memes infiniment petits.

Ainsi , dans la Formule

le terme b (-— a )' ne devient pas infiniment petit parlasup-

3o 4 CALCUL

position de i infiniment petit ; néanmoins ce terme contenant la différence i , qui devient infiniment petite dans l'équatioa différentielle , doit etre supprimé pour avoir un résultat exact. En effet , en effaçant tout ce qui contient i dans l’équation précédente , on a simplement

comme cela doit être pour satisfaire à l’équation dérivée.

La raison en est que , dans le passage supposé du fini à

l’infiniment petit , les fonctions changent réellement de na-

dy , t t

ture , et que le ~ qu’on emploie dans le calcul différentiel.

est essentiellement une fonction différente de la fonction y , tandis que tant que la différence dx a une valeur quelconque , aussi petite qu’on voudra, cette quantité n’est que la différence de deux fonctions de la meme forme ; d’où l’on voit rjue si le passage du fini à l’infiniment petit peut être admis comme moyen mécanique de calcul , il ne peut servir à faire connaître la nature des équations différentielles , qui consista en ce qu’elles donnent des rapports entre les fonctions primitives et leurs dérivées.

On peut trouver d’une autre manière les mêmes expressions de y qui satisfont à l'équation aux différences

En prenant l’équation successive qui répond à x -j- i , on a aussi

mais

y = v + Ay , à y = A y -j- A ;

donc ,

DES FONCTIONS. 3c5

donc, retranchant la première équation de la seconde, on aura

aAyA!y , A*y\ — f ~F~‘

savoir , en multipliant par i et réduisant ,

+ + Ay = o,

équation qui se décompose , comme l’on voit , en deux

s ' V 4- Aav

A — o et x -f- i -f- — — — o.

La première donne tout de suite

A y= à une constante ; faisant cette constante = ai , on obtiendra

A y = ai ;

substituant cette valeur dans l’équation aux différences, on aura , comme plus haut ,

y=ax-j-à‘.

Retenons maintenant la supposition

Ay — ai ,

mais en regardant a comme une variable dépendante de x ; on aura

A y — ai et A *y = (a — a) i ;

donc l’autre équation deviendra

x-^-i-^-a-j-ax=o,

3o6 CALCUL

qui est la même que nous avons trouvée plus haut , et d’où nous avons tiré

On aura donc

et comme l’équation aux différences peut se mettre sous la forme

la substitution de cette valeur de A y donnera

comme plus haut.

Cette manière de trouver la seconde expression dey , revient à la méthode que nous avons exposée dans la leçon seizième , pour les équations primitives singulières.

En supposant i infiniment petit , les valeurs de a et a , qui répondent à xet i+i, ne doivent différer l’une de l’autre que d’une quantité infiniment petite ; parconséquent, par le principe des infiniment petits , l’équation

se réduit à

a«+ ar=o;

ce qui donne

d’où l’on tire comme dans le cas de

En effet, l'expression de a

aŒ*C-,)HH

donne, relativement à x-|-i.

Sc7

où l’on yoit que, dans le cas de i infiniment petit, la difTé —

rence entre a et a demeure finie tant que la constante b n’est pas nulle.

En général, soit

l’équation par laquelle le terme général y est déterminé en fonction de x, a étant une constante quelconque.

Cette équation est censée avoir lieu également pour les

termes successifs y, y, etc. qui répondent aux valeurs successives x -f- i , x -j- 2 i , etc. , de x ; ainsi on aura

et on pourra , par la combinaison de ces deux équations , éli-* miner la constante a.

On aura, de cette manière, une équation sans a, mais

qui sera en x, y et y ; et si, à la place de y , on substitue

3o8 CALCUL

y -f- Ay , l’équation sera en x, y et Ay ; ce sera alors proprement une équation aux différences premières.

De même , si l’équation du terme général renferme deux constantes a et b , comme

on pourra faire évanouir ces deux constantes par le moyen des deux équations successives

F(x + i>y, a. b)=o, F(x -f-ui,y, a, ô) = o.

L’équation résultante sera alors entre x, y, y et y, ou bien entre les quantités x ,y , Ay et A*y , en substituant y' -f-A y ' "

pour y , et y + aAy -f- A*y pour y ; ce sera donc une équation aux différences secondes , et ainsi de suite.

