LEÇON SEPTIÈME

Sur la manière de rapporter les Fonctions dérivées à différentes Variables.

Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu’on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.

Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable et une fonction qui contient plusieurs quantités , çeut avoir différentes fonctions dérivées suivant les quantités qu'on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives , par laquelle jon peut déduire ces fonctions les unes des autres ; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions , nous allons nous en occupa dans cette leçon.

En regardant y comme une simple fonction dex, on sait que y devient y -+- if -f- y" -f- &c., x devenant x -t- i. Si on suppose que

x soit elle-même une fonction d’une autre variable quelconque t, et qu’on veuille regarder y comme fonction de t, alors t devenant y deviendra aus$i de la forme *

48 analyse.

Mail pour, distinguer les fonctions dérivées /, y", &c. , qui , dans ia première formule, se rapportent à x,*de celles de la seconde, qui sé rapportent à t, nous désignerons pour un moment Jes premières par (/)', ( y “), & c. , de manière que x devenant x -4- », y deviendra

Or x étant regardée comme fonction de t , lorsque i devient / -t- t\ x devient x -+- »V -+- x " -t- & c.; donc, si dans la formule précédente on met à la place de i l’accroissement de x, i x' -f- x" -t- &c. ,

t on aura également ce que y devient lorsque / devient / H- 1. Ainsi on aura l’équation identique , . *

y (ix'-\- ‘-x“-+-&.c.)(y')-+-^(ix'-+- j x*- 4 - &c./ (y')-\- 8 cC.,

= iy' -+- — y" - 4 - &c. ; #

d’où l’on tire, par ia comparaison des termes affectés des différentes puissances de », *

La première équatjpn donne (y') — dG la seconde équation donnera

at substituant la valeur précédente de (y'), on aura

La troisième équation donnerait la valeur de (f), et ainsi de suite. Mais j’observe qu’011 peut déduire immédiatement ia valeur de (y") de celle de (/ ), et successivement celle de (y"') de celle de (y" ) &c. , par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives. En effet , puisque (y') fonction dérivée de y par rapport à x , est

égal à —7 , c’est-à-dire à la fonction dérivée de ^ par rapport à t divisée

par celle dé* x , de même , (y" J fonction dérivée de (/) par rapport . à

à x sera égale à ia fonction dérivée de —, par rapport à t, divisé par x',

I N i II *

et ainsi de suite. Or, ia fonction dérivée de —, est —, — donc on

aura (y") = 4-, — comme on i'a trouvée par la seconde équation; et ainsi de suite.

Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement , et on les généralise de maniéré qu’elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.

Or , ce qui déterminait les fonctions dérivées de y à se rapporter à la variable*, c’était qu’elles résultaient de l'accroissement / attribuée à cette variable ; au lieu qu’en rapportant ces fonctions à une autre variable dont x

est censée fonction , l’accroissement de * devient alors lk' -t- — t-&c. ,

i étant l’ac&oissement de la nouvelle variable. Ainsi , comme le cas particulier où l’accroissement de * est simplement », résulte de l’expression générale de l’accroissement de x, en y faisant x' = i , il s’ensuit que x' — i est la condition qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable*, et qu’en général pqur les rapporter à toute autre variable, il n’y aura qu’à supposer égale à l’unité la fonction prime de cette variable.

Il résulte de là cette conclusion générale, que si une forihule contient les fonctions dérivées y' , y ", ôcc. , relatives à une variable *, et qu’on veuille les rapporter à une autre variable quelconque , il faudra changer

et ainsi de suite.

XI l.‘ Cahier.

ou bien — rr — — n—

Si t est la nouvelle variable à laquelle on veut rapporter les fonctions dérivées, cette variable étant une fonction quelconque de x et y, il n’y aura qu’à faire r' = i, et, par conséquent, f = o, t"' — o, &c.; équations par lesquelles on déterminera les valeurs de x', x ", &c. , ou dey'.y’’, & c.

Ce principe est général et doit s’appliquer à toutes les fonctions dérivées qui se rapportent à une même variable; il est d’un grand usage dans le calcul des fonctions , et constitue un des principes fondamentaux de l’algorithme de ce calcul. •

Le cas le plus simple est celui où y étant supposée fonction de x, et ses fonctions dérivées y', y", &c. , étant rapportées à x, on veut, au cohtraire, regarder x comme fonction de y, et rapporter à y les fonctions dérivées x' , x", & c.; on fera, dans ce cas, les substitutions indiquées

ci-dessus, et on supposera y' — t , y" — o , &c. On substitugra donc -4

à la place de /, — à la place de y", et ainsi des autres.

Ainsi, ayant trouvé dans la leçon quatrième, que y r=r a donne, relativement à x, y m al a — y ta, on pourra avoir immédiatement

la valeur de x' relativement à y, en substituant simplement ~ à la place dey'; ce qui donnera x'

Comme x est le logarithme de y pour la base a , on a par là la fonction dérivée du logarithme.

De même , en supposant y = sin. x , on a vu dans la leçon cinquième , que l’on a, relativement à x, y' = cos. x; donc , pour .avoir réciproquement la fonction dérivée de x ' de l’angle par le sinusy. il

n’y aura qu’à substituer ■ à la place de y', ce qui donnera x ' r= — —