OC X

on a Ix — la ou l - pour la fonction primitive de - , comme on

l’a trouvé dans la même leçon par d’autres principes.

La série

(ji — 1) (n — 2)

OT

cos x sin x •

X cosn— 3xsin.3x

X cos"- 5x sin5x — etc.'

est représentée généralement par la fonction en sinus , comme on le voit par la formule rapportée plus haut.

Cette fonction devient - lorsque

auquel cas la série se réduit à

sin x sin3 x sin5 x

rr‘ j r| ». t ““ etC.

cosx ocos’x 5cossx

Cela indique que la fonction doit changer de forme dans ce cas ; en effet , si on prend , suivant la règle , les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur , relativement à la variable n , la fonction devient x cos nx, et se réduit à la fonction circulaire x , en faisant

C’est »

DES FOltCTIOSS. 3ai

C’est, comme l’on sait , la valeur rigoureuse de la série

tang x — g tang3 x -f- g tang5 x — etc.

On voit clairement, par ces différens exemples, qu’il serait aisé de multiplier s’il était nécessaire , que l’expression - est toujours le symptôme d’un changement de fonction , ce qu'il me semble qu’on n’avait pas encore remarqué.

C’est par les principes exposés dans cette leçon , qu’on peut résoudre , d’une manière satisfaisante , les difficultés qu’on a toujours rencontrées lorsqu’on a voulu appliquer à un nombre infini d’élémens , les formules qu’on avait trouvées pour un nombre fini quelconque. Le fameux problème des cordes vibrantes en fournit un exemple remarquable ; et l’on peut voir dans les Opuscules Mathématiques (tom. I et IV), les objections que d'Alembert a faites contre la solution de ce problème, donnée dans le premier volume des Mémoires de V Académie de Turin, et déduite de la formule générale du mouvement d’un fil chargé d’un nombre quelconque de poids , en supposant ce nombre infini, et chaque poids infiniment petit. Dans la réponse à ces objections , qu’on trouve dans le second volume des mêmes Mémoires, je me suis contenté de faire voir, par l’exactitude des résultats, la légitimitédes suppositions que j’avais employées dans le passage du fini à l’infini ; mais la vraie métaphysique de ces suppositions dépend des mêmes principes que celle du calcul des infiniment petits , sur laquelle il ne peut plus rester maintenant d’incertitude ni d’obscurité.

Nous allons terminer cette leçon par quelques remarque* sur l’invention du calcul différentiel.

On peut regarder Fermât comme le premier inventeur de* nouveaux calculs. Dans sa méthode de maximis et minimis il égale l’expression de la quantité, dont on recherche le maximum ou le minimum , à l’expression de la même 'quantité

dans laquelle l'inconnue est augmentée d’une quantité indéterminée. 11 fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions s’il y en a, et après avoir effacé les termes commun* dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée par laquelle ils se trouvent multipliés; ensuite il fait cette quantité nulle , et il a une équation qui sert à déterminer l’inconnue de la question. En voici un exemple trèssimple , donné par Fermât.

Soit proposé de diviser une ligne donnée en deux parties , de manière que le rectangle de ces deux parties soit un maximum. Nommant a la longueur de la ligne donnée, et x une de ses parties, a — x sera l’autre, et l’expression dont on cherche le maximum sera ax — x*. Ajoutant la quantité arbitraire* à l’inconnue x, on aura cette nouvelle expression,

Egalant ces deux expressions, on a l’équation

ax — x* r=a (x-f-e) — - (x-|-e)*, savoir en développant le quarré (x-f-e)*,

ax — x* = ax -f- ae — x* — axe— e*.

Effaçant de part et d’autre les termes communs ax — x*, et divisant les autres par e, on a

a — ax — e — o,

où il faut maintenant supposer e nul, ce qui réduit l’équation à

a — ax = o ;

d’où l'on tire

te qui montre que la ligne donnée doit être partagée par le milieu , comme on le sait d’ailleurs.

bes roNCTioss, 3a3

11 est facile de voir au premier coup-d’œil, que la règle déduite du calcul différentiel , qui consiste à égaler à zéro la différentielle de l’expression qu’on veut rendre un maximum ou un minimum , prise en faisant varier l’inconnue de cette expression, donne le même résultat , parceque le fond est le même, et que les termes qu’on néglige comme infiniment petits dans le calcul différentiel , sont ceux qu’on doit supprimer comme nuis dans la méthode de Fermât.

Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dana l’équation entre l’abscisse et l’ordonnée , que Fermât appelle la propriété spécifique de la courbe , il augmente ou diminua l’abscisse d’une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à-la-fois à la courbe et à la tangente , ce qui fournit une équation qu’il traite comme celle de la méthode de maximis et minimis.

Ainsi x étant l'abscisse et y l’ordonnée , si t est la soutangente au point de la courbe qui répond à xet y, il est

facile de voir que les triangles semblables donnent — —

pour l’ordonnée à la tangente, relativement à l'abscisse x-j-e; et cette ordonnée doit être égalée à celle de la courbe pour la même abscisse x -{- e. On aura donc l’équation dont il s’agit, en mettant dans l’équation de la courbe , x -f- e à la place

de x, et y à la place de y. Cette équation, après le»

réductions, sera divisible par e ; on divisera donctousles terme» par e, et on supprimera ensuite comme- nul* tous ceux où l’indéterminée e se trouvera , pareequ’on doit supposer cette indéterminée nulle. L’équation restante donnera la valeur de t en x et y.

Ainsi dans la parabole , par exemple , dont l’équation est

y» axz= o t

en mettant y - f ^ à la place de y , et x -f- e à la place de l’équation devient

Mais

ax — ae :

y% — ax = o;

donc effaçant ces termes et divisant les antres par e, on aura

ay* , y'e

et effaçant encore le terme , qui s’évanouit en faisant « nul , on aura simplement l’équation

doù l’on tire

On voit encore ici l’analogie de la niéthode de Fermât avec celle du calcul différentiel; car la quantité indéterminée dont on augmente l’abscisse x , répond à la différentielle dx , et

la quantité 2.-, qui est l’augmentation correspondante de y^

répond à sa différentielle dy.

Et il est même remarquable que, dans l’écrit qui contient la découverte du calcul différentiel , imprimé dans les Actes de Leipsic du mois d'octobre 1684 , sous le titre : Nova methodus pro maximis et miuimis , etc. Leibnitz appelle dy une ligne qui soit à la ligne arbitraire dx comme l’ordonnée y à la soutangente, ce qui rapproche l’analyse de Leibnitz de celle de Fermât.

On voit que Fermât a ouvert la carrière par une idée très-originale , mais un peu obscure , qui consiste à introduire dans l’équation une indéterminée qui doit être nulle par la nature de la question, mais qu’on ne fait évanouir qu'après avoif divisé toute l’équation par cette même quantité.

DES FONCTIONS. 5a5

Cette idée est devenue le germe des nouveaux calculs qui ont fait faire tant de progrès à la géométrie et à la mécanique ; mais on peut dire qu’elle a porté aussi son obscurité sur les principes de ces calculs.

Maintenant qu’on a une métaphysique bien claire de ces principes , on voit que la quantité indéterminée que Fermât ajoutait à l’inconnue , ne servait qu’à former la fonction dérivée qui doit être nulle dans le cas du maximum ou minimum , et qui sert en général à déterminer la position des tangentes des courbes.

Mais les géomètres contemporains de Fermât ne saisirent point l’esprit de ce nouveau genre de calcul ; ils ne le regardèrent que comme un artifice particulier applicable seulement à quelques cas, et sujet à beaucoup de difficultés. On peut voir dans le troisième tome des Lettres de Descartes , sa longue dispute avec Fermât sur ce sujet. Aussi cette invention qui avait paru un peu avant la Géométrie de Descartes, demeura-t-elle stérile et presque dans l’oubli pendant près de quarante ans"* car si on excepte la règle de Sluze , pour trouver les tangentes , qui paraît déduite de la méthode de Fermât , et la méthode donnée par Wallis pour le même objet, laquelle n’est que celle de Fermât , présentée d’une manière moins abstraite , cet espace de temps n 'offre rien qui ait rapport à 1a découverte de Fermât.

Enfin Barrow imagina de substituer aux quantités qui doivent être supposées nulles, suivant Fermât, des quantités réelles, mais infiniment petites , et il donna en 1674 sa Méthode des tangentes, qui n’est que la construction de celle de Fermât, par le moyen

du triangle infiniment petit, formé des côtés e et et du

côté infiniment petit de la courbe , regardée comme un polygone. Il donna ainsi naissance au système des infiniment petits , et au calcul différentiel. Mai» ce calcul n’était encore

3a6 CALCUL

qu’ébauché , car il ne s’appliquait qu’aux expressions rationnelles , et exigeait le développement des termes, pour qu’on pût négliger ceux qui contiendraient le quarré , et les puissances supérieures des quantités inGniment petites.