Donc, réciproquement , toute équation aux différences premières ou entre deux termes successifs, comportera une constante arbitraire dans l’équation du terme général ; toute équation aux différences secondes , ou entre trois termes successifs , comportera deux constantes arbitraires dans l’équation du terme général, et ainsi de suite.

On peut, en effet, se convaincre que cela doit être , par la nature même de ces équations.

Considérons, par exemple, une équation quelconque aux

différences premières entre x, y et^; et supposons qu ayant tiré la valeur de y, on ait

Comme la même équation doit avoir lieu dans toute l’étendue de la série, en faisant successivement

x=o, i , ai. 3i, etc.,

la variable y deviendra j/, y ,y,y, «te. et y deviendra en i > 3 4

mêmetempsy',^,^,^’, etc.

Ainsi l’équation proposée donnera cette suite d’équations ,

y=f(o,y'), y—f (}> y) » y—f(ai,y), etc.

Donc , substituant successivement les valeurs précédentes f

tous les termes y , y , y , etc. seront donnés par le premier

terme y ; et un terme quelconque y, répondant à x, sera

donné en x et y.

Ainsi l’expression du terme général contiendra nécessaire-.

ment la valeur arbitraire et constante du premier terme y.

Si l’équation proposée était aux différences secondes oq

entre les termes successifs y, y,y, on pourrait en tirer la valeur de y, et l’on aurait

Donc , faisant successivement

x = o, i, a i , 3 i, etc. ,

on aurait

, y=f(.°>y>y)> y=f(i>y>y)> y=H™> y, y)> etc-;

de sorte qu’en substituant toujours les valeurs précédentes ,

on aurait les termes y , y , y , etc. donnés en y et y, parconséquent le terme général y répondant à x serait exprimé en

; o 1 ol

x,y et y, dans lequel y et y ont des valeurs arbitraires et constantes.

3io

Et ainsi pour les équations aux différences plus hautes.

On voit par là que le nombre de constantes arbitraires qui doivent entrer dans l’expression complète du terme général, est nécessairement égal à l’exposant de la plus haute différence qui entre dans l’équation proposée; d’où l’on doit conclure que toute expression du terme général qui satisfera à une équation aux différences, et qui aura autant de constantes arbitraires que cette équation en admet en raison de l’ordre de ces différences , devra etre regardée comme complète , da quelque manière qu’on y soit parvenu.

Mais la même équation pourra encore être susceptible d’une autre expression générale qui répondra à l’équation primitive singulière, et qu’on pourra trouver parles mêmes principes.

Car si

F (je, y, a) — o

est l'équation qui donne l’expression générale dey en x avec la constante arbitraire a , on aura l’équation entre les termes

successifs y et y , ou y et y-f-jîy, en éliminant a des deux équations

F (je, y, a) = 0 , F(x , y , a) = o;

et le résultat de cette élimination , qui sera l’équation aux différences, sera la même, soit que la quantité a soit une constante ou une quantité dépendante de x , pourvu que, dans ce cas, elle soit telle que l’on ait

Cette équation étant délivrée de? fractions et des radicaux ,

sera toujours divisible par « — a, puisqu’ en effet a— a satis^ fait ; et il est clair que cette racine donne a égal à un« constante , comme on l’avait supposé d'abord.

Ol I

Si l’équation ne contient les quantités a et a qu’à la première dimension , le résultat de la division ne contiendra plus ces quantités; ainsi

sera la seule racine , et il n’y aura alors qu’une seule expression du terme général.

Mais si ces mêmes quantités forment plusieurs dimensions dans l’équation dont il s’agit , elles s’y trouveront encore après

la division par a — a, et l’on aura une nouvelle équation entre

a et a, qui sera, parconséquent , aux différences premières par rapport à la variable a, et qui pourra donner encore une ou plusieurs valeurs de a avec de nouvelles constantes arbitraires. C’est le cas de l’équation que nous avons considérée ci-dessus.

En regardant a comme une fonction de x , a qui répond à x i , deviendra , par le développement ,

a = a 4- ia - a -f- etc.

et la fonction F(x ,y , a) deviendra aussi

F(*,y> a) + ia'F' (a) + etc. ;

parconséquent l’équation en a et a deviendra ia'F' (a) -f- etc. =o.

