LEÇON VINGT-DEUXIÈME
Continuation de la Leçon précédente.
Méthode des variations , déduite de la considération des fonctions.
-La méthode des variations, fondée sur l’emploi et la combinaison des caractéristiques d et <f qui répondent à des différentiations différentes , ne laissait rien à desirer ; mais cette méthode ayant comme le calcul différentiel , la supposition des infiniment petits pour base , il était nécessaire de la présenter sous un autre point de vue pour la lier au Calcul des fonctions : c'est ce que j’ai déjà fait dans la Théorie des Fonctions; mais je vais reprendre ici cet objet, pour le traiter d'une manière plus directe et plus complète.
Lorsqu’une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées ne satisfait pas aux conditions que nous avons trouvées dans la leçon précédente , elle ne peut pas avoir une fonction primitive , à moins qu’il n’y ait des relations établies entre ces variables, de manière qu’il n’y reste qu’une seule variable indéterminée ; et les questions de maximis et de minimis dont il s’agit ici , consistent à trouver des relations telles que la fonction primitive qui en résultera , soit un maximum ou un minimum entre des limites données; c’est-à-dire entre des valeurs données de la variable qui demeurera indéterminée.
On voit d’abord que cette question dépend nécessairement de ce que la fonction primitive ne puisse avoir lieu sans une relation entre les variables ; car si elle pouvait être une fonction déterminée des différentes variables et de leurs dérivées, elle
CALCUL
ne serait plus susceptible que des maxima ou minima du genre ordinaire , relativement à chacune des variables et de leurs dérivées considérées comme des variables particulières.
Considérons donc une fonction quelconque fax, y, y', y", etc. que nous désignerons par V , et que nous supposerons û’avoir point de fonction primitive dans l’état où elle est ; pour qu’elle en ait une , il faudra supposer y = çx ; et pour que la fonction primitive qui en résulte, et que nous dénoterons par U , soit un maximum ou un minimum entre des limites données qui répondent à des valeurs données de x , il faudra qu’en faisant varier tant soit peu la fonction <px , la valeur de la fonction U , prise entre ces limites , diminue dans le cas du maximum , et augmente dans le cas du minimum.
Supposons que l’expression de y soit, en général, une fonction de x et i, que nous représenterons par «(a;, i), et qui soit telle qu’elle devienne <px lorsque i r= o.
La fonction U deviendra aussi une fonction de x et i, et pour qu’elle soit un maximum Ou un minimum , il faudra qu’en donnant à i une valeur quelconque très-petite , et supposant d’ailleurs la composition de la fonction p ( x , i ) arbitraire par rapport à i , elle ait une valeur moindre dans , le cas du maximum , et plus grande dans le cas du minimum que lorsque i = o. Si on développe cette fonction suivant le» puissances de i , elle deviendra
V + iU+-U + £gU.+ «o.
en indiquant par des points les fonctions dérivées par rapport à », dans lesquelles il faut faire, après la dérivation i 3=0, comme on l’a vu dans la leçon neuvième,
Ainsi l’accroissement de U , à raison de la quantité i, sera exprimée par les termes
iU -\ U 5 V + etc.
et il faudra pour le maximum que la somme de ces ternies ait une valeur négative , et pour le minimum que sa valeur soit positive, i étant une quantité quelconque très- petite et indépendante de x.
On a prouvé dans la leçon citée qu’on peut toujours donner
à i une valeur assez petite pour que le premier ternie i Û surpasse la somme de tous les suivans ; d’où il suit qu’alors l’accroissement de 11 aura le même signe que le ternie iU ; mais il est visible que ce terme change de signe avec la quantité i qui n’y est qu’à la première dimension ; donc il est impossible que l’accroissement de U soit constamment positif ou négatif en donnant à i des valeurs quelconques très-petites, à moins
«lue le premier terme i U du développement de U ne disparaisse , ce qui donne d’abord la condition Ù = o , qui est comme l’on voit , commune aux maxima et aux minima.
