LEÇON HUITIÈME

Du développement des Fonctions lorsqu'on donne h la variable une valeur déterminée. Cas dans lesquels la règle générale est en défaut. Analyse de ces cas. Des valeurs des Fractions dont le numérateur et le dénominateur évanouissent à - la - fois.

La théorie des fonctions dérivées est fondée sur le développement des fonctions l^squ’on attribue à une variable un accroissement indéterminé. Nous avons démontré, dans la leçon deuxième, que, dans les fonctions algébriques, ce développement 11e peut contenir que des puissances entières et positives de la quantité dont la variable est augmentée, tant que cette variable demeure indéterminée; et nous avons ensuite déduit de cette forme, les lois de la dérivation des fonctions. Il est .donc nécessaire, avant d’aller plus loin, d’examiner les cas où elle pourrait se trouver en défaut , et les conséquences qui en résulteraient relativement aux fonctions dérivées.

Nous avons vu , dans la même leçon, que la série du développement de f(x-y-i) ne peut contenir de puissances négatives de i, à moins que l’on 11’ait fx — à l’infini ; parce qu’en supposant i — o , les termes qui contiendraient de pareilles puissances deviendraient infinis.

Or, cetle condition exige que la variable x ait une valeur déterminée, qu'on trouvera par la résolution de l’équation •

/ x = — ou — rr: o.

o • fx *

Soit donc a, une racine *de l’équation — = o, de manière que l’on ait ~ — - — - — ■— , Fx étant une fonction de x qui ne devienne ni

fx F x 1

nulle ni infinie, lorsque x = a , et m étant un nombre positif quelconque. En mettant x i à la place dé x , et faisant x =r a, on aura e / • . . , F(a-t-i)

où l’on voit que la série du développement de f ( x — j- i ) aura, dans

ce cas , des termes de la forme — , ■ , & c. •

Considérons maintenant les cas où ce développement pourrait contenir des puissances positives , mais fractionnaires de /. La démonstration que nous avons dfcnnée pour prouver l’absence de ces sortes de termes , est fondée sur ce que ces termes augmenteraient Je nombre des radicaux dans le développement de f ( x — f- i ), tandis qu’il est évident que cette fonction ne peut contenir que les mômes radicaux que la fonction f x , tant que x est supposé une quantité indéterminée. Mais cette démonstration cesse d’avoir lieu, lorsqu’on donne à x une valeur indéterminée , telle qu’elle fasse disparaître un radical dans fx ; car alors, ce radical pourra cire remplacé par unradical de/dansledéveloppement de / (x — f-; ). En effet , supposons que la fonction f x contienne un radical qui s’éva-

nouisse lorque x = a, tel que ( x — a ) M , m et n étant des nombres entiers positifs; la fonction / ( x-t- i ) contiendra le radical correspon-

dapt ( x — a i) * lequel en faisant x = a devient i de sorte que le développement de cette fonction’ suivant les puissances de », pourra

contenir le radical / ” et toutes ses puissances entières et positives.

Cette conclusion n’auralt pas lieu si la valeur particulière de x n’anéantissait pas le radical , mais le faisait seulement disparaître, en rendant nulle

une quantité par laquelle il serait multiplié. Car quoique le radical puisse disparaître de cette manière dans lafonction fx, il pourrait ne pas dFsf>araître dans les fonctions dérivées f'x, fx, &c., qui entrent dans le développement de f ( x -4- i ), et alors la démonstration conserverait toute sa force. Ainsi , si un radical de la fonction fx se trouvait multiplié par ( x — a ) m , m étant un nombre entier positif, ce radical y disparaîtrait lorsque x = a ; mais dans' la fonction /Y x -f- i ) il serait multiplié par' (x — a —H i ) m , et dans le cas de x z=za, il le serait par i™. Donc dans le développement de cette fonction il ne pourrait paraître alors avant le terme qui contiendrait la puissance i"; par conséquent, il disparaîtrait des fonctions dérivées fx, fx, & c., jusqu’à f m ~ ,J x, mais reparaîtrait dans les fonctions dérivées des ordres suivans ; de sorte que le développement def(x-i-i) contiendrait toujours dans ce cas le même radical. H n’y a donc que le cas où le radical est détruit dans la fonction fx par une valeur particulière de x, dans lequel le développement de f (x-\-i) doive contenir des radicaux de i, et il reste maintenant à voir comment on pourra juger que cela doive avoir lieu. •

Pour cela j’observe que les fonctions f (x-+-i) ,f (x-\-i),&.c., sont également les fonctions dérivées de / ( x-k-i), soit qu’on les prenne relativement à x, soit qu’on les prenne relativement à i, ce qui est évident, puisqu’en augmentant soit x, soit i d’une même quantité quelconque, on a le même accroissement de la quantité x-+-i. D’où il suit que l’on aura également les valeurs defx,f“x, & c. , quel que soit x, en prenant les fonctions dérivées successives de/ (x-+ -i) relativement à i, et faisant ensuge i — o.

