I DR
dont chaque membre est une fonction dérivée exacte.'
La fonction primitive du premier membre çst l {ça— B), et celle du second membre, est l {a — A), la caractéristique l dénotant le logarithme hyperbolique (leçon quatrième) ; donc, prenant les fonctions primitives et ajoutant la constante arbitraire Ik, on aura
l{ça — B) — l(a—A) + lk-,
d’où Ton tire
ça — B — k{a—A'),
Telle devrait donc être la forme de la fonction d’où l'on déduit
Ces valeurs étant maintenant substituées dan3 les deux équations ci-dessus, elles deviendront
(a— A) (x-f ty)=o,a: + ty = o,
auxquelles on ne peut satisfaire qu’en faisant
a: -f- Ay = o ;
ce qui ne donne rien.
Jusqu’à présent on avait cru que toute équation primitive qui satisfait à une équation du premier ordre à trois variables , avec une fonction arbitraire, est aussi générale que celle-ci peut le comporter. L'exemple précédent met cette proposition en défaut, et nous prouverons plus bas la même chose, d’une manière générale et directe.
Il est vrai que, dans le cas que nous venons d’examiner, on peut donner à l’équation primitive une forme plus simple et plus générale.
Car, en considérant les deux équations
z = ax -{-y/fa , x -\-yf'a = o , on voit que la seconde donne
OC
d’où il résulte que a est une fonction de - .
Faisons donc
nous aurons
qa
mais il faudra qu’il y ait entre les fonctions 4 ^ et 4> une relation dépendante de l’équation
En effet , si en regardant a comme une variable , on prend
les fonctions dérivées relativement à la quantité - 1 les équations
donneront
donc , substituant dans la seconde , pour a' et pour qfa , leurs valeurs , on aura l’équation de condition
Maintenant la première équation devient , par la substitution des valeurs de a et de <pa ,
et si l’on met cette équation sous la forme
=*[4(f)+MD3>
376 CALCUL
il est visible qu’elle se réduit à celle-ei
La fonction Ÿ demeure absolument arbitraire , puisque les deux fonctions 4 et£* (P ne forment qu’une fonction de - : ensorte que la relation trouvée entre ces fono
tions , devient ici inutile.
Et il est bon de remarquer que cette dernière solution est précisément celle que l’on trouve directement par la méthode générale exposée plus haut pour les équations du premier ordre de la forme
Car l’équation proposée
étant divisée par x et comparée à la formule précédente , donne M=^ ,N =-;
de sorte que les deux équations particulières
y — Mx — o , et 2! — Nx' = o ,
deviennent
, yx'
, zx
Chacune de ces deux équations étant divisée par x , devient
DES FONCTIONS, une dérivée exacte , et on a les deux primitives
On a ainsi
d’où résulte l’équation primitive
qui s’accorde avec celle que nous venons de trouver.
On voit aussi que cette forme renferme l’équation complète
z = ax -f- by ; car il n’y a qu’à supposer
Si l’on avait l’équation du premier ordre
la caractéristique f dénotant une fonction quelconque donnée des deux fonctions dérivées , on trouverait aisé-
ment pour son équation primitive complète , l’équation z—ax 4- by +f(a, b) , a et b étant deux constantes arbitraires.
En effet, en prenant les deux dérivées de cette équation par rapport à x et à y , on a
378 CALCUL
et substituant ces valeurs de a et b , il vient l’équation proposée.'
Maintenant, pour trouver l’équation primitive générale, il n’y aura qu’à faire
b=<pa ,
et déterminer ensuite a par la dérivée , prise relativement à a seul.
Ainsi on aura le système des deux équations
z = ar +y<pa -f /( «, <pa ) , x +y<p'a -f f (a, ça ) = o.
Enfin, pour avoir l’équation primitive singulière, on éliminera a et i au moyen des deux dérivées, l’une par rapport à a , et l’autre par rapport à b. Ces dérivées sont
Comme l’élimination de a et b est impossible tant qu’on ne particularise pas la fonction f(a, b)-, si à la place des variables x et y , on introduit les deux variables a et J, on aura
et de là
*=f(.a>b)—«f (a)-bf(b')
pour l’équation primitive singulière.
