I -+- i la ~ (la ) 1 (la)' &c. -+- (la
1 —J— il a — |— — — (la) —f— (la )' — f— &c. — J— ^ ’ (la)» d ,
pour les limites de la valeur de a’ , où l’on pourra prendre dans le dernier terme, au lieu d eu', une quantité quelconque plus grande.
y6 ANALYSE.
Soit , en troisième lieu , f fx -4- i) = / f x -4- i ), on aura
fx = Ix.f'x
donc
le signe supérieur étant pour le cas de fx impair, et l'inférieur pour le cas de )jl pair.
Il est clair que, pourvu que x -4- i ne soit pas égal à zéro, la valeur f (x -{-i) ne sera jamais infinie, et que sa plus petite et sa plus grande valeur relativement à i répondront A i — o et à /.
On aura donc par la formule générale ces deux limites pour la valeur de l (x H- i)
i ;* i * ,fl
lx-\ 1 — f- —7 &C.,zt fx,
X 2X 3 *’ Il X
Ix- 4--
iM
M(x-t-iJ *
où l’on pourra mettre à la place de i une valeur quelconque plus grande dans fx -t-i)*"
Soit, en quatrième lieu, f fx -4- /,) — sin. (x-k-i), on aura fx =sin.x, fx = cos. x, fx = — sin. x , &c. ; donc, en général , f (x -t- i) r = ± sin. (x -4- i) ou = ± cos. fx -4 -i), suivant que/u. sera de l’une 8e -ces formes 4 », 4 « - 4 - 2,4 a -4- 1,4» -4- 3 , n étant un nombre entier quelcdnque , ce qu’on peut renfermer dans cette expression générale
f^fx-h-i) — sin. f x -4- i -+- /x D),
D étant l’angle droit.
Or, quelles que soient les valeurs de x et /, il est visible que la plus grande et la plus petite valeur def fx -4- i) sera 1 et — 1 ; ainsi on aura pour le développement de sin. fx -\- i) ces limites,
sin. x - 4 - i cos. x — — - sin. x — — cos. x -4- &c. rt . .
Si on fait x — o, on aura
Et si on fait x = Z), on aura,
pour les limites de sin. i et cos. i, où il faudra prendre pour /x le nombre immédiatement plus grand d’une unité que l’exposant de i dans le terme auquel on voudra s’arrêter.
Nous avons donné à la fin de la leçon septième, la série du développement de f(y -+- i), en supposant^ = tang. x, et fy = x; et nous avons trouvé en général
f* y = rfc: 2 . 3 . . . (/x — 1 ) co s.at“ x sln. ou cos. fx x.
Donc on aura aussi
f M fy -\-i) = dtz 2.3... (/x — 1 ) cos. x sin. ou cos. fx j ,
en faisant ^-4-/= tang. j, et par conséquent £=arc. tang. ftang. x~+~i).
Or, quelles que soient y et i, il est visible que la plus petite et la plus grande valeur de cos. x sin. ou cos. fx 1 sera — 1 et 1 ; d’où on peut d’abord conclure que la série est vraie pour des valeurs quelconques de x et i ; et que si on veut arrêter la série au terme fx' mt , le reste de la série
sera nécessairement renfermé entre les limites ;±: — .
Ainsi en faisant x = o, on aura ces limites
arc. tang. / =r 1 1 -4- &c. :
où fx est l’exposant du terme auquel on veut s’arrêter.
Nous finirons par remarquer que les mêmes formules peuvent servir à développer une fonction quelconque suivant les puissances de sa variable ; car en faisant* = o,f (x -4- / ) devient simplement f i et peut représenter une fonction quelconque d’une variable i.
Or, il est visible que les valeurs defx, f'x,f"x, 8 cc., lorsque x = o doivent coïncider avec celles de fi, fi. f /', &c., lorsque i — o.
Donc, si on dénote simplement par/,/',/", &c. les valeurs de fi, fi, f /, &c., lorsque i == o, on aura en général
fi =f- f- if -+- 7 /* *+■ ~r -f- &c.
Et si on veut s’arrêter au terme alors comme le terme suivant serait
il n’y aura qu’à substituer à la place de /* la plus grande et la plus petite valeur def M i ou des valeurs plus grandes et plus petites que celles-ci , et l’on aura les limites du reste du développement.
