I “T ( 11 ■+■ 1^** “H » * II* • . I II
■ — , et ceile-ct exprime par conséquent la somme de la
série i -f- 2 x —I— 3 x 1 -4- &c., — H w x ” — 1 qui est la fonction dérivée de
la séri
sérié x ■
Lorsque x ~ 1 , la formule précédente devient , on prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, et l’on
, qui, en faisant
aura la nouvelle fraction
x — 1 , devient de nouveau — . On prendra de rechef les fonctions dérivées
du numérateur et du dénominateur de cette dernière fraction, et l’on aura celle-ci,
laquelle, lorsque x= t, devient
somme de la série 1 -+- 1 3 -+- &c, , ».
On pourrait craindre qu’en prenant aiqsi les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, on 11’eût toujours des fonctions qui devinssent égales à zéro divisé par zéro, pour la même valeur de x. Mais il est aisé de se convaincre que cela ne saurait avoir lieu ; car si x = a faisait évanouir les fonctions/x, f x, f x &c., à l’infini, puisqu’on a en général
f (x-\~ i) =f x -+- if x -+- ‘—f x -+- &c., on aurait, lorsque x — æ,
f (a -+-i) = o quel que soit/', ce qui est impossible. Il en serait de même de F(x -t- i}.
11 peut néanmoins arriver que ces fonctions deviennent à-la-fois infinies par la même supposition de x z=za, ce qui rendrait egalement ituléter-
minées les valeurs des fractions ~ , , &c. ; mais ce cas rentre alors dans
Fx r x
le cas général que nous avons examiné plus haut, et if en faudra conclure que le développement des fonctions et F (x H— >) contiendra
alors des puissances de / fractionnaires ou négatives.
On substituera donc a < à la place de x , tant dans la fonction du numérateur, que dans celle du dénominateur, et l’on résoudra l’une et l’autre en série, suivant les puissances ascendantes de //on fera ensuite / o après avoir 'divisé le haut et le bas de la fraction par la plus haute puissance de// ou, ce qui revient au même, on n’aura d’abord égard qu’au premier terme de chacune des deux séries.
Soit par exemple la fraction
dont on demande la valeur , lorsque x = a. On voit d’abord que cette supposition rend le numérateur et le dénominateur nuis. Leurs fonctions
II x
dérivées sont — ; — I — et ■ - — qui deviennent l’une et
2K» xr(a — x) y (x — a) 1
l’autre infinies par la même supposition. On fera donc x — a -f- / , et la fonction du numérateur deviendra V ( a -4 - / ) — Va -f- V i = V i
&c.; la fonction du dénominateur deviendra V i ( 2 a i J
V 2 . a i H 1- 8cc., en ordonnant les termes suivant les puis-
sances croissantes de/.* En ne prenant que les deux premiers, on aura
la fraction /' — — Î-* , pour la valeur cherchée.
En général, une fonction de x ne peut devenir nulle lorsque x = a, à moins qu’elle ne contienne un facteur fx — a) m ,m étant positif quelconque. Donc , si deux fonctions de .r deviennent nulles, par la même supposition , il taudra quelles contiennent chacune un pareil facteur ; et pour trouver alors la valeur delà fraction formée de ces deux fonctions.
il ne s’agira que de la réduire à sa plus simple expression, en la dégageant du facteur commun au numérateur et au dénominateur.
Si donc on fait x zzz a -+- i, ce qui donne x — a = i, le facteur commun sera une puissance de / qui s’évanouira par la division, et alors il n’y aura plus qu’à faire i = 0 pour avoir x = a.
Ainsi ayant la fraction la substitution de a -+- / au lieu de x , ; F x *
donnera d’abord en général •
f a -i-if a -+- - — f" a -+- «Scc.
Fa-+-iF a h F' a ■+■ âcc.
Si fa — 0 , et Fa 0 , le haut et le bas de Ja fraction seront divisibles par /, et elle deviendra
fa ■+■ — fa ■+■ &c., #
Faisant ensuite i z=z o pour avoir x — a, on aura Çf- pour la valeur
de la fraction proposée , lorsque,* — a.
Si f'a — o , et F az=. 0, la fraction se réduira encore, et deviendra, par une nouvelle division par /,
laquelle, en faisant i = o, se réduit à ; et ainsi de suite.
On voit par là la raison de la règle générale donnée plus haut; et on voit, en même temps, que cette règle 11’est bonne que pour les fractions dont le numérateur et le dénominateur contiennent à-la-fois un facteur de la forme (x — a J", m étant un nombre entier positif. Aussi peut-on toujours résoudre ces cas en faisant disparaître ce facteur par les règles connues pour réduire la fraction à sa plus simple expression.
Dans
*j- fijf, ;%
Dans les autres cas où n serait un nombre fractionnaire, la règle sera en defaut; et il faudra alors réduire les deux fonctions / (a-+-i) et F(a-\-i) dans les séries
et Ai” + Bi m + F c.;
et;
de sorte que l’on aura
et faisant i — 0 ,
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Mais, par ce que nous avons démontré plus haut, on est assuré que ces cas n’auront lieu que lorsque les valeurs des fonctions dérivées de fx et de Fx deviendront infinies en même temps par la supposition de x = a.
L’analyse que nous venons de donner est nécessaire pour ne rien laisser à desirc-r sur la nature des fonctions dérivées ; mais comme elle 11e regarde que la valeur de ces fonctions dans des cas particuliers, elle 11’influe point sur la théorie générale des fonctions , en tant qu’on n’y considère que la forme et la dérivation des fonctions, laquelle est, par conséquent , indépendante des exceptions que nous avons trouvées.