Il restait donc à trouver un algorithme simple et général apphcable à toutes sortes d’expressions, par lequel on put passer directement et sans aucune réduction , des formules algébriques à leurs différentielles. C’est ce que Leibnitz a donné dix ans après, dans l’écrit cité ci-dessus , qui renferme les élémens du calcul différentiel proprement dit. Il parait que Newton était parvenu , dans le même temps , ou un peu auparavant , aux memes abrégés de calcul pour les différentiations. Mais c’est dans la formation des équations différentielles et dans leur intégration que consiste le grand mérite et la force principale des nouveaux calculs; et sur ce point, il me semble que la gloire de l’invention est presque uniquement due à Leibnitz , et surtout aux Bernoulli.

Mais tandis que cet édiGce s’élevait à une hauteur immense, l'entrée en demeurait toujours mal éclairée. L’ensploi de quantités qui doivent s’évanouir d’elles - memes , ou qui doivent être négligées en raison de leur petitesse, n’offre à l’esprit des commençans que des idées peu satisfaisantes, et parconséquent peu propres à servir de base à la partie la plus importante des mathématiques. Pour lever tous les scrupules et dissiper tous les nuages, il ne faut rien faire évanouir , ni rien négliger ; c’est ce qu’on obtient par la considération des fonctions dérivées.

, . - ,ti ..nsm

LEÇON D I X-N EU V I È M E, wp

Des Fonctions de deux ou plusieurs variables ^ de leurs Fonctions dérivées. , Notation et

formation de ces fonctions.

N O U S n’avons encore traité que des fonctions d’une seule variable ; car lorsque nous avons considéré des fonctions de deux ou de plusieurs variables , nous avons regardé ces variables elles-mêmes comme fonctions d’une seule et même variable. Or, si on considère une fonction de deux ou de plusieurs valables indépendantes, il est clair que cette fonction pourra avoir differentes fonctions dérivées relatives aux différentes va-*riables , et qui naîtront de la fonction primitive par le simple développement, en attribuant à chaque variable un accroissement particulier.

Ainsi le calcul des fonctions dérivées relatives à une seule variable , conduit naturellement à celui des fonctions dériyéeji relatives à différentes variables , lequel n’est, comme Ton Voit, qu’une généralisation du premier, et dépend des même&principes.

. r , lîi . : )l! 7 , ' ■>

Si les inventeur? du calcul différentiel l’avaient regardé d’abord comme le calcul des fonctions dérivées , ils -auraient ét| Conduits naturellement et immédiatement au calcul des fonctions dérivées relatives à plusieurs variables; et il ne pe serait pas passé un demi-siècle entre la découverte du calcul différentiel proprement dit, et celle du calcul aux différences partielles, qui répond au calcul des fonctions dérivées relatives à différentes variables. A plus forte raison , au lieu d’envisager ce dernier comme un nouveau calcul , on l’aurait seulement regardé comme une nouvelle application ou plutôt comme une

3»$ calcul'

extension du calcul différentiel , et on aurait , dès le commencement , embrassé sous un même point de vue et sous une même dénomination , les différentes branches du même calcul, qui ont été long-temps séparées et comme isolées.

Soit d’abord f(x,y) une fonction quelconque de deux va<* riâbleS ± et y , que nous regarderons comme indépendantes l’une de l’autre. Si dans cette fonction on substitue à-la-foi» x + i à la place de x, et y -f- o à la ptace dey , les deux quantités i et o étant indéterminées , qu’ensuite on développe la fonction /"(.r-f- i ,y -f- o ) suivant les puissances ascendantes de i et o , il est clair que le premier terme sans i ni o sera la fonction proposée^ jc , y ) , et que les autres termes seront da nouvelles fonctions de x et y , multipliées successivement par i , ot i *, io , o», ts, etc.

Ces fonctions seront aussi dérivées de la fonction primitive f(x,y} ; et on trouvera la loi de leur dérivation, en considérant successivement les dérivées relativesà chacune des quantités i et o.

Pour cela, on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable x qui devienne x -f- i , la variable y demeurant la même, et on développera la fonction^ .r -f ï,y) comme un» simple fonction de x. On supposera ensuite que, dans les fonctions dérivées relatives à. sc ', la variable y devienne y» -f-o * et on développera chacune de cesTonctions comme des fonctions de y , en regardant alors la variable x comme une constante.

Il naîtra ainsi du développement d ef(^x-i- i , y o) , différentes fonctions dérivées de lafonction primitive J^.r, y) , dont les unes seront relatives à la variable x , les autres seront relatives à la variable y, et d’autres enfin seront relatives en partie à la variable x et en partie à la variable y ; la loi du développement étant toujours la même , mais appliquée successivement aux différentes variables.

