LEÇON SIXIÈME

Fonctions dérivées des Quantités composées de differentes Fonctions <f une même variable , ou dépendantes de ces Fonctions par des équations données.

Les fonctions que nous venons de considérer dans les trois dernières leçons, sont comme les élémens dont se composent toutes les fonctions qu’on peut former par des opérations algébriques; c’est pourquoi nous •avons cru devoir commencer par chercher les fonctions dérivées de ces fonctions simples; et nous allons voir maintenant comment on peut • trouver les fonctions dérivées des fonctions composées de celles-ci d’une manière quelconque.

Nous supposerons en générai que p, q, r. &c, , soient des fonctions quelconques d’une même variable dont les fonctions dérivées p', q', /, &c., soient connues , et que y soit une fonction composée de p, q, r, &c., dont on demande la fonction dérivée y'.

On considérera que x devenant x-t- i,y deviendra en général

or p, q, r , &.c. deviennent en même temps

p — / p H — Scc>, q — J- i q 1 — &c. , t -I- / — h- êcc.i

il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression dey, développer les termes suivant les puissances de/, et le coefficient de / sera la valeur cherchée de y'.

Ainsi, si y = A p -+- B q -f- Cr-t- &c.; A, B, C, &c. étant des coefficiens quelconques, on aura sur-le-champ

y' = Ap' -4- Bq' —H CV-+-&C.

Siy — Apq, la quantité p q deviendra (p -+-ip' -t- &c.^. ( q — t— / q' H— &c.^ p q — t— i (p q' — t— q p') -+- &c.

doncy' = A (pq‘ -f- q p' ).

Si y — A p q r, on trouvera de la même manière

y' — A (q rp' -»-/> r q' —t— p q r' ).

Si y = — la quantité ■— deviendra

développant le dénominateur en série suivant les règles connues , on

(p h ip’ & c.). (j - ’jr H- &c.; = j- H- i( F - -4- -4- &c.

ioncy=zA(^~ p -f).

Soit / tzz. A p M q* , la quantité p m q" deviendra

( P -A- i p' —H &c. ) m ( q - 4 — i ef -4— &c. J n

— (p m mi p m ~‘ p 8 tc.j. ( q" -+• ni q"~' q' -+- 6ccJ

donc y' A (m q" p m ~“ p' H— » p m q"~ * q' ).

O11 trouvera, de la même manière, que si y = A p m q* f , on aura y' = A (m q' r 1 p n -' p' + n p m r* q—' q’ lp m q" r 1 -' /).

Et ainsi de suite.

Soit en général y =r f p ; en regardant / p comme une fonction primitive de p, ses fonctions dérivées seront f'p, f"p, &c., en sorte que p

devenant^ -f- u,fp deviendra fp -4- />-+-& c -

Or p étant une fonction de x , lorsque x devient x -4- i, p devient p -f- ip' - 4 - p" -4- &c.; donc faisant u — / p' -4- p" -4- &c. , la fonction / p deviendra, par la substitution de x -4- / à la place de x ,

Ainsi, on aura d'abord y' — p' f' p , d'où résulte ce principe , que la fonction dérivée J une fonction qui est elle-même une fonction de x , est égale au produit des fonctions dérivées de ces deux fonctions.

Ce principe sert à généraliser les résultats précédens relativement aux fonctions dérivées des puissances, des exponentielles, des logarithmes, et des sinus et cosinus.

Ainsi , si y = p m , on aura y 1 = m p m ~~' p’ ;

Si / := a r > on aura / — dp la;

Si/ zzz log. p, on aura/ — — ;

Si/=rsin.^, on aura/=/ cos. p;

Si/ = cos. p, on aura / zzz — / sin./? ;

Si/ — ang. s'm.p, on aura/' = Si/ :== ang.cos.jp, onaura/'= —

Supposons ensuite que y soit une fonction de p et q que nous désignerons par / ( p,q ); il s’agira de substituer x -H / à la place de x dans les deux fonctions p et q, et de trouver ensuite le coefficient de i dans le développement de la fonction composée f ( p, q ). Or, il est visible qu’on aura le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions àla-fois , soit qu’on les fasse l’une après l’autre, puisque les quantités p et q sont regardées dans ces substitutions comme indépendantes.

En substituant d’abord x H— i à la place de x dans la fonction p, la fonction f (p,q)> regardée seulement comme fonction de p, deviendra, par ce que nous venons de trouver ,

J’écris simplement f (p ), pour désigner la fonction dérivée de f (p.q ) prise relativement à p seul , q étant regardée comme constante.

Substituons ensuite x -f- / au lieu de .v dans la fonction q, la fonction f ( p, q) deviendra pareillement

où f (q) représente la fonction prime d é f (p, q) prise relativement à q seul , p ciant.regardée comme constante.

