V-¥ ^ + V+V, etc
et l’on aura les équations particulières
V—o, V—o, V—o, etc.
Car si on imagine qu’on mette dans V, à la place de u sa valeur ,
DES FONCTIONS. 4l5
en x,y,y', y, etc. l’équation o deviendra identique; donc l’identité subsistera aussi après la substitution de y -J- a , y + a',y" + etc. pour , y , y" , etc. , et le développement suivant a, </, a', etc. ; et comme ces dernières quantités sont supposées indépendantes de x et y , il est visible que chaque
terme V, V, etc. qui contient les mêmes dimensions de a, a", etc. devra être identiquement nul dans l’équation développée
V+V+V+F+* te. =o.
Représentons la fonction V par
/■(«> etc., x,y} y, y, etc.),
et dénotons par u , u, etc. les dilférens termes du développement de la fonction u , dans lesquels les quantités a , a', ai" , etc, forment ensemble une dimension ou deux, etc. Nous aurons, suivant la notation adoptée,
if (u) + i'f («') -h «" f (u") + etc.
+ 00 + f (y ) + »"/ Cy" ) + etc.
Or il est visible que la fonction u ne peut être que de la forme
u — Na -f- PtS -f- Qu" -f etc.
IV, P, Q, etc. étant des fonctions de x , y , y' , etc. De là, en prenant les fonctions dérivées relatives à x, on aura les va—
1 eurs de u' , u" , etc. ; savoir ,
i' = N'a + (2V+ P) ®' + (P + Q') •* + etc.
»' = iV* » + (a N'+P") a' + (N + ai* + Q" )»' + etc. etc.
CALCU
Ces valeurs étant substituées clans l’expression de V, l'équa-
tjon y— o devra avoir lieu indépendamment des quantités ® a', a , etc. qui doivent demeurer indéterminées -, donc égalant à zéro les multiplicateurs de chacune de ces quantités, on aura les équations
f (y) + Nf (u) + N'f (u') N"f (u")-f etc. = o, f (y)+Pf(u')+(N+P')f(u)+(!iN+P,')f (u")4- etc.r=o , f (y') + Qf O) +(P+ Q')/ (u')+(N+2i>'H- Q")f O" ) +etc.=o. etc.;
d’où il faudra éliminer les quantités inconnues N, P, Q, etc. : il restera nécessairement une ou plusieurs équations qui seront les équations de condition cherchées. Car il est facile de voir que le nombre de ces quantités ne doit jamais surpasser celui des quantités y > f > y" y etc., diminué du nombre des quantités u , u" , etc. , puisque dans l'équation proposée la plus haute fonction dérivée de u ne peut contenir de fonctions dérivées de y , plus hautes que celles qui se trouvent dans la même équation.
Supposons , par exemple , que l’équation soit de la forme
on fera ici simplement
et l’on aura les trois équations
f ( y ) + Nf 00 + Nf («') = o,
f (/) + Pf («0 + (N+r)f (u ) = o,
/'(/) + Pf oo = °-
La dernière donnera P , la seconde donnera N, et la première
ïnière donnera, par la substitution des valeurs de N et de N' , l’équation de condition nécessaire pour que la quantité u dans l’équation proposée puisse être une fonction de x,y ,y' , indépendamment d’aucune relation entre x et y.
On peut étendre la méthode de ce problème à un nombre quelconque de variables et d’équations.
Montrons maintenant, par quelques exemples, l’usage des équations de condition dont nous venons de donner la théorie; et d’abord ne considérons qu’une fonction du premier ordre de laforme/(x,^,y ) ; l’équation de condition pour qu’elle «oit une dérivée exacte , sera
f 00 -Cf (/)T = °-
Pour que cette équation puisse être identique , il faut que Je second terme ne contienne pas de fonctions dérivées de y plus hautes que le premier ternie f (y)', or celui-ci ne peut contenir que la fonction y' ; donc il faudra que l'expression^ (y’ ), dont la fonction déiivée forme le second terme, ne contienne pas y , autrement il entrerait y" dans le second terme. Il suit de là que la fonction proposée ne peut être que de la forme
En la représentant par f ( -r , y , y’ ] , et prenant les dérivée» relatives ky et ky' , on aura
f (y) = ^ (y) +/ fT (y),f (/)=*( x,y).
Ainsi l’équation de condition sera
mais
f' ( ^ ^ OO+yVOO;
donc l'équation te réduit à
Dd
CALCUL
comme non* l’avons trouvé par une autre voie , dans la leçon XIX.
La fonction proposée, en n’y faisant plus x' — i , aurait eu la forme
x'Vix.y) +/ <p(x,y),
et l’on aurait eu, relativement à x, l’équation de condition
f O) -Cf 0')3'=°,
laquelle devient
mais
donc
«avoir ,
comme auparavant.