Si on considère ces trois espèces d’équations primitives , il est facile de voir qu’elles sont essentiellement distinctes l’une de l’autre , et que chacune d’elles ne peut être renfermée dans aucune des deux autres, ni les renfermer; car, dans la première, les quantités a et b sont constantes, au lieu qu’elles deviennent, dans la seconde et dans la troisième, des fonctions différentes des variables x, y, z.
Mais on peut s’en convaincre d’ùne manière plus sensible , par la considération des surfaces représentées par ces diffé-
DES FONCTIONS. 3rq
rentes équations primitives. Pour cela , je considère d'abord l’équation générale du plan
z — ax-\- by + c,
dont la position par rapport aux trois plans rectangulaires des.r,y, des x, z, etdes^y, z , est déterminée par les constantes a, b , c.
Car il est facile de prouver que a est la tangente de l’angle que l’intersection de ce plan avec le plan des x et z fait avec l’axe des x; que b est la tangente de l'angle que l’intersection du même plan avec l’autre plan des^ et z fait avec l’axe de y-, enfin que ce plan passe par le point de l’axe des z , qui est éloigné de l'origine commune des trois axes de la quantité c. Ainsi on peut regarder a, b , c comme les élémens du plan , puisque sa position par rapport aux axes des x, y, z, en dépend entièrement.
Si on combine l’équation du plan avec ses deux dérivées prises séparément par rapport à x et on peut déterminer les valeurs des trois élémens a, b , c. en fonctions de x, y, z, et l’on trouve
Or nous avons démontré rigoureusement, dans la Théorie des Fonctions analytiques , que , par rapport à une surface quelconque dont on a l’cquation en x,y,z, les expressions précédentes des quantités a, b , c donnent également les élémens du plan tangent de la surface dans le point qui répond aux coordonnées x, y, z; d’où il suit que deux surfaces, qui, pour les mêmes coordonnées, auront aussi les mêmes valeurs des fonctions dérivées et ^—7^ , se toucheront né-
cessairement dans le point qui répond à ces coordonnées, puisqu’elles auront l’une et l’autre le même plan tangent.
CALCU
Cela posé , l’équation primitive complète F(x,y,z, a, b) = o,
dans laquelle a et b sont des constantes arbitraires , représente une surface dont la nature et la position dépendent de ces constantes ; ensorte qu’en faisant varier ces constantes , la surface variera aussi successivement.
Or, si on fait
b =<pa
et qu’on détermine a en fonction de x, y , ss, de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si a ne variait pas , ce qui donne l’équation primitive générale , il est visible que cette équation représentera une surface tout-à-fait différente , mais qui aura, dans chaque point, le meme plan tangent que si la quantité a demeurait constante, puisque les expressions des quantités et restent les mêmes. Donc
cette surface sera touchée dans chaque point par la surface de l’équation primitive complète qui répond à
b = <pa,
et où a aura une valeur constante déterminée par l’équation F'(a, ça) = o,
qui est la condition de l’équation primitive générale : les valeurs dex,y, z, dont a devient fonction, répondant au point de contact des deux surfaces , et étant censées constantes par rapport aux surfaces touchantes.
Mais en regardant a comme constante , l'équation
F'(a, tpa) = o
représente aussi une surface -, et son intersection avec la sur-
DES FONCTIONS. 38l
face, représentée par
F(x,y, z,a, <fa),= o
sera une ligne tracée sur cette même surface, dont chaque point sera, par conséquent, un point de contact des deux surfaces dont il s’agit.
D’où l’on peut conclure que la surface représentée par l’équation primitive générale , sera touchée , dans toute l’étendue d’une ligne , par une des surfaces représentées par l’équation primitive complète , dans laquelle on supposera l’une des constantes
De manière que l’équation primitive complète F(x,y,z,a,<pa) = o,
où a est constante, donnera, en faisant varier successivement la valeur de a, une infinité de surfaces successives dont chacune aura une ligne d’attouchement avec la surface représentée par l’équation primitive générale -, et il est aisé de concevoir que ces lignes ne pourront être que les intersections mutuelles des mêmes surfaces ; que , par conséquent , la surface représentée par l’équation primitive générale , ne sera formée ellemême que par toutes ses intersections successives.
Maintenant il est évident que la nature de cette surface est subordonnée à la fonction ç a , et qu’elle n’a de contact qu’avec celles des surfaces de l’équation primitive complète
pour lesquelles
b ~ ça.
