m (m— 1) (m — a )3(xx'-f-yy,)3(xi-f-y*)m~s

et ainsi de suite.

Donc, lorsque xet^ deviennent x -f- ix',y -f- y , on aura

[(x -f ixfy 4- {y 4 iy'TT = (x* 4y)”

4 am (xx' 4 .y/) (*" +yT- *4 L2"» 0^*4 ya) (x‘4ya)’n>

4 4m (m— 1) (xx' 4yy)a (xa-j-y)m-i] i 4 etc.

Si l'on veut s’arrêter à ces trois premiers termes , alors le

terme

terme suivant étant — =z", on aura les limites du reste en 2.3

substituant x -f- ix', y au lieu de x, et dey, dans l’expression de z*, et prenant la plus grande et la plus petite valeur de cette expression depuis i~o.

Si m — 3 est un nombre positif, et que J et y' soient aussi des quantités positives , il est facile de voir que la plus petits valeur de z" sera

12 m (m — î) (x^-J-y/1) (xx'-f-yy') (x^-fy1)"1-*

-f- 8m (m — î ) (m -j- 2 ) (xx' -f-yy')3 (x“-fy*)m— 3 ,

qui répond à.i — o, et que la plus grande sera cette même quantité , en y mettant x -f -ix' et y -f- iÿ à la place de x ety .

Si on voulait avoir le développement de z répondant à x-f-/, et y -f- o , comme dans le commencement de cette leçon , il est clair qu’il n’y aurait qu'à faire

x' = 1 , et iy' ~ o ,

on trouverait des résultats semblables.

Car en désignant par des traits sans virgule , les fonctions dérivées par rapport à la variable principale t, et par des traits «éparés par une virgule , les fonctions dérivées relativement à chacune des variables x et y , comme nous l’avons fait cidessus , on aura , suivant ce qu’on a vu dans la leçon sixième sur les dérivées des fonctions composées d’autres fonctions,

z' =xV’ 4- /*’' ;

de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à la variable principale t,

z* = xV’ +/*/ + x' (z'O' +y'Ov)'-

Mai3 z” et z’ étant aussi regardées comme des fonctious de

338 cncu

x et y , leurs dérivées relatives à t , seront

Donc substituant

z," = x" zh 4 -y"v' + a/1*'” 4* *<yV’' +/ ’ V' ;

et ainsi de suite.

Sî les fonctions dérivées *' et/, relativement à t, sont censtantes, ensorte que x‘ = O, / = O, ** = «. etc. , on aura

simplement

z" = x'*s"’ + ax^'a'’' +ya*’*

z- = o/sx”> + 3x'*yx“’' 4- 3xyv’" +yv»

1f^/m2,c»ri)»+mx/"-yzCm '5/4 ^ ^x'm-*y ,

Ces valeurs, substituées dans la formule général» z 4- ^ a" + ^3S" + etc- »

donnent