Supposons que la fonction proposée soit du second ordre et de la forme f(x , y , y' , y" ) : l’équation de condition pour qu’elle soit une dérivée exacte , sera
f 00 -[/(/)]' + Cf (y")T = o.
Il est d’abord évident que pour que cette équation puisse être identique , il faut que la valeur de f (y" ) ne contienne point y" ; autrement la valeur de Q/7 (y" ) ]" contiendrait y,Y ; et comme les termes précédens ne peuvent contenir quey ,y' , y" > y" , Ie tenue contenant y” ne serait pas détruit.
DES FONCTIONS. 4ig
La fonction proposée ne pourra donc être que de la forme
On aura ainsi, en la comparant à la forme générale
f 00 =^Cy)+/<P' ( y ),
f oo^'oo+yvoo,
et 1 équation de condition deviendra
OO+yV OO-C*' (y') J-iy *' ^T+y^y^o.
Or,
ç' (x, j,y ) = y (r) +/ y (j) +y y Qy') .
donc
*' (x»y>y )=iy c*) T+cy ©'cyT+cy" y ooj.
Par cette substitution , l’équation de condition deviendra
^0')+y9/0')-c^0'0j+cç/(yj4:iyç'(>)j=:o:
Supposons, pour abréger,
la caractéristique <t> dénotant une fonction connue de x, y, y' puisqu en effet cette expression ne contient que les trois quantites x, y , y ; on aura l’équation
,'0,)+yV(j')+*'(rj)y)aoj
mais J *
*' C*or ,y ) = *' (X) +y ♦' (y ) +y *' (/) ;
donc l’equation de condition se réduira à
420 OALCCI,
Or il est visible que la quantité^1' n’cntre point dans les fonctions dérivées suivant x et y , puisqu’elle n’entre point dans les fonctions primitives représentées par les caractéristiques "SP' , et <t> ; donc , pour que l’équation puisse être identique , il faudra que les termes multipliés par y" disparaissent ; parconséquent l’équation de condition se partagera en ces deux-ci :
'iJ ( y ) -f (^) +/ Qy) = o,
qui devront avoir lieu séparément pour que la fonction proposée soit une dérivée exacte.
Supposons, pour donner un exemple particulier, que cette fonction soit
on aura ici Y (*,.y,/ ) = ~ — et f (x,y,y)r=~
De là on tirera
axV*
, i xy' î . sr/ x/
•' (r) = *' (Jl=— «•' (y) =j£.
Ainsi les deux équations de condition deviendront
qui se vérifient, comme l’on voit , d’elles-mêmes. En effet.
la fonction proposée est la dérivée de
En général , il est facile de prouver que l’équation de condition
f ( y ) — if (y) T H- Zf (/) 7 - etc. = o
ne saurait être identique , à moins que la plus haute des fonctions dérivées y' , y" , etc. qui entrera dans la fonction proposée f (x , y , y' , y" , etc. ) n’y soit qu’à la première dimension , afin qu’elle puisse disparaître dans la fonction dérivée qu’on prendra relativement à cette même dérivée de y. D’où il suit que si la fonction proposée est de l’ordre n , elle ne pourra être une fonction dérivée exacte, à moins quelle ne soit de la forme
Ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu dans la leçon treizième.
Ensuite on peut aussi prouver que , de même que pour les fitnctions du second ordre , l’équation de condition se décompose en deux, qui doivent avoir lieu à-la-fois : pour les fonctions du troisième ordre, elle se décomposera en trois; et pour les fonctions du quatrième ordre, elle se décomposera en quatre; et ainsi de suite.
Enfin pour donner aussi un exemple d’une fonction dépendante d’une équation, nous prendrons l’éqnation
CALCUL
4ào
et nous chercherons les conditions nécessaires pour que la fonction u soit une fonction de x et y.
En comparant cette équation à la forme générale f(u, u , x, y, y') = o,
on aura
/(u, u' , x,y,y) = u' — -Ÿ(u, x,y)—/?(u, x,y ); et de là on tirera ces valeurs :
f 00 = — 00 — y f' (j)>f OO
Comme la fonction ne contient point y" , on aura /'(/') = °;
et la dernière des trois équations de condition trouvées ci-dessus pour, le cas dont il s’agit, donnera sur-le-champ P = o; ce qui réduira les deux premières à
-Ÿ'OO -y'ï 00 — iV(Ÿ* (a) +y y (u) ) +/v'=o,
— <p (u, x,y ) -fA’=o.
La dernière donne
N— tp (u, x,y)-i
donc substituant dans la première, et changeant les signes , on aura
Cy) +/V O) + ('*'■' («) +y <p' (“)) + ?> (“, *,.y>
Mais
et la proposée donne
U* = V (u, x,y) +y' Ip(u,x, y);
donc , faisant ces substitutions , et effaçant ce qui se détruit , on aura cette équation de condition
00 +*' («) X <?> (u,x,y)—ç' (.r)— «p' (u) Xt (u, x,^)= o,
qui est la même, en changeant u en z, que celle que nous avons trouvée directement dans la leçon XIX , pour que l’équation dérivée à trois variables, puisse admettre une équation primitive entre ces variables.