Mais si , en regardant a et b comme variables , on les détermine par les deux équations
CALCUL
ce qui donne alorsl’équation primitive singulière, la surface représentée par cette dernière équation sera aussi touchée par la surface de l'équation primitive complète, dans laquelle a et b auront des valeurs constantes , puisque les valeurs des expressions
et (7) sont encore les mêmes , soit que a et b soient
constantes ou variables ; et les points d’attouchement pour des valeurs données de « et b , seront déterminés par les deux équations
combinées avec l’équation primitive
de sorte que , pour chaque valeur de a et b , il n’y aura qu'un point de contact déterminé ; d’où il est aisé de conclure que la surface représente par l’équation primitive singulière , ne sera touchée dans chacun de ses points que par une des surfaces de l’équation primitive complète
mais qu’elle sera touchée par toutes celles qui peuvent être représentées par cette équation , en donnant à a et b des valeurs constantes quelconqûes ; de sorte qu’on pourra regarder cette même surface comme formée par l’intersection mutuelle et continuelle de toutes les surfaces dont nous parlons , en faisant varier successivement les valeurs des constantes a et b.
Cette théorie n’est , comme l’on voit , qu’une généralisation de celle que nous avons donnée dans la leçon dix-huitième , sur les courbes représentées par les équations primitives ordinaires ou singulières des équations du premier ordre à deux variables.
L’équation primitive complète
z—ax+by+f(a,b)
que nous avons traitée plus haut , représente , comme l’on voit, un plan dont la position dépend des deux constantes a et b.
Si on fait
. b — (fa ,
et qu’on détermine a par l’équation
x+yq/a + f (a,ç«) = o
pour avoir l’équation primitive générale , la surface représentée par cette équation sera touchée et formée par l’intersection mutuelle et successive de tous les plans représentés par l’équation
z = ax-\-yfa-\-f (a, qa) ,
en donnant successivement à a toutes les valeurs possibles ; et cette surface sera développable dans le sens le plus étendu. Mais si l’on détermine a et b par les deux équations
ce qui donne l’équation primitive singulière , la surface représentée par cette dernière équation sera formée et touchée par tous les plans qui peuvent être représentés par l’équation
z = ax-f-ty+/(a,è) ,
en donnant successivement à a et b toutes les valeurs successives possibles.
Et toutes ces-différentes surfaces seront représentées à-la-fois par l’équation du premier ordre
On peut voir , dans les écrits de Monge , la théorie de la génération des surfaces et des équations qui peuvent les représenter , développée dans toute son étendue , et avec des considérations particulières et ingénieuses qui lui appartiennent.
384 CALCUL
Lorsque l'équation du premier ordre renfermera plus de trois variables , on pourra aussi la supposer déduite d’une équation entre ces mêmes variables , et autant de constantes arbitraires qu’il y aura de variables moins une ; car alors cette équation fournira autant d’équations dérivées qu’il y aura de constantes , par lesquelles on pourra , en éliminant ces constantes , parvenir à l’équation du premier ordre.
L'équation avec les constantes arbitraires sera donc l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre ; et on en pourra déduire des équations primitives plus ou moins générales par la variation de ces constantes , en supposant l'une , ou quelques-unes d’entre elles , fonctions de toutes les autres , et les déterminant par les équations dérivées prises par rapport à chacune de celle-ci.
Enfin si , sans établir aucun rapport entre ces constantes , on les détermine toutes par les équations dérivées prises par rapport à chacune d’elles en particulier , on aura l’équation primitive singulière ; car , par ces déterminations , les équations dérivées resteront les mêmes , et le résultat de l’élimination sera , parconséquent , le même que si les variables étaient demeurées constantes.
Ainsi l’équation entre quatre variables t, x,y , z , et trois constantes a, b , c ,
sera la primitive complète de l’équation du premier ordre entre t , x ,y , z , et les trois fonctions dérivées déduites des trois dérivées prises par rapport à t , x,y ,
en éliminant , par leur moyen , les trois constantes a , b , c.