Or, si on suppose que le développement de / fit -4- i) doive contenir iorsquê x = a, un terme affecté de tel que Ai", A étant une fonction de a, et m n’étant pas un nombre entier positif; en prenant les fonctions dérivées relativement à/’, il faudra que les développemens des fonctions /' (x -t- ij.f (x -J— i) , &.c. contiennent les termes

mAÏ*~',m(m — \) Ai" ~ ‘, &c. ;

donc, faisant i = o, on en conclura que les fonctions f x ,f x , fx , &c., lorsque x n a , contiendront respectivement les termes Ae m , mA o" m (m — i)Ao m ~‘,lkc. •

Si m est un nombre quelconque négatif, il est clair que tous ces termes seront infinis.

Si m est un nombre positif non entier, soit « le nombre entier immédiatement plus grand que ni, il est visible que le terme m (m — i J ... { m — n -t- i ) A o m ~ n sera infini, ainsi que tous les suivans , et quç tous les précédens seront nuis. D’où il s’ensuit que les fonctions dérivées de l’ordre ri mt et des ordres suivans , deviendront infinies lorsque x a.

Dans ce cas donc , si n est l’indice de l’ordre de le première fonction qui devient infinie, le développement deffx-t-i) devra contenir un terme de la forme i m , m étant un nombre compris entre n — i et n.

Si n o , c’est-à-dire, si la fonction f x dev ient elle-même infinie , ce développement contiendra alors des puissances négatives de i.

On peut appliquer aux logarithmes ce qu’on vient de démontrer sur les puissances fractionnaires de/. Car, on a vu à la fin de la leçon quatrième que les logarithmes répondent aux puissances fractionnaires dont l’exposant est infiniment petit, c’est-à-dire aux racines infiniiièmes , et que c’est par celte raison qu’il y a toujours une infinité de logarithmes répondant à un même nombre.

Aussi , par la même raison, quand on résout une fonction en série suivant les puissances d’une même quantité, le logarithme de cette quantité peut se trouver quelquefois entre les puissances positives et les puissances négatives de la même quantité , lorsque la fonction .elle-même contient des logarithmes.

Ainsi, si la fonction f x contient des logarithmes , le développement de / (x -+- i) pourra contenir dans le cas particulier de x zrz a , des termes de la forme i m (log. ij", et les fonctions dérivées f (x-t -i), f" (x + i), &c., contiendront alors des termes de la forme r “ ‘ ( log. »/, »" ( log. i) n ~ de là forme i m “ 1 ( iog. i )\ .m — • ^| 0 g jj* — ' t f” (\og. i)" ~ *, et ainsi de suite. Or lorsque / — o, toute quantité de la forme f log. ij m est infinie lorsque m est positif, et nulle lorsque m est négatif, et toute quantité de la (orme/'" ^log. / J * est nulle ou infinie, suivant que m est positif ou négatif, quel que soit l’exposant n; donc quelqu’une des fonctions fx, f x, f " x, &c. deviendra

nécessairement infinie, et alors toutes ies suivantes à l'infini seront infinies aussi. En général tout terme de la forme/" 1 fdog .//, n étant un nombre positif, rendra infinie la fonction dérivée x de l’ordre /a, u. étant un nombre entier égal ou immédiatement plus grand que m.

• On peut donc conclure en général que le développement f x if'x

- f“ x — | — &c. de la fonction f( x -4- i) ne peut devenir fautif

pour une valeur déterminée de x qu’autant qu’une des fonctions/*, y 7 *, f "x, Sic., deviendra infinie en donnant à ,v cette valeur; et que ce développement ne sera fautif qu’à commencer du terme qui deviendra infini.

Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant les puissances ascendantes de /', il faudra faire d’abord dans la fonction f (x-\-i), x égal à la valeur donnée, et développer ensuite suivant les puissances croissantes de i par les règles connues, en ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de /' qui se trouveraient dans la fonction même.

Pour confirmer par quelques exemples ce que nous venons de démontrer, supposons d’abord que l’on ait

fx=iax — ** -f -aV(x l — a 1 ), et qu’on demande le développement f (x H— i J lorsque * a.

En prenant les fonctions dérivées suivant les règles générales, on aura

et ainsi de suite.

En faisant x et, on a fx z=z a' , f x z=. — donc toutes les fonctions dérivées des ordres suivans seront aussi infinies, et le développement d ef( et -4- i) contiendra nécessairement un terme de la forme Ai”, tué tant entre o et i . .

