LEÇON VIN GT-UNIÈME

Des équations de condition par lesquelles on peut reconnaître si une fonction d'un ordre quelconque de plusieurs 'variables , est une fonction dérivée exacte. Analogie de ces équations avec celles du problème des Isoperimètres. Histoire de ce problème. Méthode des variations.

TT o ü T E fonction d’une seule variable peut toujours être regardée comme une dérivée exacte; car si elle n’a pas na-* turellement une fonction primitive, on peut toujours en trouver une par les séries , soit en résolvant la fonction donnée en série de puissances de la variable , et prenant ensuite la fonction primitive de chaque terme , soit en employant la série générale donnée dans la leçon douzième.

Il n’en est pas de même pour les fonctions de plus d’une variable ; et quoiqu’on puisse toujours s’assurer, par les règles de la dérivation des fonctions, si une fonction composée de différentes fonctions dérivées résulte d’une fonction primitive donnée , comme nous l’avons vu dans la leçon dix-neuvième , il est souvent difficile de juger si elle est Une dérivée exacte d’une fonction quelconque inconnue. Cet objet a occupé les géomètres presque dès la naissance du calcul différentiel ; ils ont cherché des caractères généraux pour reconnaître si une fonction d’un ordre quelconque peut être la dérivée exacte d’une fonction de l’ordre immédiatement inférieur, ou même

Ce

/foa * CiLCDL

d’un ordre inférieur quelconque. Ce «ont ces caractères qu’on connaît dans le calcul différentiel, sous les noms de conditions d’intégrabilité , et qu’ Euler et Condorcet ont réduits à des formules générales et élégantes, qui méritent d’être connues.

Pour trouver ces formules de la manière la plus simple, je commence par considérer une fonction ^de différentes variables x , y , a, etc. et de leurs dérivées, dans laquelle une de ces variables a et ses dérivées a', a*, etc. , ne se trouvent partout qu’à la première dimension ; il est clair que la fonction V sera de cette forme

V— ATa + Pt! + Qa" + Rzm + etc. ,

N, P, Q, etc. étant des fonctions de x , y , etc. et de leurs dérivées sans a.

Rien n’est plus facile que de trouver les conditions nécessaires pour qu’une fonction de cette forme soit une dérivée exacte, indépendamment d’aucune relation entre la variable a et les autres.

En effet, si on considère les fonctions dérivées du produit de deux quantités quelconques, et qu’on dénote , comme nous l’avons proposé à la fin de la leçon deuxième , par des traits appliqués aux parenthèses, les fonctions dérivées des quantités renfermées dans ces parenthèses , osa

{P z )' = Pt! + P' z }

donc

Pa'=(Pa)' — P' a.

On a de la même manière

Çz’=(Ça')'-QV

ÇV=(Ç'a)'— Ç'a;

donc

Ça' = (Ça')'-(Q'ay + Ç'*-

Ou trouvera pareillement

DES FONCTIONS. 4o3

/k-=(/u*y— (/ro'-K/î"*)'— /*•*

et ainsi de suite.

Faisant ces substitutions dans l’expression de V t elle devient , en ordonnant les termes

/^= (iV — P' -f Ç' — R* + etc.)z + (P*)' — ( Ç's)' -Kfl'*)'— etc.

+(ÇO'-(ffO'+«tc.

+(fl»'y— etc.

etc.

Comme tous les termes de cette formule , à l’exception de ceux de la première ligne qui se trouvent multipliés par z , sont déjà des fonctions dérivées exactes, il faudra, pour que la fonction V soit une' dérivée exacte , que les termes multipliés par z , savoir :

{N — F+ Q"— R*+etc.)z

forment ensemble une fonction dérivée exacte.

Or il est facile de se convaincre que cela est impossible tant qu'on n’établit aucune relation entre z et les autres variables. Donc il faudra que ces termes disparaissent d’eux-mêmes de l’expression de V, ce qui donnera l’équation de condition

N— P' + R" + etc. = o

laquelle devra parconséquent être identique pour que la fonction V puisse avoir en général une fonction primitive. Lorsque cette condition aura lieu , la fonction primitive de sera évidemment ..

(P — Q'-j-R" — etc.)z-f(Q — R,-f-etc.)z'-4'(^ — etc.) 2"+ etc.

En général , quel que soit le nombre des variables contenues dans la fonction V , si l’une d’elles ainsi que ses dérj->

4c4 CALCUL

vées sont linéaires , on aura toujours , relativement à cette variable, la même équation de condition, pour que la fonction ^devienne une fonction dérivée exacte , indépendamment d’aucune relation entre ces variables.

