LEÇON NEUVIÈME

De* la manière Savoir les Limites du développement d’une Fonction lorsqu’on n a égard qu'a un nombre déterminé de Termes. Cas dans lesquels les principes du Calcul différentiel sont en défaut. Théorème fondamental. Limites de plusieurs Séries. Manière rigoureuse d'introduire les Fonctions dérivées dans la Théorie des courbes et dans celle des mouvemens variés.

Toute fonction f fx -f- i J se développe, ainsi qu’on l’a vu, dans i* i 1 /

la série fx -f- ifx — — fx -+- — f m x & c ; laquelle va na-

•VsLv

T-> S'.'jjvz ,

-JÊÊÊ

v IM

W V-Jlgi-

' sû

turellement à l’infini , à moins que les fonctions dérivées de fx ne

deviennent nulles, ce qui a lieu lorsque/* est une fonction rationnelle et entière de x.

Tant que ce développement ne sert qu’à la génération des fonctions dérivées , il est indifférent que la série aille à l’infini ou non ; il l’est aussi, lorsqu’on lie considère le développement que comme une simple transformation analytique de la fonction ; mais si on veut l’employer pour avoir la valeur de la fonction dans les cas particuliers , comme offrant une expression d’une forme plus simple à raison dè la quantité i qui se trouve dégagée de dessous la fonction , alors ne pouvant tenir compte que d’un certain nombre plus ou moins grand de termes , il est important d’avoir un moyen d’évaluer le reste de la série qu’on néglige, ou du moins de trouver des limites de l’erreur qu’on commet en négligeant ce reste.

La détermination de ces limites est sur-tout d’une grande importance dans l’application de la théorie des fonctions à l’analyse des courbes et à la mécanique, pour pouvoir donner à cette application la rigueur de l’ancienne géométrie, comme on le voit dans la seconde partie de la Théorie des Fonctions analytiques.

Dans la solution que j’ai donnée de ce problème dans l'ouvrage cité, j’ai commencé par chercher l’expression exacte du reste de la série , ensuite j’ai déterminé les limites de cette expression. Mais on peut trouver immédiatement ces limites d’une manière plus élémentaire et également rigoureuse. «

Nous allons , pour cela , établir ce principe général , qui peut être utile dans plusieurs occasions.

Une fonction qui est nulle lorsque la variable est nulle , a uécesssairement , depuis f origine de la variable , des valeurs fuies 1 1 constamment positives ou négatives, tant que sa fonction dérivée est fuie et toujours positive ou négative.

Ce principe est très-important dans la théorie des fonctions , parce qu’il établit une relation générale entre l’état des fonctions primitives et celui des fonctions dérivées, et qu’il sert à déterminer les limites des fonctions dont on ne connaît que les dérivées.

Nous allons le démontrer d’une manière rigoureuse.

Considérons la fonction f(x — (— / ), dont le développement général

est fx - 4 - ifx H — f’x -4- &c.

Nous avons vu, dans la leçon précédente, que la forme du développement peut être différente pour des valeurs particulières de .v ; mais que , tant que/'*' ne sera pas infinie , les deux premiers termes de ce développement seront exacts, et que les autres contiendront par conséquent des puissances de / plus hautes que la première , de manière qu’on aura / ( x H- t) — fx -f- i (f’x -4- Vf,

V étant une fonction de * et i, telle qu’elle devienne nulle lorsque i o.

Donc , puisque V devient nul lorsque / devient nul , il esf clair qu’en faisant croître/ par degrés insensibles depuis zéro, la valeur de Kcroîtra aussi insensiblement depuis zéro, soit en plus ou en moins, jusqu’à un certain point, après quoi elle pourra diminuer; que, par conséquent, on pourra toujours donner à / une valeur telle que la valeur correspondante de V, abstraction faite du signe, soit moindre .qu’une quantité donnée, et que, pour les valeurs moindres de /, la valeur de V soit aussi moindre.

