fi * 1 .a

ANALYSE, qu’il y aura de manières differentes de satisfaire a l’équation A • t /& r — I — &c. , ... ni p

ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé d’une autre manière à la fin de la leçon quatrième.

Faisons maintenant p = jr a , q = x l , r = x c , &c. , on aura y z=z = x a en faisant A =r a -+- b -t- c -4- &c. Donc

‘ * <jM=b(<

Donc la quantité

s dérivées

des ordres m, A,

& c.„ on aura

osée d’autant des quantités de la for

u «rb~i) (b- 2 )...

qu’il 1 y a de manières différentes de satisfaire à l’équation 771 ^ À — H" jtt ■ t " 1 I ■ &c. |

ce qui indique une analogie singulière entre le développement de la puissance d’un multinome , et celui du produit continuel du même degré.

En effet, ayant développé une puissance comme (a-\-b-+-c-+- &c./", en ses différens termes , on aura tout de suite le développement du

produit continuel A (A — \) (A — 2) (A — m 1 ), oh

Az=.a -t- b -t- c 8 cc., en substituant dans chaque terme, à la place des puissances a y , V* , c r 8 cc. , les produits continuels a (a — \) (a — 2)... (a — A H- 1 ),b (b — 1 ) (b — 2) . . . (b — {*. -t- 1 ), c (c — 1)

-f . 6 , ANALYSE.

Ce théorème remarquable est, je crois, dû à Kramp , qui l’a démontré directement dans son Analyse des Réfractions.

Nous terminerons cette leçon par une observation importante sur la nature des fonctions dérivées. ■ î

H est facile de se convaincre, par la manière dont les fonctions dérivées dépendent de la fonction primitive, que ces fonctions sont absolument déterminées , de sorte qu'une fonction donnée ne peut avoir que des fonctions dérivées données aussi, et uniques pour chaque ordre.

H n’en est pas de même des fonctions primitives à l'égard dè leurs dérivées ; car , puisque la fonction dérivée de toute quantité constante est nulle, il s’ensuit que si une fonction donnée est primitive à l’égard d’une autre fonction donnée, elle le sera encore étant augmentée ou diminuée d’une constante quelconque. Ainsi une’ fonction donnée peut avoir une infinité de fonctions primitives à raison de la constante qu’on y peut ajouter ; et nous allons démontrer que toutes les fonctions primitives dont elle est susceptible , ne peuvent différer que par cette constante.

Soit une fonction donnée fx, dont Fx et <px apient également fonctions primitives : on aurt donc, par l'hypothèse, Fx =/x,et <p'x=fx; donc , prenant les fonctions dérivées successives , on aura aussi F“x = fx. Fli'x, = f"x, &c., et de même <p"x = fx, fx —f x, &c. Considérons maintenant les fonctions F (x -f- i) et <p (x -f- i) , on a , par

le développement , F (x*-\- i) — Fx -f- / F' x -f- F” x-\-&.c.\ donc,

substituant les valeurs de F’x, F"x &c. , on aura

F (x -+- i) = Fx i f x -J- —fx h — — f x -f- Sec.,

et de même

<P (x -+- i) — <p x-h-ifx -4-— fx -4 - — fx-+-&.c.; donc, retranchant l’une de l’autre ces deux équations, on aura F (x 4- i) — <p (x -»r-ï) z=.Fx — <px. "

Comme cette équation doit avoir lieu quels que soient x et i, et -

que le premier membre est une fonction de x -+- i , et le second une pareille fonction de x, il est vftibie que cette fonction ne peut être qu’une constante indépendante de x et /. On aura donc nécessairement F x — <p x = K, K étant une constante ; et par conséquent Fx — <px -+- K: d’où l'on voit que si <p x est une fonction primitive d e fx, toute autre fonction primitive Fx de la même fonction fx ne pourra différer de q>x que par une constante.,; , ,

Il s’ensuit de là que lorsqu’on aura trouvé, d’une manière quelconque, une fonction primitive d’une fonction donnée , en y ajoutant une constante arbitraire , on aura l’expression générale de la fonction primitive de la fonction donnée.