COS. X ZZZ

JT t' — - I X >' t

sin. x = 7 .

Ainsi les sinus et cosinus se trouvent exprimés par des exponentielles imaginaires, ce qu’on peut regarder comme l’une des plus belles découvertes analytiques qu’on ait faites dans ce siècle.

Ces formules peuvent aussi se déduire immédiatement de la comparaison des séries qui expriment les fonctions sin. x, cos. x, et e* , et que nous avons trouvées plus haut (leçons quatrième et sixième). C’est de cette manière qu ’ Euler les a données dans le tome VII des Miscellanea Berolinensia : mais , dans son Introductio , il les déduit des expressions algébriques des sinus et cosinus des angles multipliés, par une réduction ingénieuse, mais dépendante de la considération des quantités infinies et infiniment petites, et que nous avons tâché de rendre rigoureuse dans la Théorie des Fonctions , N.*’ 22 et 2j.

* Comme ces mêmes séries avaient été données par Newton, dans son Commerce avec OUenburg, et étaient ainsi connues avant la fin du siècle dernier, on aurait pu dès-lors parvenir aux formules dont nous parlons, et donner par là à la théorie des sections angulaires, la perfection qu’elle n’a acquise que cinquante ans après par les ouvrages d 'Euler.

L’expression des arcs en logarithmes imaginaires , remonte , à fa vérité , au commencement de ce siècle , et c’est une des plus belles découvertes de Jean Bernoulli , qui l’a donnée en peu de mots dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1702 ; il y était parvenu en intégrant par logarithmes l’élément de l’arc exprimé par la tangente, comme Leibnili avait trouvé la série qui exprime l’arc par la* tangente, en intégrant le même élément par série.

Cette découverte conduisait aussi naturellement aux mêmes formules exponentielles; mais elle est restée long-temps stérile : ce n’est que lorsque

ces formules ont été connues par d’autres voies , qu’on a cherché à les tirer immédiatement de l’intégration.

L’équation cos. x -t- sin. x Y — i = Y ^ ” ' , où le radical Y — i peut avoir également le signe et — , donne toute la théorie du calcul des angles ; car en multipliant cette équation par l’équation semblable

cos. y sin. y V — i = t y ^ ~ ' ,

on a

(co s. .V -t- sin. x Y — i ) ( cos. y -H- sin. y Y — l ) —

Mais, en mettant dans la même équation x -+- y à la place de x, on a aussi

cos. (x -4- y) -+- sin. (x -t- y) V — i =: Y* ~

Donc, comparant et développant le produit, on a cos. x cos. y — sin. x sin. y — t- fcos. x sin.y-t— cos. y sin. x) x. y — x == COS. (x -+- y) sin. (x -h- y J Y — • ; et comme cette équation doit avoir lieu pour les deux signes de Y — i , il s’ensuit qu’on aura séparément

cos. x cos. y — sin. x sin. y ■=. cos. (x -t- y), cos. x sin. y -+- sin. x cos. y = sin. (x — |— y), \

formules qu’on démontre par la géométrie, et qui sont le fondement de toute la théorie des angles.

La même équation , en élevant les deux membres à une puissance quelconque m , donne

fcos. x H- sin. x Y — I ) m =: e m * V — \

Donc aussi , en mettant dans l’cquation primitive m x à la place de x et comparant, on a

( cos . x sin. x Y — t ) m = cos. mx -f- sin. mx Y — i,

formule remarquable autant par sa simplicité et son élégance, que par sa généralité et sa fécondité.

II parait que Moivre est le premier qui ait trouvé cette belle formule; on voit par les Misceltànea analytica , qu’il y a été conduit par la

considération des sections hyperboliques comparées aux sections circulaires. Maintenant elle est devenue une vérité élémentaire qu’on démontre par le moyen des valeurs de sin. (x -h- y) et cos. (x - 4 - y ) que donne la géométrie, en considérant le produit des formules semblables cos. x - 4 - sin. x Y — t et cos. y - 4 - sin. y Y — t , lequel se réduit à cette formule semblable,

cos. ( x —J— y) — t— sin. (x -4- y) Y — t ; et c’est à Euler qu’on doit d’avoir transporté ainsi dans les élémens une formule d’une si grande utilité.

11 est vrai que , de cette manière , on ne peut la démontrer que pour des valeurs rationnelles de m; mais il en est ici comme dans la formule du développement du binôme , et en général dans toutes les formules qui contiennent une indéterminée qui peut être un nombre quelconque rationnel ; ce n’est que par la considération des fonctions dérivées , qu’on en peut prouver la généralité pour une valeur quelconque de la même quantité.

£n prenant, dans la formule que nous venons de trouver , le

radical Y — i en plus et en moins , on a ces deux-ci ,

coi*, mx -t- sin. mx Y — t '= (cos. x -4- sin. x Y — l/" ,

cos. mx — sin. mx Y — i z=z ( cos . x — sin. x Y —■ lF\

d’où l’on tire aisément

cas. mx

sin. mx

* ( cos. x -t- sin. x / — 1 ) m ■+■ ( cos. * — 'i». * / — l )"

( cos. x -s- sin. x V — i ) m — ( cos. x — sin. x Y — i) m

Si on développe les puissances m.'" c par la formule du binôme , les imaginaires disparaissent , et l’on a ces expressions en série ,

cos. mx

cos. x

sm. mx =zm cos. x

sin. x

cos. x

sin. x 4 — &c..

m fin — t) (m — x)