LEÇON DIXIÈME

Des Equations dérivées , et de leur usage pour la transformation des Fonctions. Analyse des Sections angulaires.

Jusqu’à présent nous n’avons considéré les fonctions dérivées que comme servant à la formation des séries d’où elles tirent leur origine ; mais ces fonctions , considérées en elles-mêmes , offrent un nouveau système d’opérations algébriques, et sont, pour ainsi dire, la clef de la transformation des fonctions.

Lorsqu’une fonction d’une variable est présentée sous deux formes differentes , en égalant ces deux expressions , on a ce qu’on appelle une équation identique, à cause de l’identité de la valeur, laquelle doit, par conséquent, avoir lieu indépendamment delà variable, c’est-à-dire, quelle que soit cette variable; ainsi elle aura lieu aussi en attribuant à la variable un accroissement quelconque i.

Soit fx = o, une pareille équation identique, on aura donc aussi f(x -+- i) = o, savoir, en développant

• fx -t- if'x -4- fx -4- &c. = o,

que! que soit / ; donc on aura séparément •

fx — o, fx = o, f"x = o, &e.;

d’où il suit que l’on aura la même équation en prenant les fonctions dérivées d’un ordre quelconque.

Supposons maintenant une équation comme F (x, y) o entre deux variables x et y par laquelle l'une y doive être fonction de x. Il est évident qu’en regardant y comme une fonction de x déterminée par cette équation, l’équation F ( x,y) — o sera identique, et aura lieu indépendamment de x; donc l’équation subsistera aussi entre les fonctions dérivées d’un ordre quelconque.

En prenant donc les fonctions dérivées premières, secondes, &c. , de chaque terme, on aura autant de nouvelles équations qui auront lieu en même temps que l'équation primitive, par conséquent toute combinaison de ces équations aura lieu aussi à-la-fois.

Nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre, du second ordre, &“c. ou simplement équations primes, secondes , &c. , nonseulement les équations dérivées qu’on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, &c., de tous les termes d’une équation regardée comme primitive, mais encore les équations qu’on pourra former par une combinaison quelconque de l’équation primitive, et de son équation prime, ou de ces deux-ci et de l’équation seconde.

Ainsi l’équation primitive contenant x et y , l’équation dérivée du premier ordre ou équation prime contiendra x , y et y' , l’équation dérivée du second ordre, ou équation seconde, contiendra x, y, y' et y" ; et ainsi de suite.

Si au lieu de regarder y comme fonction de x,on regardait au contraire x comme fonction de y, l’équation prime serait entre y , x et x 1 , l’équation seconde serait entre y, x, x ' et x" , et ainsi de suite; et par le principe exposé dans la leçon septième, on pourra toujours transformer un de ces systèmes d'équations dérivées dans l’autre.

Pour montrer d’abord par quelques exemples l'usage des équations dérivées dans la transformation des fonctions, je considérerai les fonctions sin. x et cos. x, dont nous avons donné les fonctions dérivées tlans la

leçon cinquième, et faisant y = sin. x , 2 = cos. x, j’aurai d’abord y' =. cos. x et z — — sin. x; par conséquent / zzz z>l' = — y ; si on multiplie la première de ces équations par V — 1, et qu’on l’ajoute à la seconde, on aura

d’où l’on tire l’équation

Or nous avons vu, dans la leçon sixième, que si p est une fonction quelconque de x, est la fonction dérivée de Ip ; ainsi

sera l’équation primitive d’où la précédente peut être, censée dérivée ; la quantité k est la constante arbitraire que nous avons vu, à la fin de la même leçon , pouvoir toujours s’ajouter à la fonction primitive d’une fonction dérivée donnée , et qui sert à lui donner toute la généralité dont elle est susceptible. 11 serait inutile d’ajouter de même une constante au premier membre de l’équation , parce qu’elle se fonderait dans l’autre par la simple transposition dans le second membre.

Mais cette constante étant jusqu’ici arbitraire, il faut la déterminer conformément à la nature des fonctions y et j.

Pour cela, j’observe qu’en faisant x = o, on a sin. x — n , et cos. x ^ 1 ; donc y = o, 2 = 1. Il faudra donc que l’équation que nous venons de trouver , satisfasse à ces suppositions ; or , elle devient, dans ce cas, / 1 = k ; et comme 1 1 est = o , on aura k = o.

L’équation sera donc simplement ! (% -+- y V — 1) — x V — 1 : et passant de là aux exponentielles 2 y Y — 1 = e*^~ ', e étant, comme nous le supposons toujours, le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Remettant pour / et 2 leurs valeurs sin. x et cos. x, on aura cette formule remarquable :

cos. x H— ’sîn. x Y — l ~e ,y/ — laquelle, à cause de l’ambiguité du radical Y — 1, donne également celle-ci : cos. x — sin. x Y — t = e~

et, ces deux combinées ensemble, suffisent pour déterminer les valeurs de sin. x et cos. x. On aura, en effet, après les avoir ajoutées ou retranchées ,