Après avoir résolu le cas des fonctions linéaires par rapport à l’une des variables , nous allons réduire à ce cas très-simple la recherche des équations de condition pour les fonctions d’une forme quelconque.

Supposons qu’une fonction V de x , y , y' , y", etc. d’un ordre quelconque , soit la fonction dérivée exacte de la fonction V de l’ordre immédiatement inférieur , indépendamment d’aucune relation particulière entre x et y ; il est clair que si dans ces deux fonctions on substitue à-la-fois y -J- » à la place de y, et conséquemment y' -f- y" -f- »", etc., à la place de y', y", etc. , en supposant a une fonction indéterminée de x, ces fonctions continueront à être l’une la fonction dérivée exacte de l’autre , puisque cette dérivation ne dépend point de la valeur de y. Donc elles le seront encore si , après ces substitutions , on les développe suivant les puissances et les produits de », »', a", etc.

Dénotons par U la totalité des termes du développement de U , où les quantités», etc. ne se trouveront qu’à

la première dimension ; par U la totalité des termes où ces quantités formeront deux dimensions, etc.

Dénotons de même par V\& totalité des termes du développement de où les mêmes quantités » , »', etc. se trouve-

ront à la première dimension ; par V la totalité des termes où ces quantités formeront deux dimensions, etc.

On aura etc. , pour le développe-

ment de U, et V V + V V -Y etc- , pour le développement de V.

DES FONCTIONS. ^o5

Cette dernière série sera donc la fonction dérivée exacte de la première ; et il est facile de voir que chaque terme de l’une devra être la fonction dérivée de l’autre , tant que les quarvtités a,u', etc. demeureront indéterminées; car ces quantités

n’étant qu’à la première dimension dans la fonction y t sa fonction primitive ne pourra contenir aussi que les premières dimensions des mêmes quantités ; parconséquent il n’y aura que

le terme U qui puisse être sa fonction primitive. Il en est de

même des termes correspondans V et U , où ces quantités montent à la seconde dimension ; et ainsi de suite.

Il faut donc d’abord que la fonction V soit une dérivée exacte, indépendamment d’aucune relation entre x, y et or.

Or, puisque V est la partie du développement de V qui ne contient que les premières dimensions de a , */ , etc. , il

est clair que cette fonction ne peut être que de la forme

y = N( » -f- PtS -f- Qa>n -f- Ram -f- etc. ,

les coelïîciens N, P, Q , etc. étant des fonctions de x, yt y', y", etc. , sans «. Ainsi tout se réduit à trouver les conditions nécessaires pour qu’une fonction de cette forme soit> généralement parlant, une dérivée exacte.

On a donc ici le cas que nous venons de résoudre , et il est visible qu’en prenant la variable ». à la place de z , et conservant les autres dénominations , on aura l’équation de condition

N— P' -f Qu— PiM+ etc. = o ,

laquelle devant avoir lieu d’elle-même indépendamment d’aucune relation particulière entre x et^-, devra être entièrement identique.

Cette équation ayant lieu, on aura pour la fonction primi—

4oS C A L C V i

tive de V

(P— Ç'+fl»etc>-KQ— fl'+etc>'-f(F-etc.)^-f-etc.

C’est parconséquent la valeur de la fonction U.

Ayant ainsi la valeur du premier terme U du développement de la fonction primitive U , on pourra en déduire les valeurs

de tous les termes suivans U , U, etc. par les principes exposés dans la leçon dix-neuvième, en regardant les quantités y , y' , y" , etc. comme autant de variables indépendantes; car si on représente la quantité U par la fonction

, . F(x>y>y>y”, etc.),

la fonction

F (x ,y + a ,/ + a' ,y" + , etc.)

développée suivant les puissances et les produits des quantités a , J t a", etc. deviendra

F{x>y,y',y", etc.) -J-a F' Cy)+.' P (/)+»' P (/') + etc. +>■ F» OO + « *' F" (y,/) + r F" ( y ) + etc.

+ + F*v (y, y ) + etc.

etc.

Je ne renferme ici entre les crochets , pour plus de simplicité , que les quantités par rapport auxquelles il faut prendre les fonctions dérivées indiquées par les accens.

On aura donc ainsi

Vz= o F' (y) + F' (/ ) + a>" F (/) - f etc.