Cette condition étant remplie, l’accroissement de U se réduira
iü •• P •• . ... ,
— U -\ 5 U -f- etc. ; et par un raisonnement semblable a
celui que nous venons de faire , on pourra prouver aussi que le premier terme — Il devra être positif ou négatif pour que
la variation soit positive ou négative ; mais ce terme étant multiplié par le quarré de i , il est clair que son signe sera indépendant de i , et ne dépendra que de celui de la quantité V, laquelle devra donc être toujours négative dans le cas du maximum , et positive dans le cas du minimum ; ce qui contient le caractère qui distingue les maxima des minima.
Telle est la théorie générale des maxima et minima que nous avons cru devoir rappeler ici pour ne rien laisser à désirer.
Dans les questions ordinaires , la quantité U qui doit être un maximum ou un minimum est une fonction donnée de x ,
444 CALCUL
et les dérivées Ü, Ü, etc. sont prises par rapport à x; alors
l’équation Û—o devient TJ'— o , et donne la valeur de x ; ensuite le signe de TJ’ distingue le maximum du minimum.
Dans les questions dont il s’agit ici , la fonction TJ n’est donnée que par sa fonction dérivée V\ la fonction ipx est l’inconnue, et les dérivées TJ, Ü, etc. sont censées prises par rapport à la quantité i qu’on suppose contenue dans la fonction (x, i). Ainsi la difficulté consiste à déduire ces dérivées «le la fonction donnée V-
Or y étant <px, lorsque <px devient ç (x , i) , y deviendra i* .. i3
y + ly+-y+ — y + etC.;
en dénotant , commme plus haut , par des points les fonctions dérivées par rapporté i , dans lesquelles on fait ensuite i=o, desorte que ces fonctions deviennent de simples fonctions de x, qui peuvent même avoir une val eh r quelconque , parceque la composition de la fonction ( x , i ) est supposée arbitraire par rapport à i.
Ainsi en prenant les fonctions dérivées par rapport à x, il est clair que y' deviendra pareillement
y + ty + + etc. ,
et y’ deviendra de même
y" + y" + l-ÿ" + etc- ,
et ainsi de suite.
Faisant ces substitutions à la place des quantités^, y', y", etc. dans la fonction donnée V , et développant ensuite les puissances de i , cette fonction deviendra
r+ ir+ etc. ;
•t par la théorie des fonctions dérivées, exposée dans les premières leçons , il est facile de conclure que la quantité V qui étant multipliée par i forme le premier terme du développement, sera la fonction dérivée de V en y supposant x constant, et y , y' , y", etc. des variables indépendantes dont les fonctions dérivées soient respectivement y , y', y" , etc. De même À'" sera sa fonction dérivée du second ordre , prise relativement aux mêmes variables , et en supposant quey , y' ,y" , etc. soient les fonctions secondes de y, y', y"', etc. , et ainsi de suite.
Nous appellerons en général variations du premier ordre , du second , etc. ces dérivées marquées par des points et relatives à la quantité i , dans lesquelles cette quantité est supposée
nulle. Ainsi y sera la variation du premier ordre de y }y' sera la dérivée ordinaire de cette variation , y sera la variation du
second ordre de et ainsi de suite. De même, P'> ÿ , etc. seront les variations du premier ordre , du second , etc.
de V\ et U, U , etc. seront ausssi les variations du premier, du second ordrê , etc. de U. Et pour former ces variations, on suivra les mêmes règles que pour les fonctions dérivées ordinaires.
Ainsi en faisant
etc.),
on aura, suivant la notation employée dans ces leçons,
v-ÿf 00 +yf (/ ) +ÿ'f (/ ) + ^c.