Quant au terme i p'f ( p ) , Ü est visible qu’étant déjà multiplié par i, il se trouverait par cette nouvelle substitution augmenté de termes multipliés par /*, i } &c.

Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement às f (p,q) après la substitution de x -4- i pour x dans p et q, seront simplement

de sorte qu’on aura

Si y était une fonction de p, q, r, représentée par / ( p, q. r J, on trouverait de la même manière

/ =P' f (P) -f- 9'f (9) + r'f (r) =/' (p, q.r). et ai nsi de suite.

D’où l’on peut tirer cette conclusion generale, que la fonction dérivée d'une fonction composée de différentes fonctions particulières, sera la somme des fonctions dérivées relatives à chacune de ces mêmes jonctions considérées séparément et indépendamment F une de F autre.

Ce principe , combiné avec le précédent , suffit pour trouver les premières fonctions dérivées de toutes sortes de fonctions , ainsi que les fonctions dérivées des ordres supérieurs.

Ainsi la fonction dérivée de pq étant qp' relativement à p, et pef relativement à q, la fonction dérivée totale sera qp' — f— pq’ , comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

De même , en regardant maintenant p' et q r comme de nouvelles fonctions dont p“ et q" sont les fonctions dérivées , la fonction dérivée de q p' sera q' p — t— qp" , et la fonction dérivée de pq' sera p' q' -t— pq" ; de sorte que la seconde fonction dérivée de pq sera qp"— t— 2 p' q' -t— p q ; et ainsi de suite.

Par les mêmes principes , on a

m m — t f . mm — te •

» 1 P p -\-np q q

pour la fonction dérivée de p m q n , le premier terme étant la fonction dérivée relative à p, et le second étant la fonction dérîvée relative à q; et ainsi du reste.

Si p = sin. x et q = cos. x, on a p' = cos. x, et q' = — sin. x ; donc lorsque^ = sin. x m cos. .t", on aura

y' = m sin. x cos. x — n cos. x sin. x

Ainsi , comme la tangente d’un angle est égale au sinus divisé par le cosinus, en la dénotant par le signe tang. placé avant l’angle comme caractéristique, et faisant

* sin. x

y = tang.x = — ,

on aura

Et en général, sij> = tang. p, on trouvera

• ' = - p J cos. p *

Mais

Mais ia fonction y pourrait, h être donnée que par une équation entrer et^y. '

Représentons en général cette équation par F (y, x) — o ; il est clair que si on regarde y comme une fonction de x déterminée par cette équation , et qu’on imagine cette fonction substituée au lieu de y dans F [y , x), il en résultera une^fonction de x qui sera identiquement nnlle, quelle que soit la valeur de x ; et par conséquent aussi en mettant x -H i à la place de x, quelle que soit la valeur de /. v ,

Dénotons cette fonction par j, et comme * devenant x - 4 — i.

l devient j -4- il' de i, l’équation

d’où l’on tire les équations

- & c., on aura, quelle que soit la valeur

-l -\- &c. — Oi , • v . . k .

Maintenant g étant = F (y, x), on aura, par les formules ci-dessus, F (y) -+- F (x), en dénotant par F (y) la fonction prime de F (y, x), prise relativement à y seul, et par F (x) h fonction prime de F (y, x) , prise relativement à x, et faisant x’ = 1 , puisque x devient simplement x i'. . ■ ,

Ainsi l’équation dérivée = o , sera y 1 F (y) F (x) ■= o, d’où l’on lire • . - * / • j . u « • : : .

/ses — —

On aura, de cette manière, 1 a valeur de y en fonction de x et y; de iâ, en regardant toujours^- comme fonction de x , pn pourra déduire ia valeur de y" en fonction ‘de x et y ; car en supposant, pour abréger, / —f (y, x),, la fonction dérivée de f (y. x) sera de la forme ÿ f (y) - 4 - f (x); donc , substituant pour y' sa valeur , on aura y“ =f (y, x) *"f' (y) (x), et ainsi de suite.

On trouverait. les mêmes valeurs de y" , y* , 8 cc\ par les équations o, i“'= o, &c. ' V - ^ ’ l' ; ~

Si l’on avait plus généralement l'équation F (y, p, q . , . ) tzz o,on trouverait de la même manière l’équation dérivée, .

