LEÇON VINGTIÈME

Equations dérivées à plusieurs 'variables . Théorie de ces Equations. Méthodes générales pour trouver les Equations primitives des Equations du premier ordre à plusieurs variables.

Considérons d’abord une équation quelconque entre les trois variables a' , y et z , par laquelle z soit une fonction déterminée de a et y.

Représentons cette équation par

EÇx,y,z)= o,

et supposons, pour un moment, que a et y soient des fonctions données d’une même variable t , alors z sera aussi une fonction de t dépendante de l’équation proposée ; et par la théorie des équations dérivées exposées dans les leçons précédentes , non-seulement la fonction F (a, y, z) sera nulle , mais encore ses dérivées F (a, y, z) , F" (x,y, z) , etc. , prises relativement à t , seront nulles.

Or , en consèrvant la notation de la leçon sixième , on a

F' (a, y,z) —jdF (a) + y' F' ( y ) + z'F' (z) ;

dans cette formule x' , y' , z', sont les fonctions dérivées de x,y ,z , par rapport à t , et F' (a) , F' (y) , F' (z) , sont les fonctions dérivées de F (a, y, z) , prises par rapport à cha->. cune des. variables x,y, z en particulier.

Ainsi l’équation

donnera celle-ci ,

CALCUL

a/ F' (x) +ÿF' (y ) + z'F' (z) = o.

Mais en considérant z comme fonction de x ety> , on a z'=xV>+y'z/; donc , substituant , on aura

IT (*) + ^ (z)] +/ [F'(y) + z/ F' (z)] = o.

Pour que les fonctions x et y de t , demeurent indéterminées, il faudra que leurs fonctions dérivées x' et y’ disparaissent de l’équation précédente ; ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant les deux équations séparées

Il est visible que ces deux équations ne sont autre chose que les dérivées de l’équation primitive

prises séparément par rapport à x et par rapport ày.

En effet , puisque dans cette équation les deux variables x ety sont essentiellement indépendantes entre elles , ses dérivées par rapport à x et par rapport ày auront lieu chacune en particulier. Or , la variable z étant , par cette équation , une fonction de x et y , dont les fonctions dérivées sont z'> par rapport à x seul , et z’' par rapport à y seul , il est clair que la dérivée de F (x , y , z) sera F' (x) -j- z'->F' (z) par rapport à x , et quelle sera F' (y) + z',l<J (z) par rapport à y \ de sorte que lequation primitive

donnera ces deux dérivées indépendantes ,

lesquelles serviront à trouver les valeurs des fonctions a'- et*’', et l’on aura

F'oo'-

Ayant ainsi les valeurs des deux premières fonctions dérivées de z j on en déduira celle des fonctions secondes z"’, z'>', z’", en prenant les dérivées de z'’ et z’' par rapport àx et y ; et ainsi de suite.

Il suit de là que l’équation primitive

ayant lieu , ses deux dérivées

F/(x)4.z,’F'(z) = o, et F* (y) (z) = o

auront lieu aussi en même temps ; parconséquent une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi , et pourra tenir lieu de l’équation dérivée.

Ainsi une équation entre x , y , z , et les deux dérivées z'’, z,r,

ou » (y) Par rapport à x et y , sera une équation du

premier ordre à trois variables , à laquelle répondra nécessairement une équation primitive enx, y , z.

Soit , par exemple , l’équation

z'>+ Mv' — N,

M et N étant des quantités constantes.

Son équation primitive sera

z — Nx — ç (y — Me) ,

la caractéristique $ dénotant une fonction quelconque.

En effet , si on prend les fonctions dérivées par rapport à x,

556 CALCUL

oa a

z' > — N=— MS ( y — Mr) ; et si on prend ces fonctions par rapport à y , on a z"' ~ S ( y — Mx ) ;

de sorte qu’en éliminant la fonction dérivée <S , on a l’équation dérivée proposée

z’’+Mv'—N — o.

Considérons l’équation générale de la même forme , dans laquelle M et N soient des fonctions quelconques donnée# de x,y , z.

Supposons que

«oit son équation primitive, on aura, par ce qu’on a vu ci-dessus, F'(z)’Z- F' (s) *

donc , substituant ces valeurs dans l’équation proposée , et multipliant tous les termes par F' (z) , on aura , en changeant les signes ,

F' (x) -f- MF’ ( y ) + N F' (z) = o.