Le problème que nous venons de résoudre sur les équations de condition qui doivent avoir lieu pour qu’une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées, ait une fonction primitive indépendamment d’aucune relation entre ces variables , a une connexion intime avec un autre problème plus important , qui a exercé les géomètres pendant près d’un siècle. C’est la fameux problème des isoperimètres , qui , pris dans toute son extension, consiste à trouver les équations qui doivent avoir lieii entre les variables, pour que la fonction primitive inconnus d’une fonction donnée de ces variables et de leurs dérivées , devienne un maximum ou un minimum.
Les mêmes formules d’équations résolvent les deux problèmes, mais avec cette différence que, pour le premier, les équations doivent être identiques, et se vérifier d’elles- « mêmes; au lieu que dans le dernier problème, elles deviennent les équations nécessaires entre les variables pour l’existence du maximum ou du minimum.
On verra la raison de cette identité des résultats par l’analyse que nous allons donner du problème des isoperimètres. Mais nous commencerons par une histoire succincte des différentes tentatives que les géomètres du dernier siècle ont faites pour parvenir à une solution générale de ce problème , et qui ont conduit par degrés à la méthode connue sous le. nom de Calcul des variations.
4a 4 CALCUL
Les questions de maximis et minimis n’ont pas été inconnue# aux anciens géomètres; car on a un livre entier d’ Apollonius , qui traite presqu’uniquement des plus grandes et des plus petite» lignes droites qui peuvent être menées de points donnés aux arcs des sections coniques.
La méthode d 'Apollonius se réduit , simplement à prouver que toute autre droite menée du même point à la section conique , serait plus petite dans le cas du maximum , et plus grande dans le cas du minimum, que celle qu’il a déterminée ; et cette méthode a été suivie par tous ceux qui, après lui, ont cherché à résoudre, par la simple géométrie , des problèmes relatifs aux maxima et aux minima.
Fermai est le premier, comme nous l’avons vu dans la leçon dix-huitième , qui ait donné , pour la solution des problèmes de ce genre, une méthode directe et analytique, que l’algorithme du calcul différentiel a ensuite simplifiée et généralisée; elle se réduit, comme l’on sait, à égaler à zéro la différentielle ou la fonction prime de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum , en regardant comme variable l’inconnue par rapport à laquelle la fonction donnée doit devenir la plu» grande ou la plus petite; et nous avons exposé ailleurs ( Théorie des Fonctions ) les principes et la marche de . cette méthode considérée dans toute sa généralité.
On peut dire que c’est à la considération des courbes qu'on doit les principales méthodes de l’analyse. La détermination des plus grandes et des plus petites ordonnées dans les lignes et dans les surfaces courbes , avait donné naissance aux questions de maximis et minimis , dont nous venons de parler; mais on s’éleva bientôt à des problèmes d’un genre nouveau et beaucoup plus difficile. Il s’agissait de trouver les courbas mêmes dans lesquelles des quantités dépendantes de toute l’étendue de la courbe cherchée, prise entre des limites données, fussen^ un maximum ou un minimum , par rapport à toutes les autre» combes possibles; comme, par exemple, la courbe qui rea—
DES FONCTIONS, 4a5
ferme le plus grand espace suivant des conditions données, ou qui produit, par sa révolution, le plu3 grand solide entre de* limites données, etc. -, mais c’est la mécanique qui a fourni les premiers problèmes de ce nouveau genre. Newton a cherché le premier la courbe qui , en tournant autour de son axe , produit le solide qui étant mu dans un fluide suivant la direction de son axe , éprouve la moindre résistance possible , et il a donné , sans démonstration , une proportion qui suffit pour construire la courbe par les tangentes, et qui en est comme l’équation différentielle.
Mais c’est proprement du fameux problème de la brachystochrone , ou ligne de la plus vite-descente , proposé en 1 Sg3 , par Jean Bernoulli , que date la découverte d’une analyse propre à ces sortes de recherches.