Soit D une quantité donnée qu’on pourra prendre aussi petite qu’on voudra, on pourra donc toujours donner à / une valeur assez petite pour que la valeur de V soit renfermée entre les limites D et — D ; donc, puisqu’on a/f* - 4 - i) — fx — i (fx - 4 - V), il s'ensuit que la quantité/^* - 4 — / ) — fx sera renfermée entre ces deux-ci, / (f'-x — 4 — D) Comme cette conclusion a lieu quelle que soit la valeur de*, pourvu que fx ne soit pas infinie , elle subsistera aussi en mettant successivement x- 4 -i, * -+- 2 i, x -4- 3 / & c. jusqu’à * H— (n — i) i à la place de x; de sorte qu’on pourra toujours prendre / positif , et assez petit pour que les valeurs des quantités

f(x -H i) -fx

f(x -4- li) — f(x -4- i), f(x - 4 - } i) — f (x - 4 - li),

f(x -4- ni) — f [ x -4- (n — 1 ) i] ,

soient renfermées respectivement entre les limites ' » (fx ± D), i[f (x - 4 - i) ± DJ. i[f ( x -4- i f) ± D f, & c. i(f[x -+-(» — \)i]-±zD),

en prenant pour D la même quantité dans chacune de ces limites, ce qui est permis, pourvu qu’aucune jdes quantités f'x, f (x -4- i), f (x -1- zi), Sec., jusqu’à f [x -4- ( h — i) i] , ne soit infinie.

Donc, si toutes ces dernières quantités sont de même signe, c’està-dire, toutes positives ou toutes négatives, il est facite d’en conclure que la somme des quantités précédentes, laquelle se réduit à f (x -4- ni/ — f x, aura pour limites la somme des limites, c’est-à-dire, les quantités ifx — t— if (x - 4 - i) - 4 - if (x -f- i i) - 4 - &c.

-f- if' [x — t— ( il — t— i ) i] ± ni D.

Si donc on prend la quantité arbitraire D moindre que la somme de f’x -f- f (n -t- i) -+-f ' (x 2 i) -t- &c. -+-f[x-+-(n — i ) i)

divisée par n, abstraction faite du signe de cette somme , ia quantité f (x - 4 - ni) — -fx sera nécessairement renfermée entre zéro et la somme *i[fx /' (x H- i) H- /' (x -4- zi) - 4 - &.c.

Donc, si P est. la plus grande valeur positive ou négative des quanthés fx, f (x - 4 - i) &c., jusqu’à f [x - 4 - (n — \) i], la quantité

f (x -4- ni) — fx sera, à plus forte raison, renfermée entre zéro et

Or, comme en prenant i aussi petit qu’on voudra, on peut en même temps prendre « aussi grand qu’on voudra, on pourra supposer in égale à une quantité quelconque j positive ou négative , puisque la quantité i peut être prise positivement ou négativement.

La quantité /Y* -t- ni) — fx deviendra ainsi f(x -4- 1) — fx, et pourra représenter une fonction quelconque de 3 qui s’évanouit lorsque 1 r= o, la quantité x pouvant maintenant être regardée comme une constante arbitraire. De même la quantité f fx -4— ni) deviendra f (x -4- 1) et représentera la fonction dérivée de ia même fonction de £, puisque f (x -4- z) est également la fonction dérivée de f (x %)

soit par rapport à x, soit par rapport à £.

On peut donc conclure en général , que si /' (x z) a constamment des valeurs finies et de milme signe depuis z — o, et que P soit la plus grande de c es valeurs -, abstraction faite du signe, la fonction primitive dont il s’agit sera renfermée entre o et 2 1 P, par conséquent elle aura toujours aussi des valeurs Unies et de même signe que la fonction dérivée si z est positive, ou de signe différent, si j est négative.

Dans le calcul différentiel , la conclusion précédente est une suite immédiate et nécessaire de la manière dont ce calcul est envisagé, -et elle se présente même sans aucune limitation relativement aux valeurs infinies; mais nous allons voir quelle est souvent en défaut à cet égard, ce qui servira à montrer la nécessité d’une analyse plus rigoureuse que celle qui sert de base au calcul différentiel.

