V - * a* F* {y ) + » •' F" (y ,y ) + &*'* F" (/ ) + etc

V s ïV *S F' 00 + î •• »' F"1' (y, /) + etc.

■ etc.

Or ayant trouvé ci-dessus la valeur de U , la comparaison des termes multipliés par a> , u , u>" , etc. donnera

F' ( y) = P — Ç' + fl" — etc.

F' (y>asÇ — fl' + etc.

F' (/) = fl — etc., etc.

Ayant ainsi les fonctions dérivées du premier ordre par rapport à chacune des quantités y, y' ,y" , etc. , on en déduira, par les règles données , les fonctions derivees du second ordre et des suivans, par rapport à chacune des mêmes quantités; on

aura parconséquent les valeurs des termes suivans U , U , etc. du développement de U . Or on suppose

Ct , ï 3

F(x,y + »,y+»',y + **> et c.) = U+U+Ù+U, etc.

Ainsi on aura

F(*,> +*,y + m',y + »', etc.)-F(*,>y,y, etc.)

— Ù+U+U + etc.

Parconséquent la différence des deux fonctions

F(x, ^ etc.) et FCx^.y, etc.) sera donnée au moins par les séries.

Représentons maintenant par

/(*.jy>y>/>etc)

la fonction proposée V dont on a suppose que TJ ou ,

F (a?, y , /, y", etc.) est la fonction primitive, on aura F (*, y+ », y, + y" + », etc. ) pour la fonction

4o8 CALCUL

primitive de f(xj .y-f- a, y' +a>, y" -j-a.*, etc.), donc la

fonction primitive de

f(.x> y + « , y + y + » , etc. ) — /(* , y etc. ) sera donnée.

De ce que nous venons de démontrer, il suit :

1°. Qu’une fonction quelconque de|Ia forme/'(o:,y,y,y', etc.) ne peut avoir une fonction primitive , indépendamment d’aucune relation entre x ety , à moins que l’équation de condition

N — P" + Q" — Æ" -f etc. = o ,

trouvée ci-dessus, n’ait lieu d’elle-même.

20. Que toutes les fois que cette équation aura lieu , la fonction

/(■ x » y + « ,y + »' , y" 4- ®* , etc. ) — /(x, y , / , y" , etc. )

aura nécessairement une fonction primitive , quelle que soit la valeur de ai.

Faisons maintenant a — — y , la fonction

f(x, u' >y" + etc.) se réduira à/ (or), et

aura parconséquent toujours une fonction primitive, puisqu’elle ne contiendra plus qu’une variable. Donc aussi la fonction f(x,y,y ,y", etc.) aura nécessairement une fonction primitive. Or ayant supposé que

IVa» -f Pco -f- Qai" -f R j)m -f etc.

sont les premiers termes du développement de la fonction proposée V , lorsqu’on y augmente^ de as ,y de as' , y" de ®", etc. , c’est-à-dire de la fonctio nf (x,y-f-ai, y' -f- a >,y" +a”, etc.), il est visible qu’on aura , en conservant la notation adoptée ,

N=f (.y),P~f (y'), (/)» R=f (y") etc.

Pesorte que l’équation de condition deviendra

f oo -if' cy )j + ïf cy )T - if cy )f +etc.

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Cette formule est la même , à la notation près , que celle qu’ Euler avait trouvée d’abord par une méthode indirecte , tirée de la considération de maximis et minimis , et que Condorcet a ensuite démontrée dans son Calcul intégral. Nous venons de prouver non seulement que la fonction proposée ne peut être une fonction dérivée exacte , à moins que l’équation de condition n’ait lieu , comme Euler et Condorcet l’avaient trouvée , mais encore que si cette équation a lieu , la fonction sera nécessairement une dérivée exacte, ce qui restait, ce me semble , à démontrer -, car la démonstration qu’on en trouve dans le tome XV des No vi Commentarii, de Pétersbourg, est si compliquée , qu’il est difficile de juger de sa justesse et de sa généralité.

Si la fonction proposée contenait non-seulement les variables x, y avec les dérivées y' , y", etc., mais de plus une autre variable z , fonction indéterminée de x avec ses dérivées z' , z", etc., on ferait, par rapport à cette dernière variable, des raisonnemens et des opérations semblables à celles qu’on a faites relativement à la variable y, et on parviendrait à une équation de condition pour s, entièrement analogue à celle qu’on a trouvée pour y.