De
DES fonctions:
De là , en regardant a, b ,c comme variables , et faisant
on aura l'équation primitive générale par les deux équations dérivées relatives à a et b ,
F' (a) -{-q/ (a) X, F' (c)=o, F' (à)+q>' (à)XF'(c)=oî et si on fait à-la-fois
c “ <fd , b — %J.û f
on aura une autre équation primitive moins générale , en déterminant a par l’équation relative à a
Enfin on aura l’équation primitive singulière par les trois équations dérivées relatives à a, b, c,
On voit parla qu’en général toute équation du premier ordre entre trois variables , dont une est censée fonction des deux autres , peut avoir pour équation primitive une équation entre ces mêmes variables , contenant une fonction arbitraire ; que ’ toute équation du premier ordre entre quatre variables , dont une sera censée fonction des trois autres , pourra avoir pour équation primitive une équation entre ces quatre variable. Contenant une fonction arbitraire de deux quantités formées de ces variables , et ainsi de suite : l’introduction de ces fonctions arbitraires dans les équations primitives , et leurevanouissement dans les équations dérivées , est le vrai caractère qui distingue les équations dérivées à plusieurs variables , de celles qui n’ont que deux variables , et où l’équation primitive n’admet que des constantes arbitraires.
Nous avons donné plus baut une méthode directe pour trou-
586 CALCUL
ver l’équation primitive de toute équation du premier ordre à un nombre quelconque de variables , lorsque les fonctions dérivées n’y passent pas le premier degré. On peut , par une considération fort simple , que j’ai proposée il y a long-temps ( Mémoires de Berlin de 177a) , rendre toute équation du premier ordre à trois variables , susceptible de cette méthode. Mais il se présente alors , dans l'application de la même méthode , des difficultés qui ont échappé à ceux qui ont déjà fait cette application , et que je n’ai pas cherché à résoudre dans la Théorie des Fonctions, en traitant le même sujet (art 104 ) , parceque je n’avais encore rien trouvé de satisfaisant. C’est ce qui m'engage à revenir sur cet objet pour q’y plus rien laisser à desirer.
Faisons, pour plus de simplicité ,
toute équation du| premier ordre à trois variables sera représentée par
F(x,y>z,piq') = o,
«t l’on aura la formule
t! = px' + qy',
à laquelle il faudra satisfaire par le moyen de l’une des indéterminées p et q , l’autre étant donnée par l’équation du premier ordre.
Comme les quantités p et q ne peuvent être que des fonctions de x , y , z , si on suppose
p=^{x,y,z), q~^{x,y,z), on aura l’équation
qui ne peut avoir une équation primitive qu’ autant que les fonctions désignées par ^ et <p satisferont à la condition
comme nous l’avons vu dans la leçon précédente. Or, puisque
et <P(.x>y,z) = <1,
ou aura
SR
fc*
donc , faisant ces substitutions , on aura pour l’équation de condition , celle-ci du premier ordre ,
ou bien
L’équation donnée
tZ.p.q^ o,
fournit ces trois dérivées relatives à x, y , z,
F'CO+F' (P)x(ÿ)+F'(q)x(j-) = o,
588 CALCUL
par le moyen desquelles on pourra éliminer les fonctions dérivées de p ou de q.
Eliminons celles de q, on aura , par la première et la troisième.
et substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus du premier ordre , elle deviendra
F' (x) + pF' (s) +F'(P)X (0 + F'(q)X (0
+ [p^'Cp)+^'(?)](ÿ)==o;
©ù l’on voit que les fonctions dérivées de l’inconnue p , ne sont qu’à la première dimension , la quantité q étant d’ailleurs une fonction de p , x ,y , z, donnée par l’équation
Lorsqu’on aura déterminé , par ces équations, les fonctions p et q , l’équation
z'z=pa/ + qÿ
aura nécessairement une équation primitive qui sera en même temps l’équation primitive de la proposée du premier ordre
Comparons maintenant l’équation ci-dessus , qui contient les fonctions dérivées de p, relativement aux trois variables x, y, z, avec la formule
que nous avons déjà traitée dans cette leçon , et dont nous avons vu que l’équation primitive dépend des trois équations particulières
x' — t'L—o, y'—tfM—o , z'—t'N—o,
nous aurons , en prenais MBspectivement les variables x ,y , z,p à la place des variables t , x , y ,z , les valeurs
™ pF'W+qF' (9)
,r F'(x) + pF (z).
de sorte que les trois équations particulières deviendront / F' (p) - a/F' ( q) = o,
z'F' (p) - x' IpF'(p) + qF'(ç)] = o r P'F' (p) + x' [ F' (x) + pF' (z)] = o.