Il est visible que cette fonction V est la même chose que
celle que nous avons désignée par V au commencement de la leçon précédente , en changeant seulement y en a> , parceque
44S CALCUL
nous avons supposé alors que l’accroissement de y était représenté simplement par ia.
Maintenant puisque U est supposé la fonction primitive de V en y faisant yz=q>x , quelle que soit la fonction ?x, elle le sera aussi en faisant y = ® (x, i). Dans ce cas, nous
avons vu que U devient — L-f- etc. , et V de-
une quantité quelconque , il faudra que les variations Ù, V , etc. soient respectivement aussi les fonctions primitives des variations V, V> etc. ; ainsi on aura
ù'=r, v'=r,etc.
La condition du maximum ou minimum consiste donc en ce que la fonction primitive de d’soit nulle, quelle que soit la valeur de y. Or si , pour plus de simplicité , on représente la valeur de P" par la formule
R’ÿ -f- Py' -h Qy" + fly* 4- etc. , et qu’on emploie relativement aux dérivées de y les transformations qu’on a enseignées au commencement de la leçon précédente , relativement aux dérivées de a dans l’expression
de V , et dont l’objet est de réduire à des fonctions dérivées
exactes tous les termes qui contiennent des dérivées de y, on aura cette transformée
V = (2V— jy + Q" — /l'' + etc. )ÿ
+(pÿy-cç'ÿy + (fiy y -^c.
+((V)'-(/îyy+etc.
+ (fl}*)'- etc.
«te.
où l’on Toit que tous les termes , à l’exception de ceux qui forment la première ligne , sont des fonctions dérivées exactes , desorte que leurs fonctions primitives sont connues et déterminées , quelle que soit la quantité y ; au contraire , les termes de la première ligne étant tous multipliés par y ne peuvent avoir de fonction primitive , à moins qu’on ne
donne à la variation y des valeurs particulières. Donc comme cette variation doit demeurer indéterminée , il sera impossible
que la fonction primitive de devienne nulle , à moins que la première ligne de l’expression de V ne disparaisse , ce qui
donnera l’équation indépendante de y.
N — P' + Ç>“ —Rm + etc. a o.
C’est l’équation qui contient la relation nécessaire entre le* variables x et y pour l’existence du maximum ou minimum , et que nous appellerons équation générale du maximum ou minimum. En géométrie , c’est l’équation de la courbe qui jouit de la propriété de maximum ou minimum. Il est facile de voir que cette équation sera en général de l’ordre an , si la fonction proposée V est de l’ordre n, c’est-à-dire si elle contient la dérivée j/Wj desorte que son équation primitive en x et y contiendra an constantes arbitraires.
La première ligne de la valeur de V ayant disparu , on aura en prenant la fonction primitive de V,
I/=(P — Ç'-f K — etc.)^
-KQ — + etc. )ÿ
-f ( R — etc. )/' etc.
la quantité K étant une constante arbitraire.
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CALCUL
Cette fonction ayant maintenant une valeur déterminée pour que cette valeur «oit nulle entre les limites données , il faudra que la différence des valeurs qui répondent à ces limites, soit nulle.
Désignons par Ù0 et Ù, , les valeurs de Ü qui répondent à la première et à la seconde limite , dans lesquelles x aura des valeurs données , et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites ; on aura cette équation particulière aux limites Û, — Ùt — o\ savoir,
(i>. fl".— etc.)^.
+ (Q« — fl'. + etc.) y\
+ (fl. — etc.)/', etc.
~~(P0— Q'. + R"c — etc.)ÿ.
— ( Qo — fl'o + etc. )/„
— (fl» — etc. )y”0 etc.
à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire ; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de y en x pourra admettre.
Si les valeurs de y, /, y", etc. étaient supposées données aux deuxlimites,alorsilestvisiblequelesvariationsj0> y 0,y OJ etc. et y, , ’yfx , y", , etc. seraient milles à-la-fois; parconséquent l’équation ayant lieu d’elle-même , ne donnerait aucune condition à remplir.