Or on a , en général , comme on l’a vu ,

en regardant x,y , z comme des fonctions quelconques d’une autre variable t ; donc , substituant dans cette formule , à la place de F'(x),sa valeur tirée de. l’équation précédente, savoir , — MF' (y ) — AF'(z), on aura

F' (x,y, z) = (/- x'ÆQ F (y ) -f- (z'-x'F) F'(z).

DES FONCTIONS. ZZf

On voit , par cette expression de la fonction dérivée F' ( x,y , z) , que cette fonction deviendra nulle si on établit entre les trois variables x , y , z des relations telles , que l’on ait ces deux équations particulières

ÿ—Mx'—o, z' — Nx' = o.

Ces équations étant entre les trois variables x , y , z , serviront à déterminer les valeurs de ces variables en fonctions de la troisième; de sorte que, parla substitution de cesvaleurs, la fonction F Çv,y, z) deviendra aussi une fonction de cette troisième variable. Donc , puisque sa fonction dérivée doit alors devenir nulle , il s’ensuit que la variable doit disparaître d’elle-même, et que la fonction F(x,y, z) ne pourra contenir , après cette substitution , que des constantes.

Or , les deux équations

y'—Mx'= o, z' — Ny' — o,

étant du premier ordre , leurs équations primitives contiendront deux constantes arbitraires que nous désignerons par a et b. En effet , si de ces deux équations on veut éliminer , par exemple , la variable z , on tombera dans une équation du second ordre en x et y , dans laquelle on pourra faire

x' — i, ou y— 1 ,

suivant qu’on voudra regarder y comme fonction de x , ou x comme fonction de y ; et cette équation aura pour équation primitive , une équation eux et y, avec deux constantes arbitraires.

Ensuite , on aura aussi z. en fonction de x et y par l’une des deux équations proposées.

II suit de là qu’après la substitution des valeurs de y et z en x , tirées des deux équations du premier ordre dont il s’agit , la fonction F(x ,y, z) ne contiendra plus que les constantes

358 CALCUL

a et b avec celles qui se trouvent dans les quantités M et N\ de sorte qu’elle deviendra simplement une fonction de a et b , que nous désignerons par 4> (a , b).

Parconséquent l’équation primitive

se réduira à

par laquelle on voit que l’une des constantes a et b sera fonction de l’autre.

Mais à la place des constantes a et J, on peut mettre leurs valeurs en x,y, z, tirées des deux équations primitives, où. elles entrent comme arbitraires. Donc , si on désigne par P et Q ces valeurs de a et b , l’équation primitive delà proposée deviendra

la fonction désignée par <I> étant arbitraire.

Il résulte de là une méthode générale pour trouver l’équation primitive d’une équation quelconque du premier ordre , à trois variables x ,y , z, dans laquelle les deux fonctions dérivées de la variable , qui est censée fonction des deux autres , ne se trouvent qu’à la première dimension , telle que

z'’+Mz'’ + N,

ou , ce qui est la même chose ,

M et N étant des fonctions quelconques de x,y ,z. On fera ces deux équations

V — Mx' = o , z' — Nx' = o ,

DES FONCTIONS. 35q

dans lesquelles on peut supposer l’une des trois fonctions dérivées x? , y' , z égales à l’unité suivant la variable qu’on voudra regarder comme principale , et dont les deux autres seront censées des fonctions ; et ayant trouvé , s’il est possible , les deux équations primitives de ces équations , on en déduira les valeurs P et Q des deux constantes arbitraires a et b qu’elles doivent renfermer : on aura alors

pour l’équation primitive cherchée •, d’où résulte

la caractéristique $ désignant une fonction quelconque de Q.

L’analyse précédente est plus simple et plus directe que celle que j’ai donnée dans la Théorie des fonctions (n° toi); c’est ce qui m’a engagé à la mettre ici , d’autant qu'elle s’applique avec la même facilité aux équations semblables entre un plus grand nombre de variables. Dans les mémoires de Berlin de *77.9 > je m’étais contenté de prouver, à posteriori ,1a légitimité et la général! é de cette méthode.

Considérons de la même manière l’équation à quatre variables t , x, y , z, de la forme

L, M , N, étant des fonctions quelconques de t, x, y, z.

Si on représente son équation primitive par

sa fonction dérivée F' ( t , x,y, z) sera, en général, t' F' (0+<F'(x)+/F'(j)4.z'F'(z), et 1 on aura , relativement à chacune des variables t, x, y

36o CALCUL

en particulier , les équations

Tirant de ces équations les valeurs des fonctions (jjrÿ *

0)’ (y) , et les substituant dans l’équation proposée ,

elle deviendra , après la multiplication par F' (z), et le changement des signes ,

F'(t)+LF' (x)-f-MF' (j)+AT,'(z) = o; d’où l’on tire

F'(t) = — LF' (x) — MF' ^y) — NF' (z).

