Q ( y — /*)" + R (.ÿ — y *7 + etc

C’est la valeur complète de la variation de V, déduite des va* riations de x et de y et de leurs dérivées.

Mais on a vu qu’il faut mettre Vx' à la place de donc on aura Vx! -f- Vx' à substituer à la place de /''dans les formules

données plus haut -, donc mettant ici la valeur de V qu’on vient de trouver, et observant que

V'x + Vj^i.Vx'! ,

on aura , en faisant x1 = î , le même résultat auquel on est parvenu ci-dessus par une autre voie.

Au reste en regardant la quantité V comme une fonction de x,ye t de leurs dérivées x!, x", etc ■ ,y, y", etc., on pourra traiter les variations de x comme on a fait celles de y.

Dans ce cas, la fonction V étant représentée par

/( x , x!, x", etc. ,y,y', y ", etc. )

on trouverait les termes

xf (x) + xf(x!) + xf (x") , etc.

à ajouter à la variation V\ et en désignant ces termes par la formule

nx + px! -|- qx" -f- rx* -f- etc. , on parviendrait par des opérations relatives à la variation x

et analogues à celles qu’on a employées pour la variation y', à la transformée

( n — p' -\-q" — t* ■+■ etc ) x.

Desorte que la partie de la valeur de V qui ne serait pas une dérivée exacte serait

Q" — /T 4- etc. ) y

+ ( ri — p -f- q" — r" etc. ).r.

Lorsque y est censée une fonction de x , et qu’on peut parconséquent faire x' — î , nous venons de voir que la variation

simultanée dey et x , donne pour la partie de V qui n’est pas une dérivée exacte , la formule

(iV— P'+ Q"-Rm- f-etc. ) (ÿ y'i).

H faut donc alors que la formule précédente coïncide avec celle-ci , fet que l’on ait parconséquent

n — p' -j- q" — r" -f- etc.

=• —y' (ÏV — P' + Q" — R * + etc. ).

D’où l’on voit que l’équation

n — p' -j-q" — r* - f- etc. = o

que donnerait la variation de x , est toujours équivalente à l’ équation

N— P'- f- Q" — R" + etc. = o

qui provient de la variation de y.

En effet , nous avons déjà trouvé par une autre voie , dans la leçon précédente , que ces équations ont toujours lieu à-lafois.

Un des avantages du calcul des variations est de pouvoir faire varier indistinctement les indéterminées x ou y , et leurs différentielles; et l’identité des équations du maximum ou minimum, déduites de l’une et de l’autre de ces variations , a été un des premiers résultats de ce calcul auquel les anciennes méthodes n’auraient pu conduire. Mais les démonstrations qu'on en a données dans le second et dans le quatrième volume des Mémoires de Turin , sont moins directes que celle qui se déduit des formules qui représentent cette double variation , et que nous venons d’exposer d’après Euler ■ Y oyez le tome troisième de son Calcul intégral.

Considérons maintenant le problème dans toute sa généralité, et d’abord soit, comme ci-dessus,

V =/( x , y, / , y", y ", etc. ) ,

on aura

H=ny), P = f\y'), Q=f'(y“)> R=fXym), etc.

Soit , de plus , pour abréger ,

Y=fXy ) - [/'(/)]' + [f (/)]' - etc.

Y' =/'(/) - [/'(/')]' + Cf(/)T - etc.

Y =/'(/) -LfXym)J + etc.

Y — f (y*) — etc.

etc.

La variation f, dans le cas où x ne varie pas, sera

ÿ- Yy + cŸÿy + (îÿy + (rÿy + etc.

où les termes qui ne sont pas sous la forme de fonction* dérivées, doivent s’évanouir, ce qui donne d’abord, connue on l’a vu, l’équation générale Y =. o.

CAICU

Ensuite, à cause de V Ù', on aura la variation de U

ù=fy + fy + rjr + t te.

et l’équation aux limites sera

Ù,— Üe = o.

Si on veut que x varie en même temps que y , on changera^ en y — y' x , et on ajoutera à Ù le terme Vx.

Supposons, en second lieu, que la fonction proposée contienne une troisième variable z, avec ses fonction* dérivée* z', z", etc., on fera, relativement à cette variable, des opérations analogues à celles qu’on a employées pour la variable y; et la valeur de V, en supposant x invariable , se trouvera composée de deux parties semblables , l’une relative à y , l’autre relative à z.

Ainsi, en supposant

F =f(x> y>y'>y> etc- *> *'> etc.),

t It

et conservant les expressions de Y, Y, Y, etc., on fera, de plus ,

Z = f (z) - [/'(z')T + [/'(*"’)]" ~ [/'(*')]* + etc.

Z =/'(*') - [/( z")]' + 1 f (O]' ~ etc.

Z =/(*') - [/'(z*)]' -f etc.

Z — etc.

etc.

et l’on aura sur-le-champ

V—Yy + Z'z

+ &yy •+• oÿy+oyy + etc.