Xll* Cahier. F

/ F' (y) -f- p'F (p) -H <f F 1 (q) -+- Scc. = o ; d’où l’on tire

et regardant de nouveau la valeur de/ comira une fonction àçj.p, q, &c., / q' &c., sa fonction dérivée sera In valeu^de y° ; et ainsi de suite. Enfin si l’on avait deux fonctions j et u données par les équations

F (y. u, p, q . . .) = O 'if (y, u.p.q. .. ) = o,

on pourrait, par les mêmes opérations , trouver immédiatement les valeurs de / et u' en fonctions de y, u, p, q, 8cc.;

Car on aurait d'abord les équations dérivées

' / F' (y) -+- u' F' (u) -+- p 1 F' ( P ) -+- tf F' ( q) — &c. = o .

d’où l’on tirerait / et u' ; et ainsi du reste.

Les règles que nous venons d’établir suffisent pour trouver les fonctions dérivées, d’un ordre quelconque, de toute fonction d’une variable, de quélque manière qt’eJle soit donnée, soit explicitement par des expressions déterminées, soit implicitement .par des équations quelconques. . . ,

A l’égard de la notation que nous avons employée pour représenter séparément chaque partie d’une fonction dérivée , relative à chacune des fonctions particulières qui entrent dans la fonction primitive , on voit qu’elle est très-simple et très-commode ; et nous nous en servirons aussi dans la suite. - '

On peut même, par cette notation , ne séparer du reste de la fonction dérivée , que la partie relative à une’ variable donnée. Ainsi les fonctions primes des fonctions de p et q, ou de p, q et r, ou &c. * peuvent se développer de cette manière

: , f fp.i)=pTlp)^ifli).

f (t, i.o =//' (p> -+-/ fi. o—p'f (p> -f, if h)+-/r /o.

et ainsi des autres. *

11 faut toujours observer de ne renfermer entre les parenthèses qui

AN'A.IÏSE. 43

suivent la caractéristique f , des fonctions dérivées , que Jes variables par rapport auxquelles on veut prendre la fonction dérivée.

Lorsqu’il n’y a qu’une seule variable entre içs parenthèses, comme f (p), cette expression indique que la fonction dérivée doit être prise relativement à cette variable, comme si elle était seule et unique; c’est-à-dire, qu ef'(p ) sera le coefficient de/' dans le développement de la fonction donnée, en y substituant simplement p -J-ï / au lieu de p, quelque fonction d’ailleurs que p puisse, être de x.

Quoiqu’il soit plus simple de déduire les fonctions dérivées des differens ordres les unes des autres , parce que de cette manière les mêmes règles et les mêmes opérations font trouver toutes les dérivées; et que ce soit même dans cette dérivation successive des fonctions, que consiste l’essence et l’algorithme fondamental du calcul des fonctions dérivées, il y a néanmoins des cas où la considération immédiate des termes successifs de la série peut donner les fonctions dérivées successives d’une même fonction, d’une manière plus directe et plus générale; c’est ce qui a lieu lorsque le développement de la fonction en série peut s’exécuter facilement par les formules connues.

En eflêt ,•« l’on a en général »

p,q, & c. étant des foutions de Sc , et qu’on substitue x / à la glace de x , cette équation deviendra m

■ > — f ( p —H / p' H— — p —H &c., q — t- iq' —f- — q"'-+~ &C . . • . ) t

et elle devra avoir lieu indépendamment de la quantité indéterminé^ // de sorte que si l’on peut développer directement la fonction qui forme le second membre en une série de la forme

f (p’ < I"‘) "h 1 iê* —4— i Q — f— i* R H- &c. f on aura sur-le-champ

/=/>, Q, — —M, Su.

Soit par exemple^ ±s p q, on aura à réduire en série l'expression

(p -4- ip' -f- — p’ -+- &c.; (q -f- iq' -+- Lq‘ -f- &c . );

et il est facile de voir qu’on aura ->

y Pi

Ht w .

Et en général,

> tmi - ***** | *‘* lm ~" t P"i (m ~' > , •/!'

l’exposant placé entre deux crochets désignant l’ordre de la fonction dérivée, de sorte qu’en multipliant par a, on aura la formule

générale

/ g(rn~ l)+. * ^ é"~»;

En général , si on fait y=.p q r... on trouvera de la même manière

que la valeur de sera composée d’autant de termes de la forme

# I.Z-3- A* 1.2. 3 .. . fi\ 1 . 2 . 3 ..... y . , . ,

qu’on pourri donner de valeurs différentes aux nombres A, fi, », &c. , de manière que l’on ait À — /a, -+- v & c. — m.

Supposons p = e ", q •=. e tx , r — e cx , &c. , la quantité t étant toujours telle que/e = 1 , onaura^>=* et J a fonction dérivée

de l'ordre m , c’est-à-dire, y m sera ( a -+- b c -+- &ac ) m y.

On aura de même

= ap, /^=b u q, / rJ = et, &c. “ ; *

-+- Ac. y )'*

Donc puisque^ =:/> f r... ij s’ensuit que la quantité * pourra se développer en autant de termes de la forme