Suivant l’esprit du calcul différentiel qui suppose les courbes formées d’une infinité de droites infiniment petite*, on considère deux côtés contigus de la courbe cherchée, et on détermine leur position respective , de manière que la quantité proposée devienne un maximum ou un minimum, en ne faisant varier que l’ordonnée qui répond à l’angle formé par ces deux côtés. De cette manière , le problème rentre dans l’ancien genre, et la difficulté ne consiste plus qu’à ramener le résultat de la solution à la forme différentielle. C’est ainsi qu’on a trouvé d abord que la courbe de la plus vite-descente doit être telle que le sinus de l’angle qu’un de ses côtés quelconques infiniment petits fait avec la verticale, soit proportionnel à la vitesse, laquelle est comme la racine carrée de la hauteur d’où le corps est parti; et cette proportion réduite en équation différentielle, donne la cicloïde. On a trouvé de la même manière que le solide rond de la moindre résistance , est formé par une courbe qui a la propriété énoncée par Newton, dans le scholie de la proposition XXXV de la seconde partie de ses Principes. On a appliqué ensuite la même méthode à des problèmes plus compliqués, tel que celui des isoperimètres, où il s’agissait de
CALCUL
trouver entre toutes les courbes possibles qui ont le même périmètre ou la même longueur \ celles qui , entre des limites données, renfermaient les plus grands ou les plus petits espaces, où , en faisant une révolution autour de leurs axes , produisaient les plus grandes ou les plus petites superficies , ou les plus grands et les plus petits solides , ou enfin une courbe telle qu’ en construisant sur son axe une seconde courbe dont les ordonnées soient des fonctions quelconques des ordonnées et des arcs de celle-là, l’aire de la seconde courbe forme un maximum ou un minimum; et les difficultés de ces problèmes, jointes à la célébrité que les recherches des deux frères Bernoulli, de Tailor et à' Euler lui acquirent , ont fait donner en général le nom d'isoperimètres à tous les problèmes dans lesquels il s’agit de trouver des courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou minimum , avec ou sans la condition de l’égalité des longueurs de la courbe.
Lorsqu’on veut avoir égard à cette condition , il ne suffit pas de faire varier une seule ordonnée , comme dans les problèmes où on demande un maximum ou un minimum absolu ; il faut alors faire varier à-la-fois deux indéterminées tant dans l’expression qui doit être un maximum ou minimum, que dans celle qui doit demeurer constante , et égaler séparément à zéro les résultats de ces variations, ou les différentielles de ces deux expressions , comme dans les problèmes ordinaires de maximis et minimis , lorsqu’il y a quelque condition particulière à remplir entre les variables.
Jean Bernoulli, dans un Mémoire destiné à résoudre les problèmes sur les isoperimètres proposés par son frère Jacques , et qui se trouve dans le Recueil de l’Académie des Sciences de 1706, avait cru pouvoir satisfaire à-la-fois à la condition du maximum ou minimum, et à celle de l’isoperimétisme , en ne considérant que deux élémens ou côtés de la courbe, et en faisant varier à-la-fois l’abscisse et l’ordonnée qui répondent à l’angle de ces deux lignes droites , de manière que leur somme
DES FONCTIONS.' 4a7
demeurât constante. En effet , si la question roulait sur des quantités finies , elle pourrait se résoudre de cette manière ; mais il arrive ici, par la nature des infiniment petits, que l’équation finale devient purement identique, et ne fait parconséquent rien connaître. Jean Bernoulli parvint à un autre résultat, et crut avoir ainsi résolu les problèmes; mais son analyse est erronée , et pèche contre les principes du calcul infinitésimal.
Jacques Bernoulli est le premier qui ait reconnu dans ces sortes de questions la nécessité de considérer trois côtés consécutifs de la courbe , et de faire varier à-la-fois les deux ordonnées consécutives qui répondent aux angles formés par ces côtés. C’est sur ce principe qu’il a fondé son analyse du problème des isoperimètres, intitulée Analysis mas.ni problematis isoperimetrici , et publiée à Bâle en 1701 , et dans les Actes de Léipsic de la même année ; et le même principe a servi de base ensuite aux solutions données par Tailor, dans son Methodus incrementorum ; par Jean Bernoulli , dans les Mémoires de l’ Académie des Sciences de 1718 ; et par Euler , dans les tomes VI et VIII des Anciens Commentaires de Pétersbourg.
Par la considération d’une partie infiniment petite de la courbe regardée comme composée de deux ou de trois lignes droites , les problèmes se réduisent à l’analyse ordinaire ; et la difficulté ne consiste plus qu’à traduire les solutions en équations différentielles, par les substitutions des valeurs des ordonnées et des abscisses successives exprimées en différences , en ayant soin de ne conserver que les termes du même ordre , suivant la loi de l’homogénéité des quantités infiniment petites. Mais les résultats obtenus de cette manière se présentent rarement sous une forme générale et applicable à tous les problèmes du même genre. De plus, il y a des cas où il ne suffit pas de considérer une portion infiniment petite de la courbe , parceque la propriété du maximum ou minimum peut aveir lieu dans la courbe entière , sans avoir lieu dans chacune de
ses portions infiniment petites ; ce sont ceux où la fonction différentielle dont l’intégrale doit être un maximum ou un minimum , contient elle-même une autre fonction intégrale , à moins que , par les conditions du problème , cette intégral» doive avoir une valeur constante ; par exemple , lorsque la fonction dont l’intégrale doit être un maximum ou un minimum , dépend non-seulement des abscisses et des ordonnées et de leurs différences, mais encore de l’arc même de la courbe, lequel n’est donné , comme l’on sait , que par une expression intégrale ; dans ce cas , les solutions qu’on trouverait par la simple considération d’une portion inliniment petite de la courbe, 6eraient inexactes, à moins que la longueur de la courbe ne fût supposée constante , comme dans les problèmes des isoperim êtres.