Ainsi pour qu’une fonction quelconque de la forme

fiy,y,y", etc. z', z", etc.)

soit une fonction dérivée exacte d’une fonction de l’ordre inférieur , indépendamment d’aucune relation particulière entre .y et z, on aura les deux équations de condition

f (y) - If (/)T + Cf C y" ) T - Cf (y’) 3* 4- etc. = o , f (*) — Cf (O T + [f (O ? - U' (03’ + etc. = o.

Et réciproquement ces deux équatidhs ayant lien d’ellesmêmes , on sera assuré que la fonction proposée est une dérivée exacte , quelles que soient les fonctions y et z.

/fl O calcul

Il se présente ici, avant d’aller plus loin, une remarque importante à faire.

Lorsqu’on a cherché les conditions nécessaires pour qu’une fonction donnée de x, y, y' , y" , etc. soit d’elle-même une fonction dérivée exacte, on a regardé y comme une fonction de x , mais inconnue ; c’est pourquoi on a supposé que la fonction donnée ne contenait point les dérivées x' , x" , etc. de la variable x; car, suivant les principes de la leçon septième , lorsque x est la variable principale dont les autres sont fonctions , on peut faire x' = x , et parconséquent x" = o , x'“ = o , etc.

Cependant si , pour plus de généralité , on veut regarder ( ce qui est toujours permis et ce qui a lieu surtout dans les problèmes de Mécanique) les variables x et y comme fonctions d’une troisième variable t , alors toute fonction dérivée d’un ordre quelconque de deux variables x, y, devra contenir également les dérivées de ces deux variables ; et nous avons donné , dans la leçon citée , les transformations nécessaires pour introduire les dérivées de x dans une fonction où l’on a supposé x = i . Il faut seulement observer que lorsque la fonction est censée être une fonction dérivée d’une autre fonction de*, mêmes variables, il faut de plus la multiplier par x! . Car si V est une fonction de x, y , y' , y" , etc. , où l’on a fait x' = 1 , laquelle doive être une fonction dérivée d’une autre fonction V , on aura par l’hypothèse V — V', et pour détruire la supposition de x' ■=. i , il faudra substituer à la place des fonctions

primes , U' les valeurs ; à la place de la fonction se-

.. (ÿj

conde y" la quantité — —j — , et ainsi des fonctions des ordres supérieurs , comme on l’a vu dans la leçon septième ; ainsi on aura = V, et de là V — Vx' .

DE* FONCTIONS. 4i*

Maintenant, si on considère une fonction quelconque de a:, y t af t ÿ , x" , y" , etc., et qu’on demande les conditions nécessaires pour que cette fonction soit une fonction dérivée exacte ; en représentant cette fonction par

f (x, x' , x" , etc. y, y' , y" , etc. ; et faisant, pour abréger,

X=f (x) - [/' (x') T + [ f (x") ]• - etc;

y—fiy) — \J'(y')l + Cf (/ ) ]" -

on aura , par ce qu’on a démontré plus haut, si les deux variables x et y sont regardées comme indépendantes , les deux équations X = o et Y = o , qui devront avoir lieu à-la-fois.

Mais si y doit être une fonction de x, alors en substituant x pour y et les dérivées de <p x, savoir , x' <p ' x, x" q>' x -f- x/a <p" x, etc. pour y , y" , etc., il faudra que la fonction proposée devienne simplement de la forme x' F x, comme si on y faisait x' = 1. Ainsi si on met dans cette fonction x -f- £ à la place de x , et qu’on développe , en ne tenant compte que des premières dimensions de §, elle deviendra

x'Fx+4' Fx-f-x^F'x,

où l’on voit que les termes qui contiennent £ , forment ensemble une fonction dérivée, dont la primitive est £ F x , quelle que soit la valeur de

Je conclus de là que si , dans la fonction proposée où y est censé fonction de x, on substitue aussi x-f- £ à la place de x, et qu’on développe suivant \ , les termes qui ne contiendront que la première dimension de £ et de ses dérivées , devront former ensemble une fonction dérivée exacte , quelle que soit la valeur de £. Or y* étant <p x , il deviendra par la substitution de x -f- ^ à la place de x, <p x -f- ç $>' x , en ne tenant compte que de la première dimension de \\ donc si on fait pour abréger

%q>' x = » , il faudra mettre y -f- a> à la place de^y , tandis qu’on met x -f- £ à la place de x.