Si au contraire aucune de ces valeur* n’était donnée , alors il faudrait égaler séparément à zéro tous les coelliciens de ces
memes
DES FONCTIONS. 44g
mêmes variations , ce qui donnerait autant d’ équations relatives à chacune des deux limites.
Mais il arrive le plus souvent que les valeurs de y et de ses dérivées aux deux limites ne sont ni toutes données ni toutes arbitraires , mais qu‘il y a entre elles de» relations données par la nature du problème. Alors il faudra par le
moyen de ces relations, réduire les variations y, y', y", été. dans les deux limites au plus petit nombre possible , et égaler à zéro les coeiïiciens de celles qui demeureront indéterminées.
L’équation générale
N — P' + Q" — etc. = o
que nous venons de trouver pour le maximum ou minimum de la fonction primitive de V , est , comme l’on voit , la meme que celle que nous avons trouvée dans la leçon précédente pour l’existence de cette fonction , indépendamment d’aucune relation entre les variables.
On voit maintenant la raison de cette identité des formules par la conformité des opérations analytiques dans les deux 'câs.'
Il est d'ailleurs évident que lorsque la fonction J^est d’ellemême une dérivée exacte , sa fonction primitive est une fonction déterminée de x , y , y , y", etc. qui doit alors etre rapportée aux deux limites , de manière que l’équation
N — P' + O" — etc. =o
ne doit plus donner de relation entre x et y, et par conséquent doit se vérilier d’elle-même.,, - , - f
C’est par cette considération qa Euler a trouvé le premier cette même équation , ou plutôt l’équation équivalente
JV—
dx
da“
■ etc. — o
CALCU
pour la condition del’intégrabilité de la formule Zdx. Condorcet a observé ensuite que si la formule fZdx était intégrable , il fallait que la variation S'fZdx le fût aussi -, et de là il a conclu que les équations de condition pour l'intégrabilité , devaient être les mêmes que les équations entre les variables pour le» maxima et minima. Notre analyse ne doit rien laisser à desirer sur cet objet.
Nous avons supposé jusqu’ici que la variation de x était nulle ; c’est ce qui a toujours lieu lorsque les limites sont fixes ; mais comme dans la plupart des cas les limites sont variables , il est bon de voir ce que doit donner la variation de x.
Pour cela , il suffit de considérer que la fonction U étant censée une fonction de x, si on fait croître x de ix , l’accroissement de U sera , comme on l’a vu dans les première» leçons ,
il-iy'-f— t/" + etc.
Or V = V par l’hypothèse; donc
et ainsi de suite. ■ i • 1 ;;:
Donc pour avoir l’accroissement de U dans ce cas , il suffira d’ajouter respectivement aux variations Ù , U , etc. , les termes xV , x?Vr , etc. Ainsi comme V — L’ , il faudra ajouter à la valeur de P" trouvée dans l’hypothèse où x ne varie pas, le terme
Mais comme la variation de x influe aussi sur celle de y en tant que cette quantité estfonction de x, il faudra, dans ce cas, retrancher de celle-ci ce qui est dû à la variation de x , dont nous venons de déterminer l’effet total sur les variations de U*
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DES FONCTIONS. 4&ï
En effet , on a vu ci-dessus que y étant çx , lorsquè 'çx
devient p (x , i) , y devient y iy -f- —y + etc Or x devenant en même temps x -f -ix, y devient par là
j+^' + ^/ri-etc.
De la même mauiére , y qui est aussi fonction de x, deviendra
y+ixy -f— y -+-etc.; - ' ; ;; .
et y deviendra
y +l*y + ”/'+ et(î- \ r. ,
Donc l’accroissement total dej» sera exprimé pat
* (.ÿ + k/ 5 + 7- (y + *xŸ + ) + etc-
où l’on voit qu ay *{-xÿ ,y -f- aaÿ etc. sont les va-
riations totales de y, dans la cas où l’on a égard à la variation x de x.