A plus forte raison , il ne sera pas permis de n’avoir égard , dans le calcul, à une petite portion de la courbe, lorsque la fonction différentielle dépendra d’une quantité donnée , simplement par une équation différentielle non intégrable en général ; c’est pourquoi on doit regarder comme fausse la solution q vl Euler lui-même a donnée du problème de la brachystochrone dans un milieu résistant comme une fonction de la vitesse , dans le tome VII des Anciens Commentaires de Pètersbourg , et dans le second volume de sa Mécanique , et on peut s’en convaincre en la comparant à celle qu’on trouve dans son ouvrage de 1744 > intitulé Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimique proprietate gaudentes ( Art. 46 )•
C’est proprement dans ce dernier ouvrage qu’ Euler a donné une solution générale et complète du problème des isoperirnètres. Pour trouver les conditions du maximum ou minimum , il se contente de faire varier une seule ordonnée de la courbe , et il en déduit la valeur différentielle de la formule, qui doit être un maximum ou un minimum , en substituant à la place des différentielles de l’ordonnée les différences successives des ordonnées consécutives, et à la place des expressions intégrales
DES FONCTIONS. fat)
lès sommes des élémens répondans à toute l'étendue de la courbe. Son calcul devient ainsi très-long, surtout par les suites infinies qui s’y mêlent, lorsque la fonction proposée contient différentes intégrales, et dont il faut déterminer la somme pour parvenir à des résultats nets et précis •, et on ne peut trop admirer l’adresse avec laquelle l’auteur surmonte ces difficultés , et obtient, en dernière analyse, des formules simples, générales et élégantes. Son ouvrage est d’ailleurs très-précieux par le nombre et la beauté des exemples qu’il contient , et il n’y en a peut-être aucun qui puisse être plus utile à ceux qui désirent s’exercer sur le calcul intégral.
Jusqu’alors on avait traité séparément , et par des procédés dilFérens, les problèmes où il suffit de varier une ordonnée, et ceux quidemandent la variation de deux ou de plusieurs ordonnées consécutives.
Euler a remarqué le premier que tous les problèmes de ce genre pouvaient être rappelés à une même analyse , parceque l’uniformité qui doit régner dans les opérations relatives aux dilFérens points d’une même courbe fait que , dès qu’on a trouvé le résultat de la variation d’une ordonnée , la même expression rapportée à l’ordonnée qui suit immédiatement, donnera aussi le résultat de la variation de cette ordonnée , et ainsi des autres.
Cette remarque a conduit Euler à un heau théorème , et de la plus grande utilité dans cette matière ; c’est que , pour trouver une courbe qui ne jouisse d’une propriété de maximum on minimum que parmi toutes les courbes qui ont une ou plusieurs propriétés connues, il suffit d’ajouter à l’expression de la propriété qui doit être un maximum ou un minimum, celles des autres propriétés connues , multipliées chacune par un coefficient constant et arbitraire, et chercher ensuite la courbe dan» laquelle cette expression composée sera un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles.
En effet, si on désigne, comme Euler, par nv , ou simplement par v l’incrément infiniment petit de l’ordonnée y , et
43 O CALCUL
par P.v la valeur différentielle de la formule intégrale indéfinie fZdx, qui doit être un maximum ou un minimum, on aura P. a pour la valeur différentielle de la même formule , provenante de fincrement a de l’ordonnée
suivante .y, en supposant que P soit ce que P devient lorsque y devient et que toutes les autres variables sont rapportées à l’ordonnée y.
Et l’on aurait de même P.t pour la valeur différentielle de la même formule , provenante de Tincrement ir de l’ordonnée suivante y , où P est ce que devient P lorsque y devient y\ et ainsi de suite.
Or en regardant, suivant les principes du calcul différentiel, les ordonnées y ,y , y, etc. comme infiniment proches, on a
y = y + dy , y=y -f- 2 dy -f- cP y, etc. ; paiconséquent on aura aussi
P = P + dP, P = P+adP + ct‘P ,e te.
Ainsi, en faisant varier à-la-fois les deux ordonnées voisines y et y, la valeur différentielle de fZdx sera P.t -f (P+dP). e;
et en faisant varier les trois ordonnées voisines^, y , y , sa valeur différentielle sera
P.t + (P + <iP)«+(P + a<fP + d>P)5r, et ainsi de suite.
11 en sera de même de toutes les autres formules semblable*.
DES FONCTIONS. /fôl
Donc , pour les courbes où la formule fZdx doit être un maximum ou un minimum absolu , on aura , en ne faisant varier qu’une ordonnée, l’équation P ■ f = o, laquelle donna P = o.