En effet, si y est une fonction de z> sa fonction dérivée, suivant

la notation de ce calcul , sera représentée par —j — , et y, intégrale de

dy, est regardé, par les principes mêmes du calcul, comme la somme de tous les élcmens infiniment petits dy ou d £; par conséquent si y = 0 , lorsque £ — o , y sera la somme de tous les élémens — — d£

qui répondent à tous les élémens de £. D’où l’on est en droit de conclure

• rfy • • • •

que si — — a toujours des valeurs positives depuis £ =z o jusqtltà une

• » ' dy

valeur quelconque positive de £, tous les élémens —j— d£ étant postée

tifs, la valeur de y répondant à cette valeur de £, sera nécessairement positive. \

Cependant , si l’on a , par exemple , y — - — — — , a étant une

constante quelconque positive , on auray= o lorsque £ — o , et la valeur

de -j- sera, par les règles connues de la différentiation, — - — p-

Cette valeur est^constamment positive, quelle que soit la valeur de £; il faudrait donc que la vàleur de y fût toujours positive ; ce qui n’est! pas; car, en prenant z plus grande que a, y devient négative. Ainsi les principes du calcul différentiel sont en définit dans ce cas.

Suivant le principe que nous venons d’établir , la valeur de y ne

sera nécessairement positive qu 'autant que la fonction dérivée

sera pas infinie dans l’étendue de la valeur de r. Or — — étant égale *

i - — - — - , elle devient infinie lorsque j =r a. Donc les valeurs de y seront nécessairement positives depuis i o jusqu'à j = a ; mais elles pourront ne pas l’être lorsque i> a , quoique les fonctions déri-

vées

- soient toujours positives.

Voici maintenant comment le principe dont -il s’agit s’applique à la détermination des limites du développement de f(x i) :

Soient d’abord p et q les valeurs de x -4- ; qui rendent la fonction dérivée/' (x -t- i) la plus petite et la plus grande, en regardant x comme donné, et faisant varier; depuis zéro jusqu’à une valeur quelconque donnée de ;. Donc f'p sera la plus petite valeur de f (x -+- ; ) et f'q en sera la plus grande; par conséquent /' (x -\-i) — f'p, et f'q — f (x -t- i) seront toujours des quantités positives.

Regardant ces deux quantités comme des fonctions dérivées relatives i la variable leurs fonctions primitives, prises de manière quelles soient nuiles lorsque ; — o, seront, à cause de,x , p et q, supposées constantes,

0* -+- 0 —f x —>fp> et if I —f( x-+-Ü -+-/*•

Ainsi, pourvu que/' (x-\-i) ne soit jamais infinie depuis; = o jusqu’à la valeur donnée de ;, ce qui aura lieu si f p et f q ne sont point des quantités infinies, on aura , par le principe précédent, si ; est positif, f ( x i) — fx — if'p>o, et fx — f( x -\-i)-\-if'q>o\

d’où l’on tire

f (x- J r~i)>f x-¥-if p, et f(x->r-i) <fx-k-if'q.

Supposons ensuite que p et q soient les valeurs de x — t— ; qui rendent la fonction dérivée du second ordre/" fx i) la plus petite et la plus grande, en faisant varier ; depuis zéro jusqu’à une valeur donnée, on aura /' p et f’q pour la j^us petite et la plus grande valeur de/" (x -t— ; ) ; par conséquent/" (x — t— i) — /* p , et /" q — /" (x -+- i) seront toujours des quantités positives.

Regardant ces quantités comme des fonctions dérivées relatives à la variable /, leurs fonctions primitives prises de manière qu’elles soient nuiles lorsque i = o seront

f ( x H— i) — fx — if p, et if <] — f x.