En effet , on aura par la substitution de a -t— / dans l’expression de/ x, f ( a -+- i) a — i‘ -f- a i x Y (2 a -4- i ), d’où l’on voit que le

développement

développement suivant les puissances de i contiendra des termes de la forme Vi,iV i, /* V i , &c.

Soit , en second lieu , f x z=z V x — I— (x — a) x l (x — a),

•n aura ces fonctions dérivées

/''=irr+ 1

Si on fait x — a, la fonction seconde/" x devient infinie, ainsi que toutes les suivantes.

Ainsi, le développement de/ (x -f- i ) par la formule générale deviendra fautif dans le cas de x = a , et il contiendra nécessairement le terme i*Ji.

Nous avons observé plus haut, que lorsqu’une valeur particulière de x fait disparaître dans / x un radical, en ne détruisant pas ce radical luimême, mais en rendant seulement nul son coefficient, alors ce même radical reparaîtra nécessairement dans les fonctions dérivées /'*,/"*, &c., et la formule générale du développement de/ (x-\-i) ne cessera, pas d’être exacte dans ce cas.

Mais lorsque la fonction/ x, au lieu d’être donnée d’une manière explicite, n’est déterminée que par une équation où le radical ne se trouvé pas , la détermination de ses fonctions dérivées, dans le cas dont il s’agit, pourra être sujette à des difficultés qu’il est bon de prévenir.

Soit^y —fx, et par conséquent en prenant les fonctions dérivées/”/'*, y" zzzf“x, &c. Supposons que pour une valeur donnée de * il disparaisse dans/* un radical, lequel ne disparaisse pas dan s f'x; il est clair que pour cette valeur de *, la fonction f'x aura un plus grand nombre de valeurs différentes que la fonction fx, à raison du radical qui se trouve dans f'x et qui a disparu de fx ; d’où il suit que la valeur de / ne pourra pas être donnée par une simple fonction de* et 7 qui ne contiendrait pas explicitement ce radical. Cependant, si dans l’équation y zz. fx on fait disparaître ce même radical par i’élévation aux puissances, et que Xll, e Cahier. H

l’équation résultante soit représentée par F ( x,y) — o, l’équation dérivée

de celie-ci donnera .y = — T^Jy) comme on i’ a vu dans sixième leçon ;

donc cette expression sera en défaut, dans le cas où l’on donnerait à x la valeur en question, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que les quantités F’ (x)e t F’ (y) seront l’une et l’autre nulles à-la-fois. Ainsi dans le cas dont il s’agit, l’expression dey 1 deviendra égaie à zéro divisé par zéro; et réciproquement lorsque cela arrivera , ce sera une marque que la valeur correspondante de x aura détruit dans fx un radical.

Pour avoir dans ce cas la valeur de/, il ne suffira donc pas de s’arrêter à la première équation dérivée de F (x, y) — o, laquelle étant y' F' (y) H— F' (xjzzz o aura lieu d’elle-même, indépendamment de la valeur de/' ; mais il faudra passer aux secondes fonctions dérivées , et l’on aura une équation de la forme

/ ? b)-t-jrp-+-/Q-*-R = o,

P, Q, R étant des fonctions de x et / qu’on trouvera parles règles générales de la dérivation des fonctions.

Cette équation donnera, généralement parlant, la valeur de/"; mais dans le cas proposé, la quantité F (y) devenant nulle, le terme qui contient /" disparaîtra, et l'équation restante sera une équation du second degré en /', par laquelle on déterminera la valeur de /, qui sera par conséquent double.

Soit par exemple,

fx = x -f- (x — a)V (x—b).

on aura f x = i -+- V (x — b) H — - — .

J 1 ' xV (x — b)

Faisant x — a, on a / x = a, et f x — i -f- / (a — b), où l’on voit que le radical disparaît dons la valeur de fx, mais non pas dans celle de f x, en sorte que la première est simple et la seconde double.

Maintenant, si on fait f x—’y , et qu’on éleve l’équation au carré pour faire disparaître le radical , on aura

(y — x/ = (x — af (x — b).

Analyse.

En prenant les fonctions primes, on aura celle-ci

2 (y — *) (/ — i)=i(x — a)(x —b) (x — a) x ; d'où l'on tire

Faisant x r= a, on a aussi y z=z a; ce qui donne

On passera donc aux fonctions secondes, et l’on aura cette équation du second ordre.

Ici la supposition de x z=.a, et y = a, don nef/ — ij l r= a — b, d'où l’on tire y' = i -4- V (a — b), comme plus haut. *

II petit arriver que la môme valeur de x, qui détruit les termes de la première équation dérivée, détruise aussi ceux de la Seconde; il faudra alors passer à l'équation tierce, laquelle, par la destruction des termes qui contiendront y" et deviendra une simple équation en*/, mais du troisième degré ; et ainsi de suite : cela dépend de la nature du radical qui aura été détruit dans y, et qui doit être remplacé par le degré de l’équation d’où dépend la valeur de /.