Lorsque i devient infiniment petit, les tennes qui contiennent i*, i3, etc. devant être négligés vis-à-vis de ceux qui ne contiennent que i, l’équation précédente se réduit à

ia'F' (a) = o,

3ia calcul

laquelle donne

et parconséquent a constante , ou

d’où l’on tire a en fonction de x ; c’est le cas des équation* primitives singulières.

Dans ce cas donc, l’expression de « n* peut plus contenir de constante arbitraire ni dépendre de la quantité i ; parconséquent il faut que les termes qui renfermeraient i dans l’expression générale de a , tirée de l’équation en a et a , disparaissent absolument dans le cas de i infiniment petit , quand même ces termes ne deviendraient pas alors infiniment petits , comme nous l’avons vu dans l’exemple précédent,

La plupart des formules qu’on a trouvées par la considération des différences finies , et qu’on a ensuite traduites en calcul différentiel , présentent des difficultés analogues dans le passage du fini à l’infiniment petit, et qu’on ne peut lever que par la meme principe de rejeter indistinctement des formules finies tous les termes qui contiendraient des différences infiniment petites , de quelque manière que ces différences s’y trouvent contenues.

Ainsi , par exemple , on a , en employant les différences successives ,

y==y-f- £ y ,y =y -f- 2 iy -f- A^y ,y =y -f- 3Ay -J- oAy -f-A-Jy , etc. ; et en général ,

yO ”’)=y-f-mAy4- — 1 i— -A'y + -A —A A*y+etc.;

c’est l’expression du terme m.'m' qui répond au terme x~j- mi de la série x, x i , x -f- ai, etc.

Si donc on fait

t mi c= o> ,

le terme répondant à x -f- » , sera , par la substitution dp *

If

au lieu de m

Ay ü(a

-0 A‘y , &■(« — t)(v— ai) A3.y

•"F"1" a 3 ' p- + eta

Cette formule , donnée d’abord par Newton , à la (in des Principes , pour l’interpolation des lieux des comètes, a été ensuite appliquée , par Tailor , au cas où les différences i devenant infiniment petites et égales à dx , les différences &y , &y, etc. deviennent dy , d*y , etc.

Alors, en négligeant les ternies i, 21, Zi, etc. vis-à-vis de a, on a la formule

. dy a1

dy . *3

aPv

dx3

-f- etc.

qui exprime la valeur de ce que devient y lorsque x devient x -f- v.

C’est la formule connue sous le nom de Th orème de Tailor .

Cependant , comme les coeüiciens de i dans les facteurs successifs de la première formule , vont en augmentant continuellement, il est visible que , quelque petit que soit i, il se trouvera à la fin multiplié par un coefficient si grand , que sa valeur pourra devenir comparable à celle de w , et ne pourra plus être , san6 erreur , négligée vis-à-vis de celle-ci. Mais la suppression de tous les multiples de / , quelque grands qu’ils soient, est néanmoins commandée par la nature de la chose , afin que

les quantités— ^ etc. cessent d etre expnmees par les

différences finies des quantités y , y , y , etc., qui sont des fonctions semblables de x , x -f- i, x -f- ai , etc. , et deviennent simplement les fonctions dérivées y' , y" , etc. de la même fonction

3l 4 CALCUL

En efFet, la quantité y étant regardée comme une fonction de*ar, la formule dont il s’agit doit donner la meme fonction de x -f- ai ; et nous avons démontré , d’une manière directe et rigoureuse, que cette fonction, développée suivant les puissances de u , est exactement égale à la série

y +iÿ+t? +£%?+• tc*

La formule des sinus des arcs multiples , s’applique de la même maniéré au développement des sinus par l’arc , et est sujette aux mêmes difficultés.