Par ces substitutions et les développemens , les termes de la fonction proposée qui ne contiendront que les premières dimensions de se trouveront représentés par

(*) + r/(^) + 4T(^") + etc.

+ */ 00 + “'/(/) + «T (/) + etc.;

et, par ce que nous avons démontré dans cette leçon , pour que ces termes forment une dérivée exacte, il faudra que la quantité

(f (*) - if (*') T + Cf (*’) X - etc.) I + Cf(y) — C/ (/)]' + [/ (/)]'- etc.) »

soit elle-même une dérivée exacte.

Cette quantité est la même chose que X Ç + Y a ; donc en mettant pour a sa valeur | <p' x , elle devient (X-f-‘ Y x ) ç ; et il est visible qu’elle ne peut être une dérivée exacte , indépendamment de la valeur de ç , qui doit demeurer arbitraire ; donc il faudra que cette quantité s’évanouisse d’elle-même , et parconséquent qu’on ait l’équation identique X + Y <p' x. Mais y étant on a en général y' = od <p' x. Donc , substituant cette valeur de <p' x, on aura nécessairement l’équation identique

Xx' + Y y' = o.

Il suit de là que l’équation de condition X—o, qu’on aurait par la considération de la variable x et de ses dérivées , sera identique avec l’équation de condition Y = o , qui se rapporte à la variable y ; car faisant X = o dans l’équation précédente , on a nécessairement Y = o.

On prouvera de la même manière que , pour une fonction composée des trois variables x , y, z. et de leurs dérivées , on aurait l’équation identique

xx' + ry +Zz' = o,

en supposant

Z =/ ( a ) - [f ( *') T + [f ( *• ) T - Lf ( O 7 + etc.'

Desorte que , dans ce cas, l’équation de condition X=o serait comprise dans les deux équations Y = o, et Z— o.

Ainsi on pourra toujours, dans la question présente, se dispenser d’avoir égard aux dérivées de la variable principale , et à l’équation de condition qui en résulterait.

Si on voulait que la fonction V fût une dérivée exacte du. second ordre , il faudrait de plus que la fonction primitive de

V, c’est-à-dire la fonction U , fût elle-même une dérivée exacte. Or on a

U xzp a -\-q a>' + r «* + etc. , en supposant, pour abréger,

p=P— Ç'-f/ï"— etc.,q=Q — /î'-f etc., r=R— etc., etc.;

et il est facile de trouver, par les mêmes procédés qu’on a em-

ployés poqr la fonction pr, que la condition nécessaire pour

que la fonction U soit considérée exacte , indépendamment de la valeur de a , est renfermée dan3 l’équation

p — cf -f- r* — etc. = o ;

laquelle en remettant pour p , q , r , etc. leurs valeurs , devient

P — a Q' -f- 3 R" — etc. = o.

Donc , pour qu’une fonction de la forme f(x,y, y ,ya, etc.) soit une fonction dérivée exacte du second ordre , c’est-à-dire , une fonction dérivée d’une fonction, dérivée, indépendamment

4 l4 CALCUL

d’aucune relation particulière entre x et y , on aura, relativement à. y , outre la première équation de condition, celle-ci :

f (/) - a Cf (/)]' + 3Cf en]"- etc. = o.

Et l’on aurait une pareille équation relativement à a , si la fonction proposée contenait aussi a, a' , a", etc.

On trouverait de même, pour que la proposée fût une fonction dérivée du troisième ordre , cette troisième équation de condition, relativement :

f <y ) - 3 cr oo j+ g cr en j - etc. = o;

et ainsi de suite.

Enfin, si on suppose qu’on n’ait , pour la détermination d’une fonction u , qu’une équation d’un ordre quelconque entre u , x et^ et les fonctions dérivées u , u" , etc. , y1 , y" , etc. de u et de y, et qu’on demande les conditions nécessaires pour que u soit une fonction de x, y, y' ,y", etc. , indépendamment d’aucune relation entre x et y ; le problème pourra encore se récoudre par les mêmes principes , et en suivant la même méthode.

Soit V—o l’équation donnée, dans laquelle on suppose que a est une fonction de x, y' , y" , etc. : si on met partout y -f- a à la place de y , et parconséquent y' -f- J , y" 4- a" , etc. à la place de y , y" , etc. la quantité a étant supposée, comme cidessus, une fonction indéterminée de x, et qu’on développe suivant les puissances et les produits de ai , a , u" , etc. , la fonction ^deviendra, comme plus haut,