Mais pour ne pas confondre , dans la notation , ces différente* fonctions dérivées , on pourra dénoter les fonctions dérivées re-

DES FONCTIONS. 3ag

latives à la seule variable x , par des traits appliqués , comme à l’ordinaire , à la caractéristique de la fonction, et suivis d'une virgule ; les fonctions dérivées relatives à la variable^ , par des traits appliqués à la même caractéristique , mais précédés d’une virgule ; enfin les fonctions dérivées relatives en partie à la variable x et en partie à la variable y , par des traits séparés par une virgule , de manière que ceux qui précèdent la virgule se rapportent à la variable x, et ceux qui la suivent se rapportent à la variable y.

Cette notation conserve mieux l’analogie qui doit régner entre les fonctions dérivées et la fonction primitive /"( x,y~) , dans laquelle la virgule sépare les deux variables indépendantes x et y , que celle que j’avais employée dans la théorie des fonctions t en appliquant au bas de la caractéristique/- les traits relatifs aux fonctions dérivées par rapport à la seconde variabley.

D’ailleurs nous trouvons plus convenable d’employer , comme nous l’avons déjà fait dans la leçon dix-huitième, les traits inférieurs pour désigner les fonctions primitives d’une fonction donnée.

De cette manière on aura donc , en premier lieu ,

f(x + l>y) = f{x,y) + if'(x,ÿ) + l~f' (x ,y) + C x>ÿ) -f- etc.

Substituant maintenant partout y -f- o à la place de y , on aura

f(x + y+ 0 ) =/( x,y + o ) -f if> (x,y 4, 0)

+ -af,,(.x>y + °)+^f'^x>y + o) + «c-

Développons successivement les fonctions

f(.x>y + 0’)lf'’(.x,y + o')1f’(x)y + o), etc.

comme des fonctions ae y -f- o , on aura pareillement

jlx>y + °) —A*>y) -f- °f'(.x>y) +jF(.x,y) + * >y>

-f- etc.

fX*,y+o) —f'(x,ÿ) + °f'\x,y) + ~f’" (x,y) + etc. /,,’(x!y+-o) =f’'(x,y)+ etc.

et ainsi de suite.

Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de i et o , on aura ce développement complet

f(*+*,y+0) =/( x,y)+if'(x>y)+°f'Xx>y) •*-lF(x>y) + *»/v (x>.y5 + — PH{*,y )

-f' Ix.y't +i%r<-x,y)

+ï“jT'(I.v)+

-J- etc.

dans lequel la forme générale des termes, est

lmo

Dans l’opération que nous venons de faire pour avoir le développement dey(x-fi,y-(-o), nous avons commencé par substituer , dans f(x ,y) , x-j- i pour x , et nous avons déveveloppé suivant i ; nous avons ensuite substitué , dans tous le» termes de ce développement,^ 4* o pour^, et nous avons développé suivant o.

Or il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat

TES FONCTIONS. 33l

« on commençait l’opération par la substitution de .y -f- o à la place de y , et par le développement suivant o , et qu'on fit ensuite la substitution de x -f -i pour x , et le développement suivant i.

De cette manière on aurait d’abord les fonctions primes , secondes , etc. relatives à y , c’est-à-dire , suivant la notation que nous venons d’employer les fonctions

f (.X'yhf’" ( x>y)> etc.

Ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, etc. de celles-ci relatives à x , et qui seraient désignées par

f'' (.*>yh f’' (x>y) > «te-

yV(*».y)j (x>y)> etc.

et on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus , comme cela doit être.

Mais il faut remarquer que , dans le premier procédé , la fonction f' * (x , y) , relative à-la-fois à x et à y , s’obtient en prenant d’abord la fonction prime def ( x ,y) relativement à x, ce quidouney'’(x,y), et ensuite la fonction prime de celleci relativement à y; d’où résulte la fonction tecoaàef','(x,y) ; et, dans le second procédé, la même fonction s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de j ( x , y ) relativement à y , ce qui donne /V(x, y), et ensuite la fonction prime de celleci relativement àx, ce qui donne également y'»' (x, y).

D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primiti\ef{x,y) à la double dérivée f'*' (x,y).