En effet on a , comme on 1 a vu dans la leçon dixième ,

sin. mxzzzmcos. m 'x sin. x — Q(m a)

cos. m— 'x sin3. x

Supposons x infiniment petit et m infini , ensorte que mx ait une valeur finie z ; donc m = — , et les coefficiens

m( m — 1 ) (m — a) m(m — Ofm — a)(w — 3 )(m — 41

’ â~3 ' 0737475 » etC‘

deviendront, en rejetant vis-à-vis de z tous les multiples de x , quelque grands qu’ils puissent être ,

z z3 zs

x’ 07 P’ â.3.4.5j~>,etc*

P’un autre côté, sin. x se réduit à x, et cos. x à 1 ; donc %

DES FONCTIONS, faisant ces substitutions , on a

sin. z — z-

etc.

formule exacte et rigoureuse, comme nous l’avons trouvé par les méthodes directes.

Ce n’est pas seulement dans le passage des différences finies aux différentielles que les fonctions changent de forme, cela a lieu aussi dans plusieurs autres circonstances ; et nous allons faire voir, par différens exemples, que l’Snalyse indique toujours et opère ce changement, par des expressions qui deviennent alors zéro divisé par zéro.

Considérons d’abord la différentielle d.fx. Suivant les principes rigoureux du calcul des différences , on a

d foc =/( x + dx) —fx \

et parconséquent

d . fx f ( ,r -f- d.v ) — fx

dx dx *

Cette valeur devient - lorsque d.c = o ; pour savoir

ce qu’elle doit être dans ce cas-là , on suivra la règle exposée à la fin de la leçon huitième , et que nous avons déduite de principes indépendans du calcul différentiel.

On prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur , relatives à la variable dx , et on y féru ensuite

dx r= o.

On aura ainsi y' (a: y- dx ) , et, faisant dx— 0, on trouvera

f x pour la valeur de lorsque

dx = o.

Cette valeur est, comme l’on voit , la même que celle qu» donne le calcul différentiel , comme nous l’avons observé à la fin de la leçon deuxième.

Si 1 on considère de même les différences secondes , on a d’abord rigoureusement

iï.fx =/(x — *dx) — a/(x + dx ) -f /x;

donc

/(x+ sdx) — af(x4-dx') +fx dx* tir2

En faisant

dx = o ,

cette valeur de devient 2 ; on prendra donc alors les

fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la variable tir, ce qui donnera

f -j- zdx) — f ( x -f dx )

Cette expression devient de nouveau- , lorsqu’on y fait dx = o ;

c’est pourquoi il faudra prendre encore les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la même variable dx ; on aura

zf (x-f adx )—f (x + dx):

En faisant ici

dx — o.

on a enfin fx pour la valeur de > lorsque

dx = o.

C’est, en effet, la valeur de la différentielle seconde de^x , divisée par dx*.

On doit conclure de là, en général, que les expressions ^ , etc. employées dans le calcul différentiel , ne peuvent

être prises que pour des symboles des fonctions dérivées

y, y", etc.

Nous avons observé plus haut , que Tailor n’était parvenu à la formule qui porte son nom , que d’une manière peu exacte. On peut , par les principes précédens , donner à son procédé toute la rigueur que l’analyse exige.

Si , dans la formule générale d’interpolation donnée ci-dessus , on fait

«lie devient

- . ~ A . fx , "(*> — 0 Aa./x

/(x + jL- + i-.—f-

, »(»— O («*— à*.fx ,

ri- o ’ ~T~ + 1

dans laquelle

A.fx=/(x + i) — fx Aï./x=/’(x-|-a») — a/(x + i) +fx,

CALCUL

Cette formule est générale quel que soit t ; mais en faisant

/\ "fjc o

les valeurs des expressions — '-4— , — 4— , etc. deviennent — .

Or ces expressions sont les mêmes que celles que nous avons considérées ci-dessus , en changeant A en d, et i en dx.

Ainsi elles deviennent /'x , f'x , etc. , dans le cas de i = o.

On a donc alors

f(x + ») —fx + ufx -f t-fx -f etc.

comme nous l’avons trouvé dans la leçon deuxième , d’une manière rigoureuse et directe.

On peut conclure de ce que nous venons d’exposer, que ceux qui, d’après Euler, regardent les différentielles comme de véritables zéros, et parconséquent , leur rapport comme celui de zéro à zéro, sont dans toute la rigueur de l’analyse; parcequ’une fonction qui satisfait en général aux conditions d’une question , ne saurait changer de forme pour un cas particulier, qu’en passant par l’état de comme on peut le prouver par plusieurs exemples.

On sait que la somme des n premiers terme* de la progression géométrique