Donc, pourvu que f (x -H i) ne soit jamais infinie dans toute l’étendue de », ce qui revient A ce que/"/» et /* q ne soient point infinies, ces deux quantités seront , par le même principe, toujours positives et finies, i étant supposé positif; en les regardant comme des fonctions dérivées relatives à i, leurs fonctions primitives prises de manière qu’elles soient milles lorsque i 0 , seront , à cause de x , p et q , supposées constantes,

f( x •) ~ fx — if'x — '-f"p et ^/‘ÿ — f(x-+-i) -+- fx -t- if'x.

Ces nouvelles quantités seront donc aussi parle même principe toujours

positives; on aura ainsi

f(x-^i) —fx — if x — f p > o ;

fx —fx -f- /; —H if x -t— ~f q > o,

d’où l’on tire

f(x-i-i)'> fx -t- if x -i-'-fp, etf( x -4- i) <fx -+- //*' -+- f" q.

Si on suppose en troisième lieu que p et q soient les valeurs de x — f- i qui rendent la fonction tierce/"' (x -f- i) la plus petite et la plffc grande, depuis i — 0 jusqu’à une valeur donnée de », on aura les deux quantités f" (x — f- i) — f'p et f" q — f ( x - 4 - i ) , qui seront nécessairement positives dans toute l’étendue de i. Donc, en les regardant comme des -fonctions dérivées relatives à la variable i , leurs fonctions primitives prises de manière qu’elles soient nuiles, lorsque / — o, seront,

T (* -4- 0 -f" * - ' f' P > et if q -f (x-+-i) -4 -f X.

Et ces quantités seront par le même principe toujours positives et finies, pourvu que /'" (x -+- i) ne soit jamais infinie dans toute l’étendue de/, c’est-à-dire , pourvu que / " petf" q ne soient point infinies.

Donc, en regardant de nouveau ces dernières quantités comme des fonctions dérivées relatives à i , leurs fonctions primitives prises de manière qu elles soient nulles lorsque i o, seront

f ( x ■+* 0 f x *f * ~if u> P‘

et -J"' q — /' (x-i -i) -+-f x -+-//" x,

lesquelles seront par conséquent aussi toujours positives et finies, en vertu du meme principe. *

Enfin , regardant encore ces nouvelles quantités comme des fonctions dérivées relatives à i, leurs fonctions primitives de manière qu’elles soient milles lorsque i=zo, seront

f(* H/; /* if x-^fx- L r p .

et —f(x *+■ i) -+-/* -t-ifx-h- '-f'x.

Ces quantités seront donc encore positives par le même principe; ainsi on aura

f( x + i )-f x - i f x - i Lf’ x -JL f~ p > o

f x / (x -+- i) -H if x jr î f“9> x >i

d’qù l’on tire

' f (x -4- i) > f x -+- i f x et ainsi de suite.

Nous avons supposé dans ces développemens / positif; si / était négatif, ou bien si on changeait / en — i, alors on trouverait pour premières limites def(x — i) .

On trouverait ensuite pour secondes limites

f( x — o <f x — fp

f(x — i)>fx — lf x-+- -1-/" q

et ainsi des autres.

Donc, en générai, la quantité f (x ~\~i) , soit que / soit positif ou négatif, sera toujours renfermée entre ces deux-ci :

en prenant pour p et q les valeurs de x -4- / qui répondent à la plus petite et à la plus grande des valeurs def ^ (x -+- i) dans toute détendue de » depuis iz=.o; pourvu que les deux quantités/^/» et /<“ q ne soient pas infinies.

Au reste, il est facile de voir, par l’analyse précédente, qu’on n’est pas astreint à prendre pour f* p et f * q la plus petite et ia plus grande valeur def^fx -l- /), mais qu’on peut prendre à leur place des valeurs quelconques plus petites que la plus petite, et plus grandes que la plus grande; ce qui peut servir, dans nombre de cas, à faciliter beaucoup la déterminati&n des limites.