Comme ces trois équations ne renferment que quatre variables x , y, z, p , on pourra les réduire à une seule entre deux variables; ainsi la difficulté est rabaissée aux équations de ce genre.
Supposons donc qu’on ait trouvé leurs équations primitives qui renfermeront nécessairement trois constantes arbitraires a , b, c; on pourra en tirer les valeurs de ces trois constantes en x , y y z et p ; et si on dénote ces valeurs par P, Q, R, on aura sur-le-champ, comme nous l’avons démontré, l’équation /î=<p(P, Q)
pour l’équation primitive de l’équation du premier ordre en x, y, z et p, la fonction ç (P , Q) étant une fonction arbitraire quelconque de P et de Q.
Cette équation, combinée avec l’équation donnée
donnera les valeurs de p et q en x, y, z , qui, étant substituées dans l’équation
z'=px' +qy',
la rendront susceptible d’une équation en x , y, z, qui sera l’équation cherchée.
Comme jusqu’ici rien ne limite la Fonction <p (P , Q ) , il s’ensuivrait que l’équation primitive daine équation du premier ordre à trois variables pourrait renfermer une fonction arbitraire de deux quantités , tandis que , dans les cas que nous avons examinés, nous n’avons jamais trouvé que des fonctions arbitraires d'une seule quantité; il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’il est impossible de faire disparaître d’une équation à trois variables, une fonction arbitraire de deux quantités , par le moyen de ses deux équations dérivées.
Cette difficulté , je l'avoue , m’a long-temps tourmenté; enfin je suis parvenu à la résoudre par les considérations suivantes. Je remarque d’abord que, comme les trois équations P ~ a , Q = b, R— c
satisfont par l’hypothèse , aux trois équations du premier ordre y F' (p) —x'F'(q) =o, z' F' (P)-*'[pF'(p)+qF' (9)] = o, p'F'(p) + x'[ F'(x) + pF'(z) 3=o,
avec les constantès arbitraires a, h, c, si on tire de ces mêmes équations
les valeurs de x , y , z en fonction de p , et qu’on les substitue dans les équations précédentes , elles deviendront nécessairement identiques ; de sorte que , par ces substitutions , les premiers membres des équations dont il s’agit , deviendront identiquement nuis , quelles que soient les valeurs de p , a , b , c. En général , comme les variables x , y , z, p sont regardées comme indépendantes , il sera indifférent de substituer les valeurs de trois de ces variables exprimées en fonctions de a , b , c et de la quatrième variable.
Or le premier membre de la première étant multiplié par q , et retranché du premier membre de la seconde des mêmes équations , donne
P' (.P) X(z'— pJ— qy')-
Donc, si dans la formule z — px' — qy , on fait les mêmes substitutions des valeurs de x , y , z eil p , le résultat sera encore identiquement nul.
A la place des variables x, y, a on peut, sans nuire à la généralité , introduire les quantités a , b , c , regardées comme variables, en conservant les mêmes expressions de x ,y, z en a, b , c. Alors, dans la formule z' — px' — qy', les termes provenant de la variabilité de p, se détruiront mutuellement, puisque ces mêmes expressions rendent cette formule nulle dans le cas où a, b, c sont constantes : elle deviendra donc de la forme Au -j- B b' -f- Ce', dans laquelle A , B , C seront des fonctions de p, a, b, c.
Donc l’équation
z' — px' — qy' — o
deviendra
Aa' + Bb' + Ce' = o;
et la condition qui doit la rendre susceptible d’une éqnation primitive, sera, par ce que nous avons trouvé,
cr=<p(a, b),
puisque la substitution des valeurs de x , y , z en p , a, b , c, donne
d’où ces valeurs sont supposées tirées.
Or, en prenant les fonctions dérivées , on a
c'r=Gy (a)-f-èV (b)
%3 CALCUL
Donc , faisant ces substitutions , l'équation
\a+Cç' («)]«' + IB + Cp (b) 2 b’=o;
aura nécessairement une équation primitive, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la variable p disparaitra d’elle-meme de l’tquation , puisque sa fonction duivte p' a déjà disparu.