Pour les courbes où fZdx ne doit être qu’un maximum ou minimum relatif parmi toutes les courbes qui ont une propriété commune exprimée par la formule fYdx, si on représente par Qv la valeur différentielle de fY d x due à l’incre— ment : de y ; on aura , en faisant varier deux ordonnées , et égalant à zéro les valeurs différend elles des formules JZ dx et fYdx, les équations
p.y-f-(P-f dP)«— o,
lesquelles donnent celle-ci :
dont l’intégrale est
a étant une constante arbitraire.
Cette équation est , comme l’on voit , la même que celle qu’on trouverait pour le maximum ou minimum absolu de la formule f Z d x -f- afY d x , en ne faisant varier qu’une seule ordonnée.
Si la même formule f Z d x ne devait être un maximum ou un minimum que dans une des courbes dans lesquelles deux autres formules fYdx et fXdx conservent les mêmes valeurs; on aurait alors le cas où il faut faire varier trois ordonnées successives , et où il faudra égaler séparément à zéro les valeur* différentielles des trois formules dont il s’agit.
Ainsi , en dénotant par R.v la valeur différentielle de fXdx provenante de l'incremeat y , on aurait ces troi» équations
P.v + (P-f rfP)M -f (P -f 2rfP +d'P)ir=20,
Q-*'f*(Q r^Ç)« + (Q + 2<iQ + ^aQ)*' = c>>
fî • r -f (-R -f rf fi ) « -f ( “f 3 ^ ^ -f ^ ) *■ = o ;
savoir ,
P (|l + ffl+T)+(i/,(K+2T) -frf* P. T = 0, Ç(»-f«-fx)-frfQ(«-j-2?r)-frfi‘Ç.cr = o,
P((' + »-f7r)-frfQ(»-f.2«,)-frf*Ç.T = o..
Eliminant deux des quantités y, «, rr , la troisième s’évanouit d’ elle-même, et on obtient une équation différentielle du second ordre entre les trois variables P, Q , R, dont parconséquent l’intégrale complète renfermera trois constantes arbitraires. Mais , sans chercher cette équation différentielle , il est facile de s’assurer que l’équation
Pf aÇ + 4/l = o
satisfait aux trois équations ci-dessus , quelles que soient les valeurs des coelBciens a, b, pourvu qu’ils soient constans ; car en multipliant la seconde équation par a, la troisième par b , et les ajoutant à la première , on aura une équation identique , en vertu de l’équation supposée; et comme cette équation contient deux constantes arbitraires a et b, il s’ensuit qu’elle sera nécessairement l’intégrale complète de l’équation du second ordre dont il s’agit ; et l’on voit en même temps qu’elle n’est autre chose que celle qui donne le maximum ou minimum absolu de la formule
fZdx-\-afYdx-\-bfXdxl •
Au reste , je dois observer que , dans les premières solutions qui ont été données du problème des isoperimètres par les Bernoulli, Tailor et Euler lui-mème, la valeur différentielle de la formule f Zdx qui doitetre un maximum ou un minimum 'parmi toutes les courbes isoperimètres , n’est pas de la forme / Par
Pv-\-Pa>,
lorsque la fonction Z contient l’arc s de la courbe , ce qui est contraire à la théorie d 'Euler , qu’on vient d’exposer.
Par exemple , dans la solution de Tailor , qui est une de» plus simples , si on y substitue les dénominations précédentes , qu’on suppose
dZ=L ds + Mdx + Ndy ,
, et qu’on fasse, pour abréger, ^=<7, on a cette valeur différentielle
(IV -\-Lq~) dx . v^-(Ar4-Z,q) d x . 0,
provenante des variations v et a des ordonnées y et y dans les 1 1 1
trois élémens Zdx-\-Zdx-\-Zdx, qui sont les seuls que Tailor considère.
Mais je remarque que cette valeur n’est pas la valeur différentielle complète de la formule intégrale fZ dx ; car, par les formules exactes de l’ouvrage cité à' Euler , la seule variation 1 de l’ordonnée y, dans la formule /Zdx, donne la valeur différentielle
( ’ N dx—d . ( H — fLdx')q')v ,
où II est la valeur de fLdx, correspondante à une abscisse donnée a , pour laquelle fZdx doit être un maximum ou un minimum. Desorte que, pour les deux variations simultanées ret», la vraie valeur différentielle sera
(N dx — d. ( H — fLdx')q') v
-f- (IV dx — d. ( H—fLdx)q)a .
On voit d’abord par là que la valeur différentielle de Tailor
Ee*
434 CAL C~U L
donnerait une solution fausse, si on voulait l’employer à trouver la courbe dans laquelle f Z dx serait un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles, dans lequel cas il suffit d’avoir égard à la variation d’une seule ordonnée ; car en égalant à zéro cette valeur différentielle , et supposant a nul y on aurait l’équation
N+Lq=o ;
tandis que la solution à' Euler donnerait
Ndx — d. ( // — / Ldx ) q =z o,
qui est la véritable équation du problème.