Cette valeur de F' (t) étant substituée dans celle de F' (t , x ,y , z) , on aura

F' (t, x,y ,z) — (x' — if L) F' (x) (y — i M) F' (y)

+ (z' — t'jV)F'(z).

Si donc on introduit entre les quatre variables t,x,y , a les relations déterminées par les trois équations

la fonction dérivée F' (t, x, y , z) deviendra nulle ; parcon— séquent la fonction primitive F (t , x ,y , z) ne pourra contenir que des constantes.

Or les trois équations dont il s’agit étant du premier ordre , auront trois équations primitives qui contiendront

DES FONCTIONS. 36l

trois constantes arbitraires a,b,c> et par lesquelles trois des variables t , x , y , z pourront être déterminées en fonctions de la quatrième. Donc , si dans la fonction t, x ,y, z) on substitue les valeurs de ces variables , il faudra que la variable restante disparaisse d’elle-même , et la fonction ne pourra plus contenir que les mêmes constantes a, b , c, avec celles qui entreront dans les expressions de L, M , N. De sorte qu après cette substitution, la fonction F (t, x, y, z) deviendra nécessairement de la forme <!> (a, b, c).

Or les trois équations primitives dont il s’agit , déterminent les valeurs de c, J, c, en fonctions des variables t, x ,y, a; de sorte qu’en désignant ces fonctions pari3, Q , R , on peut mettre ces équations sous la forme

Donc la fonction F (t , x , y, z) devra être de la forme * {P, Q , R) , puisqu’il n’y a que cette forme qui puisse devenir fonction de a, b, c, en vertu des trois équations primitives

P=a, Q = b, R=zc.

Donc l’équation primitive

deviendra

par laquelle on aura

la caractéristique ç désignant une fonction quelconque de P et Q.

Ainsi 1°. l’équation du premier ordre à trois variables

3Ga calcul

dépend des deux équations du premier ordre entre les mêmesvariables

y — Mx'=o, zi — Na? = o;

et si

sont les équations primitives de celles-ci , a et b étant les constantes arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

ç = <pP

<pP étant une fonction quelconque de P,

a°. L’équation du premier ordre à quatre variables

dépend de ces trois équations entre les mêmes variables > a?—?L=o, y' — t'M= o, z! — i Ar=o.

Et si

sont les trois équations primitives de celles-ci, a, b, c étant les constantes arbitraires, l’équation primitive de la proposée sera

q> (P, Q) désignant une fonction quelconque de P et Q ; et ainsi de suite.

De cette manière la recherche des équations primitives des équations du premier ordre, par lesquelles une variable est fonction de deux ou de plusieurs autres, est réduite à la recherche des équations primitives d’équations du même ordre , dans lesquelles toutes les variables sont fonctions d’une seule et même variable. Or, en analyse, on regarde la solution d’un problème comme connue , lorsqu’elle est réduite à celle

d’un problème d’un genre inférieur , quoique celle-ci puisse être sujette encore à beaucoup de difficultés.

Supposons, pour donner des exemples très-simples, que les quantités L, M, N soient constantes ; les deux équations

auront ces primitives

y — Mx — a , z — Nx=b\

donc l’équation

©+"(/)= w aura cette primitive

z — N x — <p (y — Mx) , comme nous l’avons déjà yu plus haut.

Les trois équations

x' — t' L—o, y — t' Mxz q, z' — t' N=o, auront ces primitives.

x — Lt — a, y — Mt=b t z—Nt=zc\ et l’équation

aura cette primitive

z — Nt~ <p (x — Lt,y — Mt ).

Il est bon de remarquer que les équations P = a , Q = i, R~cy etc., où a, b, c,etc. sont des constantes arbitraires, donnent cha-

cune une solution particulière de l’équation proposée; ce qui est évident par la forme même de la solution générale

4>(-P,Q) = o ou <6 (P, Q, R) = o;

car, puisque la fonction désignée par 4> est arbitraire, on peut toujours réduire ces équations à

P—asrzo, ou Q — b — o, ou R — c=o,etc.