Désignant , pour un moment , ces variations par (y ) , (y), etc.; pour les distinguer des variations y , y , etc. qui ont lieu lorsque x est nulle , on aura '*
y +kf' = (jo > ÿ + *xÿ' + = (y ) » etc* ; .
donc ' .
ÿ = (y)-jy'» >
et prenant les dérivées par rapport à x,
y ={Cy)—k/)> /=(00 — b'j > ctc-
45a CALCUL __
Ce sont les valeurs qu’il faudra substituer à la place de y,y' ,y", etc. dans la variation éprise en regardant x comme invariable. Donc si on a égard à la variation de x, l’expression de V trouvée ci-dessus, deviendra, en mettant simplement y au lieu de ) ,
N ( ÿ —y'x) + P{ÿ — /*)' + Q(y —y'xy
+R(y —y'xy + etc. + ( v’xy
Ainsi les termes de la transformée , qui seront multipliés par • les variations y et x , sans être des dérivées exactes , seront simplement
C N— P + Q* — etc. ) Cy — / ;
d’où l’on voit que l’équation générale
N — P' -f* Ç* — ü"-f- etc. = o
trouvée d’après la seule variation dej, satisfait en même temps à la variation de x. Donc cette variation n’influera
que sur l’équation aux limites il, — Ûa—o, dans laquelle il faudra ajouter à la valeur de Û le terme Vx, et y changer
y en y — y x.
On peut parvenir au même résultat d’une manière moins •impie , mais plus directe , en considérant immédiatement les variations de x et de ses dérivées.
Pour cela , il faut d’abord dépouiller la fonction V de la supposition de a/ = i , pour pouvoir tenir compte des variations de 3! , x etc.; ce qui se fait en substituant, comme
on l’a vu d*»* les leçons précédentes, ^ au lieu de y', — -j — •
au lieu de y", et ainsi de suite , et multipliant la fonction V par x? pour qu’elle puisse être la fonction dérivée de U.
Soit, pour ahréger,
£-=*’ J=r> etC‘>
il faudra dans F substituer p, q, r, etc. à la place de y' , y", y", etc. ; moyennant quoi cette quantité deviendra fonction de y , p, q, etc. , et l’on aura la dérivée
r = Mx' + Ny' + Pp' + Qq’ + R/ + etc.
qui se réduit à
V — (M+ Np + Pq -h Qr + Rs + etc. ) a/, et la variation
V — Mx -+■ Ny + Pp -f- Qq -f- /îr -f- etc.
- .*v' X "*{ -•‘.'•‘Ste-
Ainsi tout consiste à trouver les valeurs des variations p , q , r, etc.
Or p étant =^7- , on aura
cucvt
De même q étant =^,on aura
' ï p'x' p— qi? Cp — qx)' + 4*
V — — Zÿ — Zj
= {p-J*Y + ri
Mais la valeur de p donne
p — qx=s(y — pxY\
donc faisant cette substitution , et supposant j! = !, ce qui est permis ici, il viendra
q = (y — P*Y +rx.
On trouvera de la même manière
r=(j — pxy + sxt et ainsi de suite.
Par ces substitutions , la variation V deviendra ( M -{- Pq -f- Qr -j- Rs -f- etc. ) x + Ny + P(j—pxy+Q(ÿ — px)" + /l(j — px)’+ etc. = (M + Np Pq -f- Qr -f- Rs + etc. ) x
■+N(j-~px')+P(.ÿ—PxY+ Q(y—pxy+R(j—px)"
-|- etc.
Or on a trouvé ci-dessua
M -f- Np + Pq + Qr -f etc. = ;
d’ailleurs p — donc faisant ces substitutions, et supposant ici x' = 1 , on aura simplement
v= r'x + n (ÿ — ÿ'x ) + p Cy — y* )'