Dansle casdes isoperimètres,il arrive néanmoins que les deux solutions s’accordent -, car alors la propriété commune de» courbes est l’arc s , c’est-à-dire la formule / \/ ( dx* -f- dy* ) ,
ou /|/ ( 1 p* ) dx , en faisant p = ^ ; ainsi on a de plus
la formule fY dx où Y —\/ ( 1 -f- p* ) , dont la valeur différentielle doit être nulle, en même temps que celle do [Zdx.
Or par la construction et l’analyse de Tailor , on a pour cette formule , la valeur différentielle
— dq.v — dq . a> ;
' et par les formules de l’ouvrage à' Euler , on a de même —dq.v pour la valeur différentielle due à la seule variation v ; desorte que , pour les deux variations v et a , on aura également
— dq .v—dq.a.
Ainsi, suivant Tailor , on doit avoir, dans ce cas, le* deu^ équations ^
(IV+Zq) v+ (N + Lq)a— c,
dq .v-\~ dq.p — o ,
DES FONCTIONS, lesquelles donnent, par l’élimination de v et a, celle-ci :
-H Lq) dq = (A* -f- L q) dq \
savoir , en substituant N + dN pour N , L+dL pour L ,
dq + d*q pour dq et q + adq + d*q pour q, et effaçant ce qui se détruit ,
Ndq -J- Lqdq — dNdq — dLqdq — - a Ldq 1 » *
— a dLdq — Ldqdq — dLdqdq ~ o.
Mais les trois derniers termes sont du troisième ordre , tandis que les premiers ne sont que du second; ainsi, en rejetant les trois derniers comme infiniment petits vis-à-vis des autres on a simplement l’équation du second ordre
Ndq -f- Lqdq — dNdq — dLqdq — a Ldq = o , comme Tailor le trouve.
Suivant Euler, les deux équations seraient
(Ndx — d. ( H—fLdx)q)v
+ {Ndx-d. (//— fLdx)q)^o\
. dq.v-\-dq.u — Q.
Mais
d ■ iH~fLdx)q = — Lqdx + ( H—fLdx) dq ,
d. (. H—fLdx ) q = — Lqdx -\-{H — fLdx) dq=— Lqdx
~h ( H — fLdx) dq — Ldxdq , à cause de
fLdx = fLdx -f- Ldx.
Donc, en observant que q + dq-=q, la première équation devient,
CALCUL
(( N+Lq)dx—(H—JLdx)dq)v •+•( {N~\-Lq)dx — (ÆT — [Ldx ) dq')u=o ; laquelle , en vertu de la seconde , se réduit à celle-ci : (N+Lq)» + (N+Lq)tt — o,
qui, est la même que celle de Tailor. Ainsi, comme lesdeux autres équations s’accordent aussi , le résultat doit être nécessairement le même.
En effet, suivant le théorème d'Euler, en ne considérant que la seule variation v , on a tout de suite l’équation
Ndx—’ d. (H — fLdx'iq — adq — o,
a étant une constante arbitraire.
Cette équation est l’intégrale première de celle de Tailor ; car si on la réduit à la forme
Ndx — (//-f- a — fLdx ) dq -f- Lqdx = o ,
qu’on la différentie après l’avoir divisée par dq, et qu’on fasse ensuite disparaître les dénominateurs , on trouvera l’équation de Tailor.
On pourrait faire des remarques semblables sur les solutions des Bernoulli , et sur celles d'Euler , dans les tomes VI et VIII des Anciens Commentaires de Pétersbourg.. Mais dans l’état actuel de l’analyse , on peut regarder ces discussions comme inutiles , parcequ’elles regardent des méthodes oubliées , comme ayant fait place à d’autres plus simples et plus générales. Cependant elles peuvent avoir encore quelqu’intérêt pour ceux qui aiment à suivre pas à pas les progrès de l’analyse , et à voir comment les méthodes simples et générales naissent des questions particulières et des procédés indirects et compliqués.
L’ouvrage d Euler, que nous avons cité, n’aurait rien laissé
des fonctions: 4^7
i desirer sur les problèmes relatifs aux courbe* qui jouissent de quelque propriété de maximum ou minimum , s’il avait pour base une analyse plus conforme à l’esprit dvf calcul différentiel. Mais la décomposition que l’auteur y fait des différentielles et des intégrales dans leurs élémens primitifs , détruit le mécanisme de ce calcul , et lui fait perdre ses principaux avantages, la simplicité et la généralité de son algorithme.
Il restait donc à trouver la manière de plier le calcul différentiel à ce genre de problèmes qui sont essentiellement de son ressort , et de les résoudre sans s’écarter de la marche simple et uniforme de ce calcul. Cet objet a été rempli par la méthode des variations , publiée dans le second tome des Mémoires de l' Académie de Turin. Comme cette méthode est exposée dans la plupart des Traités de calcul différentiel qui ont paru depuis , nous nous contenterons d’en donner ici les principes.