Ainsi il est facile de voir que l’équation

z — Nx—b

satisfait à l’équation dérivée

car elle donne donc

z=Nx-j- b;

(£)=iv'(7)=°'

Mais si on prenait l’autre équation

y — Mx — a,

on ne verrait pas d’abord comment elle y pent satisfaire puisque la variable z n’y entre pas. Comme cette équation ne donne qu’un rapport entre x et y , par lequel x est fonction de y, ou y fonction dex, il faudra changer l’équation dérivée de manière qu’au lieu des fonctions dérivées de z , par rapport à x et y , elles contiennent les fonctions dérivées de x par rapport à y et z , ou de y par rapport à æ et*; ce qu’on obtiendra par les substitutions que nous avons, indiquées plus haut.

Nous allons donner ici cette transformation pour servir d’exemple dans les cas semblables.

tites

On mettra donc à la place de G) et ^ , les quan-

es — , , — ~r-, et 1 équation dérivée ci-dessus , devien»

dra , en multipliant tous les termes par

dans laquelle x est maintenant censée fonction de y et a.

Or l’équation

y — Mx— a

donne

valeurs qui satisfont évidemment à l’équation précédente.'

Nous venons de voir , dans les exemples précédens , que l’équation primitive renferme , dans le cas de trois variables , une fonction arbitraire d’une quantité composée de ces variables, et, dans le cas de quatre variables, une fonction arbitraire de deux quantités composées de ces variables.

Nous allons démontrer que cette proposition est générale , quelle que soit la forme de l’équation dérivée du premier ordre.

En appliquant aux équations à trois variables, la théorie

CALCUL

que nous avons donnée dans la leçon douzième , sur les équations dérivées à deux variables , il est aisé de voir que, puisqu’une équation à trois variables a deux équations dérivées , on pourra, par le moyen de ces trois équations , qui ont lieu simultanément, éliminer deux constantes à volonté, et parvenir ainsi à une équation du premier ordre, qui contiendra deux constantes de moins que l’équation primitive.

D’où il suit réciproquement que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables, doit contenir deux constantes de plus que l’équation du premier ordre, et que ces constantes seront nécessairement arbitraires.

Prenons pour équation primitive, l’équation à trois variables zr= ax-\-by\

en regardant z comme fonction de z ety, on aura ces deux dérivées, l’une relative à x et l’autre relative à y,

Éliminant, par le moyen de ces trois équations, les constantes o et 4 , on aura l’équation du premier ordre

à laquelle répondra l’équation primitive z = ax-f- by ;

les constantes a et b demeurant arbitraires.

Mais il n’en est pas ici comme dans les équations à deux variables , où dès qu’on a trouvé une équation primitive avec une constante arbitraire , on est assuré qu’elle a toute la généralité que l’équation du premier ordre peut comporter;

car on peut trouver une infinité d’équations à trois variables , qui, par l’élimination de deux constantes au moyen de leur» dérivée* , donnent la même équation du premier ordre.

Par exemple, l’équation

z — ay +

bx%

donne ces deux dérivées

d’où l’on tire , par l’élimination de a et b , la même équation

On pourra trouver autant d’autres équations primitives qu’on Voudra qui redonneront la même équation du premier ordre ; mais dès qu’on eu a une avec deux constantes arbitraires , on peut en déduire la formule générale de toutes les autres par des principes analogues à ceux qui nous ont conduits aux équations primitives singulières, et que nous avons exposés dans la leçon quinzième.

En effet, si l’on considère une équation primitive à trois variables, telle que

dans laquelle il y a deux constantes a et b , qu’on se propose de faire disparaître au moyen de ses deux dérivées , il est visible que le résultat de l’élimination de ces constantes sera toujours le même , soit que les constantes a et b soient constantes ou non, pourvu que les deux dérivées soient les mêmes; ce qui aura nécessairement lieu lorsqu’en regardant les quantités a et b comme variables , les termes provenant de leur variation, dans les deux équations dérivées, seront nuis.

CALCUL

Or, tant que a et b sont constans, l’équation F(x, b) = o

donne , comme on l’a vu plus haut, ces deux dérivées, l’une par rapport à x et l’autre par rapport à y,

Mais en regardant a et b comme fonctions de x et y, ces dérivées deviendront

F 00 + (7) r c«) + (7) p w + (f ) f” Cf) = «•

Et il est clair qu’elles se réduiront aux précédentes, en déterminant a et b de manière que l’on ait les deux équations

Il est d’abord visible qu’on peut satisfaire à ces deux conditions, en faisant

F' (a) = o, et F' (i)=o;

ce qui donne deux équations , par lesquelles on pourra déterminer a et b en fonctions de x, y, z.

Cette solution répond évidemment à celle qui donne les

équations

DES FONCTIONS. 36g

équations primitives singulières des équations à deux variables , comme nous l’avons vu dans la leçon quinzième.