Ainsi le développement sera exact tant que ces limites auront des valeurs finies. Si l’une d’elles devenait infinie, le reste de la série pourrait aussi devenir infini, et le développement deviendrait fautif. Il faudra donc alors ou s’arrêter à un terme précédent , ou n'attribuer à i que des valeurs telles que/ 1 * / ne devienne pas infinie depuis / r= o jusqu’à cette valeur.
Puisque ces limites répondent à la plus grande et à la plus petite valeur de /“ /, en prenant i depuis zéro jusqu’à la valeur donnée; il est clair que la valeur exacte du reste du développement de la fonction fi répondra à une valeur intermédiaire de /“ /, qui pourra être représentée par f^j, en prenant pour j une quantité entre zéro et /. Il s’ensuit de là qu’on pourra toujours représenter d’une manière finie le développement d’une fonction quelconque//, en y introduisant une quantité inconnue/ moindre que i. Ainsi , on a ce théorème analytique, remarquable par sa simplicité ,
fi — / -+- if — /"' &c.
;r * iM
/A* - * H ' fMJ
où f,f, f, &c., sont les valeurs défi, fi, fi, &c., en y faisant/=o, l’exposant fx étant quelconque.
On a par-là une démonstration rigoureuse de cette proposition qu’on
s’était contenté de supposer jusqu’ici; savoir, que dans le développement d’une fonction , on peut donner à la variable suivant laquelle est ordonné le développement , une valeur assez petite pour qu’un terme quelconque de la série soit plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent; car il est clair qu’il suffit pour cela de faire voir qu’on peut toujours prendre / assez petit pour que l’on ait
condition qui se réduit à celle-ci /** ' > — f^j, à laquelle il est visible
qu’on peut toujours satisfaire en diminuant la valeur de /, pourvu qu’on n’ait pas ~ 1 = o.
On peut démontrer de la même manière cette autre proposition , que si l’on a deux fonction^ différentes// et Fi, qui soient telles que les y, premiers termes du développement de fi, soient respectivement égaux aux premiers termes du développement de Fi, on peut, en diminuant la quantité/, rapprocher assez près les valeurs de ces deux fonctions, pour que la valeur d’aucune autre fonction comme tpi, ne puisse jamais tomber entre ces valeurs, si les y. premiers termes du développement de i pi ne coïncident pas aussi avec ceux du développement défi et de Fi; car la différence Fi — fi se réduira par l’hypothèse, à
Thr.< FI -I»
où la quantité j pourra être différente dans les deux fonctions , mais toujours/ < i; au lieu que la différence <pi — fi sera de la forme
(<P)—fi),
A étant < y. ; d’où l’on voit qu’en diminuant la valeur de i, le rapport de celte différence à la première, deviendra toujours plus grand, à moins que l’on n’ait aussi &c.
C’est sur ces principes qu’est fondée l’application rigoureuse de la théorie des fonctions dérivées aux parties de la géométrie et de la méca-» nique, pouf lesquelles on emploie le calcul différentiel : soit f x l’ordonnée
d'une courbe dont x est l’abscisse; prenons une nouvelle abscisse i, qui commence où finit l’abscisse x, que nous regarderons maintenant comme constante; l’ordonnée correspondante y, sera f (x -+- i), de sorte qu’en développant on aura
y —fx -+• if'x + ~ fx -+- &c.
Arrêtons-nous aux premiers termes , on aura simplement y = fx -4- if'x,
équation à une ligne droite qui passe par le point de la courbe qui répond à l’abscisse x, et qui est inclinée à l’axe d’un angle dont f'x est la tangente.
Comme les deux termes de l’ordonnée de cette droite coïncident avec les deux premiers termes de celle de la courbe, il sera impossible qu’aucune autre droite passant par le même point de la courbe, puisse passer aussi entre elle et la droite dont il s’agit ; celle-ci sera donc la tangente de la courbe au même point , de manière qu’en appelant S la sous-tangénte, on aura en
général ~ f'x , et de là S = ~f~ ~~
Prenons maintenant les trois premiers termes du même développement, - et considérons la courbe dont l’équation serait
y — fx H- if'x fx ;
on aura une parabole dont l’axe est parallèle aux ordonnées y, et dont le paramètre est .