Alors l'équation sera entre les deux seules variables a et b , et aura toujours une équation primitive, par laquelle b deviendra fonction de a seul ; et cette fonction sera arbitraire , à cause de la foi.ction aibitiaire ç(a, b).
Ainsi les deux quantités b et c seront nécessairement, l’une et l'autre, fonction de a seul, mais il faudra qu’elles satisfassent à l’equation
Ja’ + Bb' + Ce' =o.
Soit donc
b~ -\.a, c~ ça, ■ .1
en les substituant dans cette équation, on aura A + lija + Cç'a — o;
ce qui donne une relation entre les deux fonctions ça et ^J<r, et il en restera une d’arbitraire.
Maintenant , si on remet pour a , b , c leurs valeurs P, Q , R, on aura, pour l’equation primitive cherchée, le système des deux équations
Q = 4P,Rz=çP;
d'où, en éliminant p , on aura une équation en x ,y avec uae fonction arbitraire.
Telle est la solution directe et complète du problème; mais nous verrons qu’on peut la simplifier dans plusieurs cas.
DES FONCTIONS. 3g3
Prenons pour exemple l’équation du premier ordre
On aura ici
F(*>y> z, P> ?) =z—pq = o-,
donc
Et les trois équations du premier ordre en x, y, z , p deviendront
— <7/ + Px' ~°> — 92' 4- npqx = 0 , — qp' + px' = o.’
Or l’équation
z=pq>
donne
donc les trois équations dont il s’agit deviendront
zy' — p*x'=o, z '■ — 2px' = o , zp1 — p*x'x= o,
et l’on pourrait faire l’une des fonctions dérivées x',y',z',p', égale à l’unité.
La première et la dernière donnent
d’où l’on tire l’équation primitive
y=zp + a,
a étant une constante arbitraire.
3^4 CALCUL
Ensuite la seconde et la troisième donnent
savoir ,
pz =azp ;
les fonctions primitives logarithmiques sont l.z = l.p * -{- l.b ;
z=bp\
b étant une constante arbitraire.
Enfin , si dans la première on substitue p' pour j1' , et bp* pour z , on a , en divisant par p 1 ,
bp — x = o ;
d’où l’on déduit , en prenant les fonctions primitives , x=bp - f- c,
c étant la troisième constante arbitraire.
Ainsi on aura , en dégageant les valeurs de ces constantes ,
a=y — p=P,b=zy=Q , c = x — Z- = R.
Maintenant , si dans l’équation
z' — px’ — qy1 — o ,
on substitue pour q la valeur ? , elle devient
z — px — — o.
Et si , à la place de x,y, z, on y met les expressions trouvées
DES FONCTIONS, ci-dessus en p, a, b, c, en regardant les quantités a, b variables , on a la transformée
c comme
p3b' -f- a bpp’ — p* b' — bpp' — pc — bpp' — bpa = o ,
qui , en effaçant ce qui se détruit , et divisant ensuite par p , se réduit à
c' -f- ba' = o.
Donc , faisant
b = 4a , c = <pa ,
on aura
ce qui donne
ç'a -f 4a = o ; 4a ~ ~~ — ça*
Ainsi on aura le système de ces deux équations
savoir ,
— y—p'i» jJ-= — *' (y— p);
d’où il faudra éliminer p ; et la fonction ç (y — p ) demeurera arbitraire.
Nous ferons ici une remarque importante : lorsqu’on a trouvé deux équations primitives renfermant deux constantes arbitraires , comme *
y = p-\~a, etz = è/}%
on pourrait croire qiyen éliminant p , on aurait une équation primitive avec deux constantes arbitraires, qui serait , parconséquent, 1 équation primitive complète de la proposée, et d ou Ion pourrait ensuite tirer l’équation primitive générale avec une fonction arbitraire.
3g6 CALCUL
On aurait , de cette manière l’équation
Mais il est facile de se convaincre qu’elle ne satisfait pas à la
proposée
car elle donne
Il en serait de même si on employait , pour chasser p , la seconde et la troisième équation , on aurait alors
c=x—y(bz),
savoir ,
ce qui donnerait
Mais si on employait la première et la dernière , on aurait, par l’élimination de p ,
z=(x — c) (y— a); cette expression donne
valeurs qui satisfont à la proposée.
