i- ( x' V’ + xv 4- yv

+-t(x'V'- 4 3*'y*v 4- 3x/v- +yv>

etc.

Et si on fait

ai — i, y = 0,

on aura la même formule trouvée plus haut pour le développement de z , suivant les puissances de i et o.

Les expressions des fonctions z' , z" , etc. que nous venons de trouver , donnent la composition des fonctions dérivées de fonctions quelconques des deux variables x , y.

Ainsi , en faisant

ce qui revient à prendre x pour variable principale , c’est-àdire à regarder y comme fonction de x , si on veut que

soit une fonction dérivée d’une fonction de x et y ; en la comparant à l’expression de z' , il faudra que l’on ait

Pour éliminer z de ces deux équations , il n’y a qu’à prendre leurs dérivées par rapport à y pour la première , et par rapport à x pour la seconde , on aura ainsi

4' 00 = et =

d’où l’on tire

C’est l’équation de condition connue pour que la formule 4(x,y) 4-y'œ ( x, y) puisse être une dérivée exacte d’une fonction de x et y , indépendamment d’aucune relation entre x et y.

Ainsi sans cette condition il serait illusoire de supposer l’équation

à moins d’admettre en même tems une relation quelconque entre x et y , ou entre x, y, z.

34ô tiLCÜt

En général, si on avait l’équation

en trouverait , par les mêmes principes , la condition nécessaire pour qu’elle pût avoir une équation primitive indépendamment d’aucune relation particulière entre x, y , z.

Car en comparant cette expression de z' avec l’expression générale de z' donnée ci-dessus, on a pareillement

4 (x> y- z) = z'’ et P( x,y,z)=z>'.

Pour que ces deux équations s’accordent, il faudra que la dérivée de -J, ( a: , y, z) par rapport à y, soit égale à la dérivée de cp(x, y, z ) par rapport à x, puisque l’une et l’autre deviennent z'>'

Or z étant censée fonction de x , y , ( puisque si l’équation proposée a une primitive , la valeur de z sera déterminée par cette primitive en fonction de x et y ) ; il faudra la regarder comme telle dans les fonctions 4 (x, y , z ) et ç (x, y, z); et, d’après notre notation, il est clair que la dérivée de 4 ( x > y > z ) Par rapport à y , sera exprimée par

et que la dérivée de <p ( x , y , z ) par rapport à x sera <p' (x) -f- ç'(z)z'\

On aura donc l’équation de condition

«avoir en substituant pour z'1 et z>' leurs valeurs -,

4'(r)+4/(Ox<f(ij,0=i''(jr)+< (5)x4(xj,s)

et cette équation devra avoir lieu d’elle-même, c’est-a-dire , Être identique pour que la variable z puisse être une fonction de x et y, et que parconséquent la proposée ait une prirni-

tive en x, y et z. Dans ce cas, on trouvera facilement cett* primitive au moyen de l’une ou de l’autre des deux équations

Car prenant , par exemple , l’équation z'’=4 (x,y, z)

dans laquelle z” est la dérivée de z en y regardant y comme constant , on pourra la traiter comme une équation du premier ordre entre x et z , l’autre variable y étant supposée constante; et ayant trouvé sa primitive dans cette supposition, il faudra regarder la constante arbitraire comme une fonction inconnue de y , qu’on déterminera ensuite par le moyen de l’autre équation

Mais lorsque l’équation de condition que nous venons de trouver, n’aura pas lieu d’elle-même, l’équation proposée ne pourra pas subsister , à moins qu’on ne suppose une relation quelconque entre x , y, z, de manière que deux de ces variables deviennent fonctions de la troisième. •

Ainsi , dans ce cas , en supposant

on aura

et substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus , on aura alors une équation en x , y et y', par laquelle on pourra trouver la valeur de y en x; et l’on aura y et z en fonctions données de x, la fonction f (x, y) demeurant indéterminée.