J’observerai ici, quoique cela ne soit presque pas nécessaire, que j’entends toujours par quantités plus grandes ou plus petites absolument, celles qui sont plus avancées vers l’infini positif, ou vers l’infini négatif; ainsi si a> b, on aura — a < — b, & c.

L’analyse précédente redonne , comme l’on voit, successivement les termes du développement de f(x-\-i); mais elle a l’avantage de ne développer cette fonction qu’autant que l’on veut, et d’offrir des limites du reste.

XII/ Cahier. K.

En effet, si dans le développement de f ( x i) on veut s’arrêter au

terme p.'"' pour avoir les limites du reste du développement, il n’y a cju’à

considérer le terme suivant qui serait de la forme f 1 x ,

et y mettre à la place de /‘“.v la plus grande et la plus petite valeur de f * ( x -+-i ) en faisant varier / depuis zéro , ou bien des quantités quelconques plus grandes ou plus petites que la plus grande et la plus petite valeur def*(x -¥->)• Si ces deux valeurs , ou l’une d’entre elles, étaient infinies, il n’y aurait point alors de limites; c’est aussi le cas où le développement deviendrait fautif, parce que la valeur def^-fx — f- i) serait infinie dans quelque point.

En général , on peut avoir de la même manière les limites des valeurs de toute fonction dont on ne connaîtra que la fonction dérivée d’un ordre quelconque. On examinera la marche de la fonction dérivée depuis l’origine de la variable, et si elle ne devient jamais infinie, on y appliquera immédiatemf^t les formules précédentes, où / est la variable, et x peut être une constante quelconque. Si au contraire la fonction dérivée devient infinie pour certaines valeurs de la variable, on partagera cette variable en autant de parties séparées par les termes auxquels répondent les valeurs infinies de la fonction , et on appliquera séparément les mêmes formules à chacune de ces parties.

Supposons f(x -+- i ) — (x —H iJT, on aura /x = x" e t de là f'x = mx"'~' ,f* x—m (m — i )x n ~*,f'"x = m(m — i ) (m — 2 ) x m ~ &c. , et en général xz=zAfx m ~ M , ou

comme on l’a vu dans la deuxième leçon. On aura donc f* (x -f- i) = M (x -t- ij"'~ où l’on voit que cette fonction ne peut jamais devenir infinie tant que x -+-i n’est pas =: o, et que /z n’est pas > m. On voit aussi que la plus petite et la plus grande valeur de M (x -\-i) m ~^ répondent l’une à / = o et l’autre à i; de sorte que les valeurs de p et q seront x et x -t- i , du x H- / et x, suivant que i sera positive ou négative et /x > ou < m.

Donc, en général, le développement de (x — f- //" sera compris entre ces deux limites :

mix

nu x

m Cm— 1) , t / X

m fin — l ) I X

■ 8 cc.

Mi»

Par le moyen de ces limites , on est à couvert des difficultés qui peuvent résulter de la non-convergence de la série ; car comme un terme quel-

ttnt *ii » » W /i 1 1 I l

conque ». est au suivant dans le rapport de 1 a x — ,

pour que la série soit convergente il faut que la quantité — — " ' x —,

abstraction faite du signe qu’elle doit avoir, soit moindre que l’unité. Si — < 1 , il est clair que la série finira toujours par être convergente, puisque la dernière valeur de — — — est — - 1 . Mais elle sera toujours divergente A son extrémité, si — > 1 . quoiqu’elle puisse être convergente

dans ses premiers termes. Ainsi , elle ne pourra alors être employée avec sûreté, quelque loin quelle soit portée, qu’en ayant égard aux limites que nous venons de donner.

Supposons en second lieu f (x-+-i) — a Jr ' w , on aura/ x = a, et de là /' x= al a,f" x = a (l a) x ,f'"x = a (la) \ & c. Donc en général^ f» (x i) = a" + ' (la) », où l’on voit que la plus petite et la plus grande valeur répondent aussi à / = oetà/. Ainsi on aura, en faisant x =z o,