La raison de cette espèce de bizarrerie se trouve dans l’équa» tion donnée plus haut,
c' -f- ba! ■=. o.
Elle fait voir que les deux quantités a et c peuvent être constantes ensemble ;’que , parconséquent, les deux équations
P = a, et R — c
ont lieu à-la-fois , de sorte qu’en éliminant p on a une équation en x, y, z, et les deux constantes arbitraires a, c, qui sera , parconséquent, l’équation primitive complète de la proposée. Mais l’équation ne serait pas satisfaite par la simple supposition de a et b , ou de b et c , constantes ensemble ; d’où il suit que les deux équations
P = a et Q=xb, ou Q — b et /? — c, prises ensemble , ne satisfont pas à la proposée.
Au reste , on peut trouver l’équation primitive complète ,' au moyen d’une seule de ces équations -, car elle donne une valeur de p en x , y, z , et une constante arbitraire ; et comme cette valeur satisfait à l’équation du premier ordre en x , y, z et p , elle rendra l’équation
z' — pxf — qÿ 7=10
susceptible d’une équation primitive : ainsi il n’y aura qu’à chercher cette équation en y ajoutant7 une constante arbitraire, et l’on aura l’équation primitive complète avec les deux constantes.
Ou bien on tirera de l’équation trouvée la valeur de p en x, y, z) et comme
on cherchera l’équation primitive , en ne regardant cjue z et x
CALCUL
comme variables. Cette équation pourra alors renfermer une fonction arbitraire de y , qu’on déterminera aisément par l'équation proposée ; et comme celle-ci est du premier ordre , la fonction de y renfermera au moins une constante arbitraire; de sorte qu’on aura de nouveau une équation primitive complète avec les deux constantes.
Prenons dans l’exemple précédent la première équation P — a , savoir ,
Elle donne et comme on a
on aura
Ces deux valeurs étant substituées dans l’équation
donnent
z1 — px' — qy'—o.
équation qui , étant divisée par y — a, a pour primitive
où c est la nouvelle constante arbitraire.
Or cette équation est la même que nous avons trouvée cidessus par l’élimination de p.
La même équation
devient , en substituant pour p sa valeur
Comme il n’y a ici que la fonction dérivée de a relativement à x , on peut ôter les parenthèses et mettre l’équation sous la forme
dont l’équation primitive , en regardant y comme constante , est
Y étant une fonction quelconque dey'.
Cette valeur donne , en prenant les fonctions dérivées par rapport à x et y ,
Substituant ces expressions dans la proposée
on a
d’où l’on tire et parconséquent
en prenant c pour une constante arbitraire.
Ainsi l’équation primitive devient , comme ci-dessus , z = (y — a) (x — c).
Ayant cette équation primitive complète , pour en tirer
4oo CALCUL
l’équation primitive générale , on fera
c—<pa,
et on prendra la dérivée par rapport à a seul ; on aura ainsi le système des deux équations
z=(y — a ) (a; — çu), x— ça-f^y— ■ a)$'a=zo;
d'où il faudra éliminer a.
Pour les comparer aux équations trouvées ci-dessus par la méthode générale , il n’y a qu’à les mettre sous la forme
7 sl — ta‘
Comme la quantité a doit être éliminée, on peut metrre à sa place une quantité quelconque. Si on y met sa valeur y — p, en a les mêmes équations déjà trouvées, d’où il faut ensuite éliminer p.
La théorie des équations à plusieurs variables des ordres supérieurs au premier, est encore très-imparfaite.
Lorsque ces équations admettent une équation primitive de l’ordre immédiatement inférieur , on peut les regarder comme provenant d’une équation primitive complète de ce dernier ordre avec deux constantes arbitraires, ainsi que nous l’avons démontré pour les équations du premier ordre ; et lorsqu’on connaît, d'une manière quelconque, cette équation primitive , on peut , par les mêmes principes , en tirer les équations primitives générales et singulières ; mais on sait que, dès le second ordre, il y a une infinité d’équations qui ne sont point susceptibles d’une équation primitive du premier ordre , et qui admettent néanmoins une équation primitive absolue sans fonctions dérivées. Nous n’entrerons point ici dans ce détail qui nous mènerait trop loin , et nous renvoyons , pour ce qui regarde les équations de ce genre , aux traités connus de calcul différentiel. . *