Mais comme on pourrait avoir ainsi une équation du premier ordre en x et y, dont il serait difficile et peut-être impossible de trouver l’équation primitive , on a cherché les moyens de donner à la fonction arbitraire une forme telle que l’on ait immédiatement pour la détermination de y et z enx,. deux équations entre ces variables.

34a CALCUL

Pour en donner un exemple très-simple, supposons l’équation

z' = xy(x +yy'),

on aura ici

donc

Ainsi il est impossible que z soit une fonction de x et y , regardées comme indépendantes entre elles.

On fera donc

„ y=fx>

et 1 on aura

ÿ=fx’>

donc

%' = xrfx -f- xf*x xj

parconséquent z sera égal à la fonction primitive de arfx -f- xf*xXfx.

Mais on peut éviter la recherche de cette fonction primitive, en mettant le terme x y% y' de l’expression de s', sous la forme

ce qui réduit l’équation à cette forme et supposant ensuite

yx%~Ç~f x>

moyennant quoi elle devient

dont la primitive est

Ainsi ces deux équations remplacent conjointement l’équation proposée, la fonction fx demeurant arbitraire.

On doit dire, à plus forte raison , la même chose des équations que l’on pourrait supposer entre x, y, a, et y', z , dans lesquelles les fonctions dérivées yf , z' monteraient à des puis* sances quelconques.

Qu’on suppose, par exemple, l’équation en faisant

y=zfx,

on aurait

Et il faudrait , pour avoir z en x, trouver la fonction primitive de y (î -f ■f'x1) ) ce qui est impossible tant que lafonction fx demeurera indéterminée , à moins d’employer les séries.

Mais en. introduisant une troisième variable , on peut avoir des expressions finies de x, y, z, en fonctions de cette même variable.

Pour cela , il faut rétablir la fonction prime xf qui est= i lorsque x est la variable principale , et substituer parconséquent v' z'

—7 et p à la place de y' et z', conformément aux principes établis dans la leçon septième. Ainsi l’équation sera z! '* = x,% +/\

Pour résoudre cette équation de la manière la plus générale, nous emploîrons un principe dont nous ferons, dans la suite, un plus grand usage, et qui consiste à trouver d’abord des expressions de x, y, z, qui y satisfassent avec des constantes arbitraires , et à rendre ensuite' ces constantes variables , de manière que les expressions des dérivée» x', y', s' restent les ni mes.

5 44 CALCUL

Prenons un angle arbitraire a ; puisque

sin* « cos* » = i »

en multipliant le second membre de l’équation proposée par sin* a -f- cos* » , le premier ne changera pas.

Or le produit de a/* -\-ÿ * par sin*a> + cos* a, peut se mettre sous la forme

(y' cos a> — x sin »')* ( y’ sin a> -}- x' cos o>)* ;

de sorte que l’équation proposée deviendra

z'* = (y' cos a — x'sin&>)“ -f- (y sin a -f-x'cos»)*. Supposons

y sin a -f» x' cos a = o ,

ce qui est permis à cause de l’indéterminée a ; on aura , en extrayant la racine quarrée des deux membres , .

z' ray/ cos « — x' siu a.

Regardons d’abord l’angle a comme constant ; les deux équations que nous venons de trouver auront pour primitives ce* deux-ci ,

z —y cos a — x sin a -f- a, y sin « -f- x cos a = b ,

o. et b étant les deux constantes arbitraires.

Ainsi ces deux équations donnent des valeurs deyr et zen x» qui satisfont à l’équation proposée, quelles que soient les valeurs des trois constantes a, b et a> , comme on peut s’en assurer par la substitution.

Or il est facile de concevoir que ces mêmes valeurs satisferont encore à la proposée , en supposant que les quantités a ,

d et « soient variables , pourvu que les dérivées x',y, t! restent les mêmes ; ce qui aura lieu si , en prenant les dérivées des deux équations précédentes , les termes dus aux dérivées de at b et a> se détruisent.