Supposons, en second lieu, que la même valeur de x, qui fait disparaître un radical dan s fx, le fasse disparaître aussi dan s f'x sans le faire disparaître néanmoins dans fx, alors les valeurs correspondantes defx', et f'x seront en même nombre, mais celles de f x seront en nombre plus grand. Si donc on fait évanouir ce radical dans l’équa- .

tion y = fx, la valeur de / qu’on elt déduira se trouvera —

et il faudra passer aux équations dérivées d’un ordre 'supérieur pour avoir la valeur de y".

Soit, pour en donner un exemple,

y = x (x — af V (x — b).

analyse;

on aura

Faisant a = a , on a y := y == i et y" = a ‘ y ( a — b). Mais, si on réduit l’équation proposée à celle forme rationnelle (y — x)'=(x — a J* ( x — b), on en tirera l’équation dérivée

* (y — *) (/— l ) = 4 (* — <*)' (x-b)-t- (x—af; dans laquelle, en faisant x — a et y =: a, tout se détruit.

On passera donc à l’équation dérivée du second ordre, laquelle sera (y -xjy‘-+- (ÿ — if=z 6 (x — a/ (x — b) -t- 4. (x — a) 1 .

Faisant x — a, et y = a, on aura (y' — 1)* = o, et par conséquent^' — t ; mais, pour avoir la valeur de y", il faudra avoir recours à l’équation tierce , et même à l’équation quarte.

On aura ainsi

(y — x)y m H- 3 (y'— 1 )y — 18 ^-^‘4-11 (x — a )(x~b), où tout se détruit encore en faisant ,v = a, y — a, y' 1 .

L’équation dérivée d e l’ordre suivant sera donc (y — (y— x )y m ■+“ 3 y"* — 48 fx~a)-+-ï2(x — b).

Faisant ici x — a, y = a, / — t , on aura 3 y n — 12 fa — b), d’où l’oij tirej/" = 2 V (a — b), comme plus haut.

Nous ne pousserons pas plus loin cette analyse, qui d’ailleurs n’a plus de difficultés d’après les principes établis. Mais nous observerons qu’on peut étendre la même théorie aux fractions dont le numérateur et le dénominateur deviennent nuis à-la-fois , lorsqu’on donne une certaine valeur à une indéterminée contenue dans la fraction.

Soit -y une pareille fraction ,fxet F x étant des fonctions de x, telles

que la supposition de x — a les rende toutes deux nulles à-Ia-fois, et que l’on demande la valeur de cette fraction lorsque .r = a.

On fera ^ — et par conséquent^ Fx = fx, en supposant x = a.

Cëtte équation se vérifie d’elie-même , et ne peut pas.servir à déterminer la valeur de^. Mais en prenant i’équation dérivée, on aura y' Fx -f -y Fx=z f x; la supposition de x = a détruit le terme / Fx, et le reste de l’équation donne „

S’il arrivait que les fonctions primes y' x et F x devinssent aussi nuiles par la même supposition, on trouverait alors par le même principe, en substituant dans l’équation ci-dessus , f x, F x, au lieu defx, Fx, cette nouvelle expression de y.

Fx

On pourrait aussi déduire la même expression de l’équation dérivée trouvée ci-dessus, en considérant que comme elle se vérifie d’elle-même lorsque x = a, elle ne peut servir à la détermination de y ; que par conséquent il sera nécessaire de passer à la seconde équation dérivée, laquelle sera/* F x -4- 1 y' F x H— y F' x zzz f“ x, La supposition de x = a rendant nuiles les fonctions Fx et F x , les termes qui contiennent/ et y"

» y" jf

s’en iront d’eux-mêmes, et les termes restans donneront v — — — ,

comme plus haut.

Si ld même supposition de .v = donnait encore f“ xr=o et F x z=o,

on trouverait de la même manière y — -——; et ainsi de suite.

D’où résulte cette règle générale, que lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fonction de x deviennent nuis à-la-fois pour une valeur donnée de x, il faudra prendre à leur place les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, jusqu’à ce qu’on arrive à une fraction qui ait une valeur déterminée pour la même supposition de x,

On sait que la formule — j donne la somme de la progression

géométrique x -+- x' -+- x’ &c., x

Lorsque x = i , cette formule devient ; on prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, on aura la nouvelle fraction - ,y> * dont la valeur, lorsque x = i , est ».

Si on . prend la fonction dérivée de la formule — , on a