Et , comme on doit dire la même chose des autres fonctions dérivées dénotées par des traits séparés par une virgule , on en • peut conclure , en général , que les opérations indiquées par les traits placés avant et après la virgule , sont absolument indé-

33a CALCUL

pendantes entre elles , et qu’elles conduisent aux mêmes ré-* sultats , quelque ordre qu’on suive en prenant les fonctions dérivées relativement à x et y, indiquées par les traits qui précèdent ou qui suivent la virgule.

Ainsi on aura également la valeur de la fonction dérivée triple (x,y ) , en prenant la fonction seconde dey(x,y) relativement à x, et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement 4 y, ou en prenant d’abord la fonction prime de f (x, y) relativement à^, et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à x ; ou bien encore en prenant la fonction prime de f (x , y') relativement à x , ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y , et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à x, et ainsi de suite.

Soit, par exemple,

on aura les fonctions primes , relative* à x et y,

La première donnera , relativement à y , la dérivée et la seconde donnera également, relativement à x,

r(*oO = -^rî

ensuite on aura , relativement à x et à y seuls ,

La dérivée , relativement de/”,(x,j), sera , , . iax

f' (x>yï — —y>

et la dérivée, relativement à a:, de f,\x,y) sera aussi

i ax

et ainsi des autres.

A l’imitation de ce que nous avons fait sur les fonctions d’une variable , si on suppose que la variable z soit une fonction de deux variables- x et y , soit explicite , soit donnée simplement par une équation quelconque entre x, y et z , on pourra désigner par

z z>', z"', z'1', z>®, etc.

ses différentes fonctions dérivées , en appliquant à la lettre z les traits avec la virgule qu’on applique à la caractéristique^ Ainsi x devenant x-f - i et y devenant en même temps y-f-o, la valeur de z deviendra

z + iz',-J-oz’,4- 1~ *'»■+■ ioz'1'- f-

a ’H z -f- etc.

et le terme général de cette série sera

imn"

On voit que les fonctions de deux variables engendrent par le développement , différentes sortes de fonctions dérivées dont la dérivation répond à chacune de ces variables; et que ces fonctions dérivées se forment de la même manière et par les memes règles que celles d’une seule variable , en considérant chaque variable séparément et successivement ; d’où il suit que tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d'une seule variable , pourra s’appliquer de même aux fonctions de deux variables, relativement à chacune d’elles.

534 CALCUL

On pourra donc aussi étendre la théorie des fonctions dérivées aux fonctions de trois variables ou d’un plus grand nombre ; car il ne s’agira que de répéter séparément , pour chaque variable, les memes opérations, et de les désigner par une notation semblable.

Dans les leçons précédentes, où nous ne considérions que les fonctions dérivées relativement à une seule variable , lorsqu'il s’est présenté des fonctions de plusieurs variables, non» nous sommes contentés de renfermer , sous la caractéristique des fonctions dérivées , la variable par rapport à laquelle nous voulions avoir la fonction dérivée.

Ainsi , pour ne pas anticiper sur ce qui regarde les fonctions dérivées relatives à plusieurs variables , nous avons dénoté jusqu’ici par f (x), f" (x), etc. les fonctions dérivées de relatives à la seule variable x, qui, suivant la

notation précédente , seraient/-'’ (x,yO ,/"’ (x, y) , etc.

Cette manière de noter les fonctions dérivées relativement à une seule variable , nous suffisait alors ; et nous pourrons l’employer encore quelquefois, pour plus de commodité, pourvu qu’on soit prévenu de son identité avec la notation que nous venons d’établir.

Quoique dans les fonctions de deux variables que nous considérons ici , les deux variables soient censées indépendantes, et que ce soit même cette indépendance qui produise les différentes espèces de fonctions dérivées dont nous venons de parler, rien n’empêche cependant qu’on ne puisse regarder ces variables elles-mêmes comme des fonctions d’une autre variable quelconque , mais fonctions indéterminées et arbitraires.

Par cette considération, on peut ramener, en quelque manière, la théorie des fonctions de deux vâriables à celle des fonctions d’une seule, et appliquer, surtout au développement des fonctions de deux ou de plusieurs variables , ce que nous avons démontré dans la leçon dix-huitième, sur le développement des fonctions d’une seule variable.

Soit a une fonction de deux variables x et y\ supposons que chacune de ces variables soit elle-même une fonction d’une autre variable t, de manière que a devienne une simple fonction de t; sous ce point de vue, lorsque t devient t-j-i, a deviendra, par la formule générale ( leçon deuxième ) ,

* -f- iz -f- - a" H — ‘-t: a* -f- etc.

Et si , dans ce développement, on veut s’arrêter au terme (leçon neuvième), on aura les limites du reste par le terme qui suivra, savoir.