Elle consiste à faire varier les y dans la formule intégrale en i et y, qui doit être un maximum ou un minimum , par des différentiations ordinaires , mais relatives à une autre caractéristique i T différente de la caractéristique ordinaire d, et à déterminer la valeur différentielle delà formule par rapport à cette nouvelle caractéristique , en transposant le signe <h après les signes d et / lorsqu’il se trouve placé avant , et en faisant ensuite disparaître par des intégrations par parties les différentielles de iy sous les signes f.
Soit la formule fZ qui doive être un maximum ou mit nimum entre des limites données, la quantité Z étant une fonction donnée de x , y , dy , d^y , etc. En supposant dx constant , on aura S.fZ pour la valeur différentielle qui doit être nulle dans le maximum ou minimum ; donc
équation qui se transforme tout de suite e»
ftZ = o.
438 CALCUL
Supposons qu’en differentiant à la manière ordinaire , mais suivant la caractéristique J1, et ne faisant varier que les y, dy , etc. on ait
SZ = JVJy -f PSdy -h QSdy + etc. ; on aura l’équation
fNSy + fPSdy -f- fQSd'y + etc. = o.
Or f PSdy se transforme d’abord en fPdSy , et ensuite en intégrant par parties , en PSy — fàPSy.
De même fQSdy se transforme d’abord en fQcPSy , ensuite en (JdSy — dQSy -f- J d* QSy , et ainsi des autres.
Donc en ajoutant une constante quelconque K à ces intégrations, l’équation deviendra
PSy + QdSy — dQSy ■+■ etc. -f- K -f* /(TV — dP-\-dtQ — etc. )<f y = o.
Comme toutes les différentielles de <fy ont disparu de dessous le signe f, cetté partie n’est plus susceptible d’aucune réduction. Ainsi, pour vérifier l’équation indépendamment des variations Sy , il faudra d’abord égaler à zéro le coefficient des Sy sous le signe , ce qui donnera l’équation
N — dP -f- cPQ — etc. = o ,
laquelle devra avoir lieu indéfiniment pour toutes les valeurs de x et y comprises entre les limites données.
Cette équation est en d’autres termes celle qu 'Euler a trouvée le premier pour le maximum ou le minimum, de la formule
intégrale fZdx. Euler fait ^ = <7, etc. , etil sup-
pose Z fonction de x,yy p~, q , etc, telle qu’on ait
DES FONCTIONS. 43g
par là différentiation
dZ — Mdx + A dy -f- Pdp -f- Qdq -f- etc.
Il fait ensuite varier l’ordonnée y de la ligne infiniment petite n \ et en regardant la formule fZdx coitime l’aire d’uné nouvelle courbe dont Z serait l’ordonnée , il trouve pour la valeur différentielle de cette aire , la formule
■etc.^ . nv\
d’où il tire l’équation
jv-iî+££.
dx ^ dx* qui coïncide avec la précédente.
Notre méthode donne de plus l’équation déterminée
■ etc. =± o
(P — dQ-f-etc. ) Jy-f. Qdt fy -f- etc. + K = o ,
laquelle doit avoir lieu dans les deux limites entre lesquelles la formule fZdx doit être un maximum ou un minimum.
Désignons pary0, Pc, Qc, etc. les valeurs dejy , P,Q, etc. à la première limite où x est par exemple égale à a , et par y, , P,, Q, , etc. leurs valeurs à l’autre limite où x serait égal à b ; on aura ainsi les deux équations
(P. — dQ0- f- etc. ) fyo -f- QodS'yo + etc. -f K = o ,
(P, — dQ, -f etc. ) <fy, -f- Q,dty, -J- etc. + K = o,
La première donnera la valeur de la constante K , laquelle étant substituée dans la seconde , donne
(P, — dQ, + etc. ) S'y, -f- Q,dSy, + etc.
— (P0 — dQ0 — etc. ) Sye — Ç0djy„ — etc. = o,
équation qui reste encore à vérifier pour la solution complète du problème»
44o CALCUL
Si les valeurs de y„ et y, , ainsi que celles de , etc.
sont censées données, leurs variations seront nulles , et tous les termes de l’équation précédente s'en iront d’eux-mêmes ; c’est le cas de l’analyse d 'Euler.
Si toutes ces valeurs ou seulement quelques-unes sont indéterminées , ou s’il y a entr’elles des relations données par la nature du problème , alors après avoir effacé les variations qui doivent être nulles , et réduit les autres au plus petit nombre possible , il faudra faire disparaître les variations restantes en égalant leurs coefficiens à zéro ; ce qui donnera autant d’équations auxquelles on satisfera par le moyen des constantes arbitraires que les différentes intégrations introduiront dans l’équation du problème. Yoyez là-dessus le second et le quatrième volumes des Mémoires de Turin, et les différons ouvrages de Calcul intégral où cette théorie est exposée.