Cette parabole passera par le point de la courbe qui répond à l’abscisse x , et aura la même tangente qu’elle , parce que les deux premiers terfnes de son équation coïncident avec ceux de l’équation de la courbe ; et comme les troisièmes termes coïncident aussi , il s’ensuit qu’aucune autre parabole ne pourra passer entre celle-ci et la • même courbe : ce sera , par conséquent , la parabole qu’on nomme
6 sculatrice , et qui aura
— — pour paramètre.
Comme
Si
Comme c’est ordinairement au cercle qu’on rapporte la- courbure des courbes, pour avoir le rayon de courbure, on supposera que la courbe proposée est un cercle dont l’équation générale est , comme l’on sait,
' (x — a) x H- (y — b)' — r 1 ; ainsi on aura
y = b -4- / [F - (x - a/J = fx ; de là on aura, en prenant les fonctions dérivées.
fr‘ - fx - a )']\ —ï*'
Si on détermine, par ces trois équations, les valeurs de a, b, r en x , fx, fx, fi c, on aura non-seulement le rayon r du cercle oscufateur , mais aussi la position du centre de ce cercle par les deux coordonnées a, b, qui seront en même temps celles de la développée ; car alors les trois premiers termes du développement de y dans le cercle, coïncideront avec les trois premiers termes du développement de y dans la courbe proposée.
On aura aussi, pour une courbe quelconque.
On peut pousser plus loin cette théorie des osculations , comme nous l’avons fait dans les articles 1 17 et suivans de la Théorie des Fonctions analytiques.
Si on considère l’espace décrit par un mobile, comme fonction du temps employé à le parcourir, et qu’on nomme x le temps, et y l’espace, l’équation y =/* exprimera la nature du mouvement. Mettant x - 4 - i XII/ Cahier. I,
à ia place de x, on aura, par le développement ,
y = fx if'x H *— fx -+- &c. ,
où les termes qui suivent le premier fx, représenteront l’espace décrit dans le temps /, qui commence au bout du temps x.
Ne prenons, dans l’expression de y, que les deux premiers termes, on aura
y = fx -4- if'x;
équation qui représente un mouvement uniforme dont la vitesse est fx. Ainsi , comme ces deux termes sont les mêmes que les deux premiers de l’expression générale de y , il s’ensuit de ce que nous avons démontré en général , que , dans les premiers instans du temps i, ce mouvement uniforme approchera plus du mouvement dont il s’agit, qu’aucun autre mouvement uniforme ; car on pourra toujours prendre le temps i assez court pour qu’entre les espaces parcourus en vertu de ces deux mouvemens , il ne puisse être parcouru uniformément, dans le même temps, aucun espace moyen avec une autre vitesse que fx. Donc on pourra regarder fx ccfmme l’expression de la vitesse de tout mouvement représenté par l’équation y — fx, au bout du temps x.
En prenant les trois premiers termes de l’expression générale de y , on aura
y — f x ”+■ if'x -+- fx,
formule qui représente un mouvement composé d’un mouvement uniforme avec la vitesse fx, et d’un mouvement uniformément accéléré produit par une pression ou force accélératrice constante fx, comme l’expérience le prouve dans le mouvement des graves.
Ces termes étant les mêmes que les trois premiers termes de l’expression générale de y, on conclura, des mêmes principes établis ci-dessus, et par un raisonnement semblable au précédent, que, dans les premiers instans du temps i , ce mouvement approchera du mouvement représenté par l’équation y = fx, plus qu’aucun autre mouvement semblable, de manière qu’on pourra prendre fx pour la vitesse , et fx pour la
force accélératrice au commencement du temps i, c’est-à-dire , au bout du temps x. Donc, en général , y étant l’espace décrit et exprimé -en fonction du temps, y' sera la vitesse, et/* la force accélératrice nécessaire pour ce mouvement.
Ceci a lieu naturellement dans les mouvemens rectilignes : mais en considérant les mouvemens curvilignes comme composés de rectilignes, on en déduit les lois des vitesses et des forces dans toutes sortes de mouvemens.
Nous nous contenterons ici d’avoir fait voir, en deux mots, l'usage de notre théorème sur les limites du développement des fonctions, dans l’application des fonctions dérivées à la géométrie et à la mécanique ; et nous renverrons ceux qui désireront un plus grand détail , à la seconde partie de notre Théorie des Fonctions analytiques,