Il n’y aura donc qu’à prendre les dérivées des mêmes équations par rapport à a , b et a> , et déterminer , par leur moyen , les variables a et b.

Regardons dans ces dérivées la variable « comme la principale , nous ferons

et l’on aura

— y sin ai — x cos ai -f- a' = o ,

Mais nous avons donc on aura

cos a — x sin a = b'.

déjà

y sin a -f- x cos a = b ;

ce qui donne

Ainsi on aura ces trois équations

z —y cos » — x sin » -f- a , y sin ai -f- x cos ai = a' , y cos a — x sin ai — a" ,

Mais a étant une fonction quelconque de », si on la dénott parlai, on aura

a' —f ai , a" —fa i

3^6 CALCUL

et les trois équations précédentes fourniront ces expressions de x, y , z en a,

x = cos a X f» — sin « X /"»

y = sin a> xf'a -f- cos,» Xf"<*

3 z=zfo -h/"» ,

la Fonction fa demeurant arbitraire.

Ces formules pourraient servir à trouver des courbes rectifiables; car si x et y sont les coordonnées rectangles d’une courbe plane, et z l’arc correspondant, on sait , par le calcul différentiel , et je l’ai démontré rigoureusement dans la Théorie des Fonctions , que l’on a

en regardant r et^ comme fonctions d’une même variable quelconque.

Si on fait f a = m , on a fa — O et fit = ma -f- n , les formules précédentes donneront

x~m cos a , y-=.m sin » , z = ma -f- n ; ce qui est le cas du cercle.

En prenant pour fa des fonctions quelconques de sin a et cos a, on aura autant de courbes algébriques qu on voudra , dont la rectification sera algébrique aussi ; problème sur lequel les géomètres se sont autrefois beaucoup exercés, et dont on peut voir différentes solutions dans le tome V des A ouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Les équations dont nous venons de nous occuper , sont connues sous le nom d 'équations qui ne satisfont pas aux conditions cf intégrabilité. On trouve des solutions élégantes de plusieurs de ces équations dans un Mémoire de Monge , imprimé dans le Recueil de l’Académie des Sciences pour l’année 1784*

La notation que nous avons employée pour désigner le» fonctions dérivées de z par rapport à x et y , par des traits séparés par une virgule , est , comme 1 on voit , très-simple et conforme à la nature de la chose ; mais elle ne met pas en évidence les variables auxquelles chaque groupe de traits doit se l'apporter ; et si l’on avait des fonctions de plus de deux variables, la multitude des virgules pourrait rendre la notation incommode , et causer de la confusion par rapport aux variables auxquelles les différentes fonctions dérivées repondraient.

On pourrait, dans ces cas , employer avec avantage la notation que j’ai déjà proposée dans l’ouvrage sur la Résolution des Équations numériques (/mg. 210) , et qui dérive aussi de la nature de ce calcul.

En effet , la formule donnée plus haut ,

z' = x'zn -f- y' Z'

fait voir que si on veut considérer à part les dérivées relatives à x et ^ , on a , par rapport à x ,

z’ = xV> ;

donc

ici z' ne doit être pris que par rapport à la variable t en tant qu’elle est renfermée dans la fonction x ; et pour indiquer ce

point de vue , il n’y a qu’à enfermer l’expression ^ entre deux

crochets ; ce qui donnera

On aura pareillement, par rapport à y,

donc

en renfermant l’expression —y entre deux crochets , pour indiquer qu’ici la dérivée z' n’est relative à la variable t qu autant qu’elle est renfermée dans y , on aura

De cette manière , l’expression de la dérivée z' prendra cett» forme

où l’on voit que > ^7^ ne sont ProPrement que les coef-

ficiens de x' et de y dans l’expression de la dérivée z'.