Ainsi on pourra appeler aussi équation primitive singulière, l’équation

F{x,y, z,a,b)=zo,

dans laquelle on aura substitué pour a et b , les valeurs tirées des deux équations

Mais il y a une manière plus générale de satisfaire aux mêmes conditions.

Supposons que b soit une fonction quelconque de a, que nous désignerons par fa, alors b' deviendra q/(a)Xa', parconsé-

quent deviendra qf (a) X > et deviendra

Faisant ces substitutions dans les deux équations de condition , elles deviendront

+ F (i) X <p'aj (f) = °>

et on y satisfera par cette équation unique F' (a) -h F' (b)Xf'a=o,

laquelle servira à déterminer la valeur de a, et la fonction fa demeurera arbitraire.

En effet, si dans l’équation primitive F(x,y,z,a,b)= o,

on fait

elle deviendra

CALCUL

b — ça,

a> fa) =0;

et si on désigne par F' (a, ça), la fonction dérivée de F(x ,y , z, a , < pa), prise relativement à a seul , il est facile de voir qu’en faisant

F' (a, <pa) = o,

les équations dérivées de la proposée , prises relativement à x et à y, seront les mêmes, a étant variable, que si elle ne variait pas; que, parconséquent, l’équation du premier ordre , déduite de celle-ci par l’élimination de a et ça, sera encore la même.

Il est visible que l’équation

n’est autre chose que l’équation ci-dessus

- F'(a)+F'(b) Xf'as o, „

en faisant

b = ça.

De cette manière on aura donc aussi une espèce d’équations primitives singulières , mais plus générales que l’équation primitive proposée, à raison de la fonction arbitraire qu’elles contiendront.

Si donc on a une équation du premier ordre à trois variables, telle que

on peut supposer qu'elle ait pour équation primitive F(x,y,z, a,b) = o, où a et b soient deux constantes arbitraire*.

Nous appellerons celle-ci équation primitive complète , a raison des deux constantes arbitraires qu’elle contient et qui ne peuvent disparaître que par le moyen de ses deux dérivées. S’il arrivait que les deux constantes s’en allassent à-la-fois au moyen d’une seule de ces dérivées , elles ne pourraient alors tenir lieu que d’une seule constante , et l’équation primitive ne serait pas complète.

Dès qu’on aura trouvé une équation primitive complète , on en pourra déduire une autre plus générale, et qui contiendra une fonction arbitraire.

Car il n’y aura qu’à faire

b=<pat

et déterminer ensuite a par la condition F' (a, ça) — o.

Nous nommerons celle-ci équation primitive générale , pour la distinguer de la précédente.

Enfin, la même équation primitive complète donnera encore l’équation primitive singulière , en déterminant a et b en fonction de x , y, z par les deux conditions

Par exemple , nous avons tu plus haut que l’équation du premier ordre

* = *(£.) +y(y) a pour équation primitive complète

z — ax- f- by.

Pour en déduire l’équation primitive générale , on fera b — ça,

373 CALCUL

et on prendra les fonctions dérivées par rapport à a seul

on aura les deux équations

z — ax -f -y<pa , x -f -yç' a = o ;

d’où il faudra éliminer a : comme la fonction Ça est arbitraire , on peut , en lui donnant différentes formes , en déduire une infinité d’équations primitives complètes , différentes , avec deux constantes arbitraires.

Soit, par exemple.

les deux équations deviendront

la seconde donne

aBx

et cette valeur , substituée dans la première , la réduit à

qui est l’autre forme d'équation primitive que nous avions trouvée.

On pourra , de la même manière , en trouver tant d’autres qu’on voudra ; mais il est remarquable que la première équation primitive complète , d’où l’équation primitive générale a été déduite, n’y est jamais comprise.

Ainsi, il est impossible de déterminer la fonction ça de manière que les deux équations

z — ax -j-yça , x -j-yç'ci = o ,

donnent celle-ci,

z = Ax -}- By ,

A et B étant des constantes arbitraires ;

Car supposons la chose possible ; en substituant dans la première la valeur de a, on aura à satisfaire à ces deux équations

Ax-{- By=ax -\-yça, x + yç'azso.

La seconde donne

x = — yç'a ;

cette valeur substituée dans la première, la rend divisible par j», et il en résulte

d’où l’on tire

B — Aç' a = ça — aç' a ;

Ça — B

divisant par ça—B, on a l'équation

irtçïfï»

ça I

ça — B a — A y