Comme la variable t , dont on suppose que x et y sont fonctions, demeure indéterminée, en prenant x pour t, on aurait

l’expression (I) deviendrait alors simplement ( z ) , et indiquerait , comme elle le doit , la fonction dérivée de z par rapport à la variable principale x ; de même , en prenant y pour t , on aurait

et l’expression deviendrait aussi (z'), et indiquerait la fonction dérivée de z par rapport à la variable principale y.

Mais , pour distinguer ces fonctions l’une de l’autre , nous retiendrons toujours les lettres x' et y' sous z' , et nous entendrons simplement par 1 > ^es f°ncti°ns dérivées

de z par rapport à x et y.

D H S FONCTIONS. Zfâ

D’ailleurs cette manière d’exprimer les fonctions dérivée* a l’avantage de faciliter la transformation de ces fonctions , lorsqu’on veut les rapporter à d’autres variables.

Ainsi , comme l’expression indique que a est regardé

comme fonction de x , l’expression réciproque indique-

rait que x serait regardé comme fonction de a ; et il est facile de se convaincre , par la nature de ces expressions , que l’on a en effet

comme si les parenthèses n’existaient pas , de sorte que l’on

aura

Si donc , au lieu de regarder a comme fonction de x et y on voulait regarder x comme fonction de a et y , on substituerait d’abord — à la place de ( ■ —i J.

Cf) w

Ensuite , pour avoir la valeur de l’autre fonction dérivée (7) , on remarquerait qu’ici la variable x est censée constante j puisque a n’est regardée que comme fonction de y.

Or , x étant supposée fonction de y et a , on aura , en général ,

donc , pour que x soit constante , x' devra être zéro , ce qui donnera l’équation

d’où l’on tire

et cette valeur de ~ , tirée de la supposition de x constante ,

y sz'\

sera parconséquent , la même que celle de D’où il suit que l’on aura ces transformées

De sorte que si l’on a une équation qui contienne x ,y , z avec les fonctions dérivées > (y) » e^e ne changera

pas essentiellement par les substitutions précédentes ; seulement , au lieu de supposer z fonction de x et y , ce sera x qui sera fonction de y et ss , et ainsi pour les cas semblables. /

Maintenant, puisque eSt une fonction de x et^, on

aura de même , en prenant sa dérivée relativement à t,

mais comme x' et y entre les parenthèses , n’ont qu’une signification de convention , on peut , sans inconvénient, écrire

et

parconséquent ;

On aura de même

où l’on voit que les symboles

expriment ici ce que nous avions dénoté plus haut par les signes

* ^ f if

Donc la dérivée seconde de a, c’est-à-dire , la valeur de z" que nous avons donnée plus haut , sera représentée ainsi

(i) +/ (£)+*(&) +’“'y(~y)^ify

On voit ici que GO et sont auss* Ie8 coefiiciens de

a/* et y'a dans l’expression complète de a-, mais que &)

n est plus le simple coellicient de x' y' dans la même expression , comme on serait porté à le supposer d’après sa notation.

, J dénotera ce que nous avions

dénoté par , c’est-à-dire , la fonction dérivée de a de l’ordre ( rf -f- m )tm‘, prise m fois relativement à x , et n fois relativement ky.

Cette dernière notation se rapproche , comme l’on voit , de celle qui est depuis long-temps en usage chez les analystes pour désigner les différences qu’on appelle partielles.

CALCUL

En effet , il eit visible que les fonction* dérivées que nou* désignons ici par

(éM/) •(£>(£) •'''■

ne sont autre chose que les quantité*

dz dz d?z d*z

3£’ dy' d^> dïdj ’ ®tC’ ’

que plusieurs géomètres , à l’exemple à’ Euler , renferment aussi entre deux parenthèses.

Ainsi on aura , en général , ces notations correspondantes

/dC

\x"yv

— \dxMdyn)

Après avoir donné la manière de former et de noter les fonctions dérivées relativement à différentes variables , nou* allons considérer les équations qui contiennent des fonctions de ce genre , et qu’on peut appeler Equations dérivées à plusieurs variables.